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Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité

Fiche d'exercices : Dérivation

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Les réflexes de Première⭐ Dérive chaque fonction :
  1. f(x) = x^4 - 5x^2 + 7x - 2
  2. g(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}
  3. h(x) = 4e^x - x^3
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. f'(x) = 4x^3 - 10x + 7.
2. g'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^2}.
3. h'(x) = 4e^x - 3x^2.
Exercice 2 : Tangente⭐ Soit f(x) = x^2 - 3x + 1.
  1. Calcule f'(2) et f(2).
  2. Déduis-en l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. f'(x) = 2x - 3 donc f'(2) = 1 ; \begin{aligned}f(2) &= 4 - 6 + 1 \\ &= -1\end{aligned}
2. \begin{aligned}y &= f'(2)(x - 2) + f(2) \\ &= 1(x - 2) - 1\end{aligned} D'où y = x - 3.

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Produit et quotient⭐⭐ Dérive :
  1. f(x) = x^2 e^x
  2. g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} sur ]3\,;\,+\infty[
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Produit (uv)' = u'v + uv' : \begin{aligned}f'(x) &= 2x\,e^x + x^2 e^x \\ &= x(x + 2)\,e^x\end{aligned}
2. Quotient : \begin{aligned}g'(x) &= \dfrac{2(x-3) - (2x+1) \times 1}{(x-3)^2} \\ &= \dfrac{-7}{(x-3)^2}\end{aligned} (toujours négatif : g est décroissante).
Exercice 4 : Composées : e^u⭐⭐ Dérive :
  1. f(x) = e^{-3x}
  2. g(x) = e^{x^2 - 4x}
  3. h(x) = 5e^{2x} + e^{-x}
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. u = -3x, u' = -3 : f'(x) = -3e^{-3x}.
2. u' = 2x - 4 : g'(x) = (2x - 4)\,e^{x^2 - 4x}.
3. h'(x) = 10e^{2x} - e^{-x}.
Exercice 5 : Composées : √u et uⁿ⭐⭐ Dérive :
  1. f(x) = \sqrt{5x + 2} sur son domaine
  2. g(x) = (2x - 1)^5
  3. h(x) = \sqrt{x^2 + 16}
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. u' = 5 : f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x + 2}}.
2. (u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} avec u' = 2 : \begin{aligned}g'(x) &= 5 \times 2 \times (2x-1)^4 \\ &= 10(2x-1)^4\end{aligned}
3. u' = 2x : \begin{aligned}h'(x) &= \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} \\ &= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}\end{aligned}
Exercice 6 : Du signe de f′ aux variations⭐⭐ Soit f(x) = x^3 - 12x + 5 sur \mathbb{R}.
  1. Calcule f'(x) et montre que {f'(x) = 3(x-2)(x+2)}.
  2. Étudie le signe de f′ puis dresse le tableau de variations de f.
  3. Donne le maximum local et le minimum local de f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 3(x^2 - 4) \\ &= 3(x-2)(x+2)\end{aligned}
2. Trinôme de racines −2 et 2, positif à l'extérieur : f est croissante sur {]-\infty\,;\,-2]}, décroissante sur [-2\,;\,2], croissante sur [2\,;\,+\infty[.
3. Maximum local \begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 + 5 \\ &= 21\end{aligned} minimum local \begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 + 5 \\ &= -11\end{aligned}
Le tableau attendu. Remarque le piège classique : le maximum local 21 est en x=-2, à gauche du minimum local. Sur \mathbb{R}, f n'a ni maximum ni minimum global : les deux flèches extérieures partent à l'infini.

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Étude d'une fonction composée⭐⭐⭐ Soit f(x) = x\,e^{2x} définie sur \mathbb{R}.
  1. Montre que f'(x) = (1 + 2x)\,e^{2x}.
  2. Étudie le signe de f′ et dresse le tableau de variations.
  3. Calcule le minimum de f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Produit + composée : \begin{aligned}f'(x) &= 1 \times e^{2x} + x \times 2e^{2x} \\ &= (1 + 2x)\,e^{2x}\end{aligned}
2. e^{2x} > 0 toujours : f′ est du signe de 1 + 2x. f est décroissante sur \left]-\infty\,;\,-\tfrac{1}{2}\right] puis croissante.
3. Minimum en x = -\tfrac{1}{2} : \begin{aligned}f\left(-\tfrac{1}{2}\right) &= -\tfrac{1}{2}\,e^{-1} \\ &= -\dfrac{1}{2e}\end{aligned}
La ligne e^{2x} ne porte que des + : elle ne change rien au produit, le signe de f ' est celui de 1+2x. C'est le réflexe à écrire en toutes lettres dans la copie.
Exercice 8 : Synthèse type bac : distance minimale⭐⭐⭐ Pour x \geq 0, on pose {d(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 13}} (distance d'un point mobile à un observateur).
  1. Justifie que x^2 - 6x + 13 > 0 pour tout x (donc d est bien définie).
  2. Montre que d\,'(x) = \dfrac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}}.
  3. Déduis-en la valeur de x qui rend la distance minimale, et cette distance.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Discriminant \begin{aligned}\Delta &= 36 - 52 \\ &= -16 < 0\end{aligned} et coefficient dominant positif : le trinôme est toujours strictement positif.
2. Forme \sqrt{u} avec u' = 2x - 6 : \begin{aligned}d\,'(x) &= \dfrac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 13}} \\ &= \dfrac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}}\end{aligned}
3. Le dénominateur est positif : d′ est du signe de x - 3. La distance décroît puis croît : minimum en x = 3, avec \begin{aligned}d(3) &= \sqrt{9 - 18 + 13} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}
Le tableau donne la réponse d'un coup d'œil : le creux de la flèche est le minimum, atteint en x = 3, et il vaut 2. Ici la borne 0 est incluse : on y écrit une vraie valeur, d(0) = \sqrt{13}, pas une limite.
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