Fiche d'exercices : Probabilités conditionnelles et inférence bayésienne

1. La traduction.
La troisième phrase commence par « parmi les demi-pensionnaires » : c'est D qui est connu, donc D part en indice.

• P(D) = 0{,}6 ;
• P(S) = 0{,}3 ;
• P_D(S) = 0{,}4 (et surtout pas P_S(D)).

2. L'intersection.\begin{aligned}P(D \cap S) &= P(D) \times P_D(S) \\ &= 0{,}6 \times 0{,}4 \\ &= \mathbf{0{,}24}\end{aligned}3. Le conditionnement inverse.\begin{aligned}P_S(D) &= \dfrac{P(D \cap S)}{P(S)} \\ &= \dfrac{0{,}24}{0{,}3} \\ &= \mathbf{0{,}8}\end{aligned}Les deux nombres portent sur les deux mêmes événements et n'ont rien à voir : 40 % des demi-pensionnaires font du sport en club, mais 80 % de ceux qui font du sport en club sont demi-pensionnaires.4. L'indépendance.\begin{aligned}P(D) \times P(S) &= 0{,}6 \times 0{,}3 \\ &= 0{,}18\end{aligned}Or \begin{aligned}P(D \cap S) &= 0{,}24 \\ &\neq 0{,}18\end{aligned} Donc D et S ne sont pas indépendants.

Remarque : on pouvait conclure plus vite avec l'autre critère, \begin{aligned}P_D(S) &= 0{,}4 \\ &\neq P(S) \\ &= 0{,}3\end{aligned} Les deux critères sont équivalents : on choisit celui que les données rendent le plus direct.

1. L'arbre.
On note A « la pièce vient du fournisseur A » (son contraire est donc « elle vient de B ») et D « la pièce est défectueuse ». Le premier niveau porte le fournisseur, le second l'état de la pièce :

Contrôle : les branches issues d'un même nœud somment à 1 (0,6 + 0,4, puis 0,03 + 0,97 et 0,07 + 0,93).
2. La probabilité d'une pièce défectueuse.
Deux chemins mènent à D. D'après la formule des probabilités totales :\begin{aligned}P(D) &= P(A) \times P_A(D) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(D) \\ &= 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}07 \\ &= 0{,}018 + 0{,}028 \\ &= \mathbf{0{,}046}\end{aligned}3. La part de B dans les rebuts.
On sait que la pièce est défectueuse : on cherche P_D(\bar{A}).\begin{aligned}P_D(\bar{A}) &= \dfrac{P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(D)}{P(D)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}028}{0{,}046} \\ &\approx \mathbf{0{,}61}\end{aligned}Le fournisseur B ne livre que 40 % des pièces mais fournit environ 61 % des pièces défectueuses. C'est le calcul qui justifierait, en réunion, de renégocier avec B plutôt qu'avec A.

On note B « la pièce vient de la machine B » et D « la pièce est défectueuse ». L'énoncé donne P(B) = 0{,}55, P_{\bar{B}}(D) = 0{,}02 et P_B(D) = 0{,}06.
1. La probabilité d'une pièce défectueuse.\begin{aligned}P(D) &= P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(D) + P(B) \times P_B(D) \\ &= 0{,}45 \times 0{,}02 + 0{,}55 \times 0{,}06 \\ &= 0{,}009 + 0{,}033 \\ &= \mathbf{0{,}042}\end{aligned}2. Une pièce défectueuse vient-elle de B ?\begin{aligned}P_D(B) &= \dfrac{P(B) \times P_B(D)}{P(D)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}033}{0{,}042} \\ &= \dfrac{11}{14} \\ &\approx \mathbf{0{,}786}\end{aligned}Près de 4 rebuts sur 5 viennent de la machine B.3. Et une pièce conforme ?
On travaille cette fois avec \bar{D}, de probabilité 1 - 0{,}042 = 0{,}958.\begin{aligned}P_{\bar{D}}(B) &= \dfrac{P(B) \times P_B(\bar{D})}{P(\bar{D})} \\ &= \dfrac{0{,}55 \times 0{,}94}{0{,}958} \\ &= \dfrac{0{,}517}{0{,}958} \\ &\approx \mathbf{0{,}540}\end{aligned}Une pièce conforme vient de B avec une probabilité de 0,540, à peine plus que la part de B dans la production (0,55). L'information « la pièce est conforme » n'apprend presque rien, alors que « la pièce est défectueuse » est très informative : c'est le propre d'un événement rare.

