Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Dérivation
Les réflexes de Première, puis l'outil clé de Terminale : dériver une composée
I. Les réflexes de Première
Les dérivées de base (à connaître par cœur)
- (k)' = 0 et (kx)' = k pour toute constante k ;
- (x^n)' = nx^{n-1} pour tout entier n \geq 1 (ainsi (x^2)' = 2x, (x^3)' = 3x^2) ;
- \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} ;
- (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ;
- (e^x)' = e^x et (e^{kx})' = ke^{kx}.
Les opérations
- Somme : (u + v)' = u' + v' ; constante multiplicative : {(ku)' = ku'} ;
- Produit : (uv)' = u'v + uv' ;
- Inverse : \left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2} ;
- Quotient : \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}.
⚠️ Le produit ne se dérive PAS terme à terme
(uv)' \neq u'v' ! Exemple : \begin{aligned}(x \times x)' &= (x^2)' \\ &= 2x\end{aligned} alors que 1 \times 1 = 1. La bonne formule croise les rôles : u'v + uv'.
🎮 Entraîne-toi : les dérivées de base
Retrouve la dérivée sans hésiter : c'est du réflexe pur.
II. Tangente et variations
Équation de la tangente
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation : {y = f'(a)(x - a) + f(a)}.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de cette tangente.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de cette tangente.
Signe de f′ et variations
Sur un intervalle I où f est dérivable :
- si f' \geq 0 sur I, alors f est croissante sur I ;
- si f' \leq 0 sur I, alors f est décroissante sur I.
👆 ▶ À toi : f(x) = x² − 6x. Calcule f′(x) et l'abscisse où la tangente est horizontale. Vérifie
f'(x) = 2x - 6. Tangente horizontale quand f'(x) = 0, c'est-à-dire en x = 3 (le sommet de la parabole).
🎮 Entraîne-toi : calculer f′(a)
Dérive le trinôme puis évalue : tu obtiens la pente de la tangente.
III. La fonction composée et sa dérivée
Fonction composée
La composée de u par v est la fonction v \circ u définie par v \circ u\,(x) = v(u(x)) : on applique u, PUIS v au résultat.
Exemple : f(x) = \sqrt{x - 3} est la composée de u(x) = x - 3 par {v(X) = \sqrt{X}}.
Exemple : f(x) = \sqrt{x - 3} est la composée de u(x) = x - 3 par {v(X) = \sqrt{X}}.
⚠️ L'ordre compte
v \circ u \neq u \circ v en général. Avec {u(x) = x + 1} et v(x) = x^2 : v \circ u\,(x) = (x+1)^2 mais u \circ v\,(x) = x^2 + 1.
Dérivée d'une composée
\left(v(u(x))\right)' = v'(u(x)) \times u'(x).
En mots : on dérive la fonction « extérieure » en gardant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
En mots : on dérive la fonction « extérieure » en gardant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
Exemple rédigé : dériver f(x) = e^{x^2+1}
On pose u(x) = x^2 + 1 (intérieur) et v(X) = e^X (extérieur).
u'(x) = 2x et v'(X) = e^X, donc :
\begin{aligned}f'(x) &= e^{x^2+1} \times 2x \\ &= 2x\,e^{x^2+1}\end{aligned}
u'(x) = 2x et v'(X) = e^X, donc :
\begin{aligned}f'(x) &= e^{x^2+1} \times 2x \\ &= 2x\,e^{x^2+1}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : dériver e^{kx}
Le cas de composée le plus fréquent : l'intérieur est kx, sa dérivée est k.
IV. Les trois formules magiques : √u, un, eu
Cas particuliers de composées
- \left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} ;
- \left(u^n\right)' = n\,u'\,u^{n-1} pour n entier non nul ;
- \left(e^u\right)' = u'\,e^u.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : la dérivée de √u et de uⁿ
√u\sqrt{u(x)} = v(u(x)) avec {v(X) = \sqrt{X}}, donc v'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}.
Par la formule de la composée : \begin{aligned}\left(\sqrt{u}\right)' &= \dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}} \times u'(x) \\ &= \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\end{aligned} ∎
uⁿ(u(x))^n = v(u(x)) avec v(X) = X^n, donc v'(X) = nX^{n-1}.
