Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Continuité des fonctions
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Justifier une continuité sans calcul⭐
Justifie en une phrase que chaque fonction est continue sur \mathbb{R} :
- f(x) = x^5 - 3x^2 + 1
- g(x) = (2x + 1)\,e^{-x}
- h(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Fonction polynôme : continue sur ℝ.
2. Produit d'un polynôme et d'une composée d'exponentielle, tous deux continus : continue sur ℝ.
3. Quotient de fonctions continues dont le dénominateur x^2 + 1 \geq 1 ne s'annule jamais : continue sur ℝ.
2. Produit d'un polynôme et d'une composée d'exponentielle, tous deux continus : continue sur ℝ.
3. Quotient de fonctions continues dont le dénominateur x^2 + 1 \geq 1 ne s'annule jamais : continue sur ℝ.
Exercice 2 : Continue ou pas ?⭐
Soit f définie par f(x) = 3x - 1 si x < 2 et f(x) = x^2 + 1 si x \geq 2.
- Calcule la limite de f à gauche de 2 et f(2).
- f est-elle continue en 2 ? Sur ℝ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. À gauche : 3 \times 2 - 1 = 5 ; \begin{aligned}f(2) &= 4 + 1 \\ &= 5\end{aligned}
2. Les deux valeurs coïncident : f est continue en 2. Chaque morceau étant polynomial, f est continue sur ℝ.
2. Les deux valeurs coïncident : f est continue en 2. Chaque morceau étant polynomial, f est continue sur ℝ.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Trouver le paramètre de raccord⭐⭐
Soit f définie par f(x) = x^2 + m si x < 1 et f(x) = 4x - 2 si x \geq 1.
- Détermine m pour que f soit continue en 1.
- Pour m = 5, décris ce qui se passe au point x = 1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Limite à gauche : 1 + m ; valeur à droite : 4 - 2 = 2. Continuité ⟺ {1 + m = 2} ⟺ m = 1.
2. À gauche la courbe arrive à 1 + 5 = 6, à droite elle repart de 2 : un saut de 4 unités, f n'est pas continue en 1.
2. À gauche la courbe arrive à 1 + 5 = 6, à droite elle repart de 2 : un saut de 4 unités, f n'est pas continue en 1.
Exercice 4 : Le TVI de base⭐⭐
Soit f(x) = x^3 + 2x - 7 sur [1\,;\,2].
- Justifie que f est continue et calcule f(1) et f(2).
- Montre que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1\,;\,2].
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Polynôme donc continue ; \begin{aligned}f(1) &= 1 + 2 - 7 \\ &= -4\end{aligned} et \begin{aligned}f(2) &= 8 + 4 - 7 \\ &= 5\end{aligned}
2. f est continue sur [1 ; 2] et 0 est compris entre f(1) = -4 et f(2) = 5 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution.
2. f est continue sur [1 ; 2] et 0 est compris entre f(1) = -4 et f(2) = 5 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution.
Exercice 5 : Unicité et balayage⭐⭐
Soit f(x) = x^3 - x^2 - 1 sur [1\,;\,2].
- Montre que f'(x) > 0 sur [1\,;\,2].
- Démontre que f(x) = 0 admet une unique solution α dans [1\,;\,2].
- Sachant que {f(1{,}4) \approx -0{,}22 < 0} et f(1{,}5) \approx 0{,}13 > 0, encadre α au dixième.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 2x \\ &= x(3x - 2)\end{aligned} Pour x \geq 1, les deux facteurs sont strictement positifs.
2. f est continue (polynôme), change de signe (f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0) et est strictement croissante : d'après le corollaire du TVI, solution unique α.
3. Le signe change entre 1,4 et 1,5 : {1{,}4 < \alpha < 1{,}5}.
2. f est continue (polynôme), change de signe (f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0) et est strictement croissante : d'après le corollaire du TVI, solution unique α.
3. Le signe change entre 1,4 et 1,5 : {1{,}4 < \alpha < 1{,}5}.
Exercice 6 : Lire un tableau de variations⭐⭐
Une fonction f, continue sur [-3\,;\,4], est strictement croissante de f(-3) = -5 à f(0) = 8, puis strictement décroissante de f(0) = 8 à f(4) = 1.
- Combien de solutions pour {f(x) = 3} ?
- Pour f(x) = 0 ?
- Pour f(x) = 10 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
On applique le corollaire du TVI flèche par flèche (chaque flèche = continue + strictement monotone).
1. 3 est entre −5 et 8 (une solution sur la montée) ET entre 1 et 8 (une sur la descente) : 2 solutions.
2. 0 est entre −5 et 8 (une solution) mais pas entre 1 et 8 : 1 solution.
3. 10 dépasse le maximum 8 : aucune solution.
1. 3 est entre −5 et 8 (une solution sur la montée) ET entre 1 et 8 (une sur la descente) : 2 solutions.
2. 0 est entre −5 et 8 (une solution) mais pas entre 1 et 8 : 1 solution.
3. 10 dépasse le maximum 8 : aucune solution.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Point fixe d'une suite⭐⭐⭐
La suite (u_n) vérifie u_0 = 10 et {u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 2}. On admet qu'elle est décroissante et minorée par 5.
- Justifie que (u_n) converge.
- Pourquoi sa limite L vérifie-t-elle L = 0{,}6L + 2 ?
- Calcule L.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Décroissante et minorée : elle converge (théorème de convergence monotone).
2. f(x) = 0{,}6x + 2 est continue (affine) et u_{n+1} = f(u_n) : la limite d'une telle suite convergente est un point fixe de f, donc L = f(L).
3. 0{,}4L = 2 donc L = 5 (cohérent avec le minorant).
2. f(x) = 0{,}6x + 2 est continue (affine) et u_{n+1} = f(u_n) : la limite d'une telle suite convergente est un point fixe de f, donc L = f(L).
3. 0{,}4L = 2 donc L = 5 (cohérent avec le minorant).
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Soit f(x) = x\,e^x - 2 sur [0\,;\,1].
- Montre que f'(x) = (1 + x)\,e^x et donne son signe sur [0\,;\,1].
- Démontre que l'équation x\,e^x = 2 admet une unique solution α dans [0\,;\,1] (on rappelle e \approx 2{,}72).
- Sachant que f(0{,}8) \approx -0{,}22 et f(0{,}9) \approx 0{,}21, encadre α au dixième.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Produit : \begin{aligned}f'(x) &= 1 \times e^x + x\,e^x \\ &= (1 + x)\,e^x\end{aligned} Sur [0 ; 1], les deux facteurs sont strictement positifs : f' > 0.
2. f est continue (produit de fonctions continues), f(0) = -2 < 0, \begin{aligned}f(1) &= e - 2 \\ &\approx 0{,}72 > 0\end{aligned} et f est strictement croissante : d'après le corollaire du TVI, f(x) = 0 (c'est-à-dire x\,e^x = 2) admet une unique solution α.
3. Changement de signe entre 0,8 et 0,9 : 0{,}8 < \alpha < 0{,}9.
2. f est continue (produit de fonctions continues), f(0) = -2 < 0, \begin{aligned}f(1) &= e - 2 \\ &\approx 0{,}72 > 0\end{aligned} et f est strictement croissante : d'après le corollaire du TVI, f(x) = 0 (c'est-à-dire x\,e^x = 2) admet une unique solution α.
3. Changement de signe entre 0,8 et 0,9 : 0{,}8 < \alpha < 0{,}9.