D'où \begin{aligned}\left(u^n\right)' &= n(u(x))^{n-1} \times u'(x) \\ &= n\,u'\,u^{n-1}\end{aligned} ∎
La démonstration pour e^u est identique avec v(X) = e^X.
Par la formule de la composée : \begin{aligned}\left(\sqrt{u}\right)' &= \dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}} \times u'(x) \\ &= \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\end{aligned} ∎
uⁿ(u(x))^n = v(u(x)) avec v(X) = X^n, donc v'(X) = nX^{n-1}.
D'où \begin{aligned}\left(u^n\right)' &= n(u(x))^{n-1} \times u'(x) \\ &= n\,u'\,u^{n-1}\end{aligned} ∎
La démonstration pour e^u est identique avec v(X) = e^X.
Exemple rédigé : dériver g(x) = (3x² + 1)⁴
Forme u^n avec u(x) = 3x^2 + 1 (donc u'(x) = 6x) et n = 4 :
\begin{aligned}g'(x) &= 4 \times 6x \times (3x^2+1)^3 \\ &= 24x\,(3x^2+1)^3\end{aligned}
Surtout ne pas développer la puissance 4 : la formule fait tout le travail.
\begin{aligned}g'(x) &= 4 \times 6x \times (3x^2+1)^3 \\ &= 24x\,(3x^2+1)^3\end{aligned}
Surtout ne pas développer la puissance 4 : la formule fait tout le travail.
⚠️ Ne pas oublier le facteur u′
L'erreur n°1 du chapitre : écrire {(e^{u})' = e^{u}} ou (u^n)' = nu^{n-1} en oubliant le facteur u'. Vérification express : pour e^{5x}, la dérivée est 5e^{5x}, pas e^{5x}.
👆 ▶ À toi : dérive h(x) = √(x² + 9). Vérifie
Forme \sqrt{u} avec u(x) = x^2 + 9, u'(x) = 2x :
\begin{aligned}h'(x) &= \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}} \\ &= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\end{aligned}
\begin{aligned}h'(x) &= \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}} \\ &= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : la pente de la tangente
Dérive la puissance puis évalue au point demandé.
V. L'étude complète, version Terminale
Méthode : étudier f(x) = x\,e^{-x} sur ℝ
- Dériver (produit + composée) : \begin{aligned}f'(x) &= 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x}) \\ &= (1 - x)\,e^{-x}\end{aligned}
- Signe : e^{-x} > 0 toujours, donc f′ est du signe de 1 - x : positive avant 1, négative après ;
- Variations : f croît jusqu'au maximum \begin{aligned}f(1) &= e^{-1} \\ &= \dfrac{1}{e}\end{aligned} puis décroît ;
- Limites (chapitre précédent) : -\infty en -\infty, et 0 en +\infty par croissances comparées.
Le double tableau : le signe commande, les flèches obéissent
Le tableau de variations ne se rédige jamais seul : il se pose juste en dessous du tableau de signes de f′, colonnes alignées. Ici les lignes des facteurs sont conservées : c'est la rédaction attendue au bac quand f′ est un produit.
⚠️ Un facteur toujours positif s'élimine du signe
Dans (1-x)\,e^{-x}, inutile de faire un tableau à deux lignes : l'exponentielle est strictement positive, le signe de f′ est exactement celui de 1 - x. Ce réflexe fait gagner cinq minutes à chaque bac blanc.
Valeur interdite : la double barre
Quand f n'est pas définie en un point, ce point figure quand même dans la ligne des x, marqué d'une double barre qui traverse les deux étages. On y écrit alors deux limites, une de chaque côté : la courbe part d'un côté et revient de l'autre, elle ne traverse pas.
🎛️ Le signe de f′ commande : fais-le basculer
Déplace a. Les racines de f′ restent en -1 et 1, donc les colonnes ne bougent pas : seuls les signes changent. Quand a traverse 0, la courbe se retourne et les flèches basculent au même instant : c'est bien le signe de f′ qui commande, et rien d'autre.