Remarque : les deux probabilités a posteriori se contrôlent l'une l'autre. Les pièces de B se répartissent entre défectueuses et conformes, donc 0{,}042 \times 0{,}786 + 0{,}958 \times 0{,}540 \approx 0{,}55, qui est bien P(B).

On note U_1 « on tire dans l'urne 1 » et R « la boule est rouge ». Le dé donne \begin{aligned}P(U_1) &= \tfrac{2}{6} \\ &= \tfrac{1}{3}\end{aligned} et P(U_2) = \tfrac{2}{3}.
1. La probabilité de tirer une boule rouge.\begin{aligned}P(R) &= P(U_1) \times P_{U_1}(R) + P(U_2) \times P_{U_2}(R) \\ &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{10} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{10} \\ &= \dfrac{4}{30} + \dfrac{14}{30} \\ &= \dfrac{18}{30} \\ &= \mathbf{0{,}6}\end{aligned}2. D'où vient la boule rouge ?\begin{aligned}P_R(U_1) &= \dfrac{P(U_1) \times P_{U_1}(R)}{P(R)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{4/30}{18/30} \\ &= \dfrac{4}{18} \\ &= \dfrac{2}{9} \\ &\approx \mathbf{0{,}222}\end{aligned}3. L'interprétation.
Avant le tirage, l'urne 1 avait une probabilité de \tfrac{1}{3} \approx 0{,}333 (a priori). Après avoir vu une boule rouge, elle tombe à \tfrac{2}{9} \approx 0{,}222 (a posteriori). Voir une boule rouge est un indice contre l'urne 1, qui en contient proportionnellement le moins : l'observation a rendu l'urne 1 moins probable qu'elle ne l'était.

Remarque : une observation ne fait pas toujours monter la probabilité a posteriori. Elle la met à jour, dans le sens que l'indice indique.

1. Les qualités du test.
Elles se conditionnent par l'état de santé : P_M(T) = 0{,}95 (sensibilité) et P_{\bar{M}}(\bar{T}) = 0{,}90 (spécificité). On en déduit P_{\bar{M}}(T) = 0{,}10 : un faux positif.
2. La probabilité d'un test positif.\begin{aligned}P(T) &= P(M) \times P_M(T) + P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(T) \\ &= 0{,}04 \times 0{,}95 + 0{,}96 \times 0{,}10 \\ &= 0{,}038 + 0{,}096 \\ &= \mathbf{0{,}134}\end{aligned}3. Les valeurs prédictives.
Elles se conditionnent, elles, par le résultat du test.\begin{aligned}\text{VPP} = P_T(M) &= \dfrac{P(M) \times P_M(T)}{P(T)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}038}{0{,}134} \\ &\approx \mathbf{0{,}284}\end{aligned}Puis, avec \begin{aligned}P(\bar{T}) &= 1 - 0{,}134 \\ &= 0{,}866\end{aligned} :\begin{aligned}\text{VPN} = P_{\bar{T}}(\bar{M}) &= \dfrac{P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(\bar{T})}{P(\bar{T})} \\ &= \dfrac{0{,}96 \times 0{,}90}{0{,}866} \\ &= \dfrac{0{,}864}{0{,}866} \\ &\approx \mathbf{0{,}998}\end{aligned}4. Le jugement.
Ce test est excellent pour rassurer et médiocre pour affirmer : un résultat négatif garantit à 99,8 % l'absence de maladie, alors qu'un résultat positif ne signale un vrai malade que dans 28 % des cas. Il convient donc comme test de dépistage, à condition d'être suivi d'un examen de confirmation.

Remarque : sensibilité (0,95) et VPP (0,284) portent sur les deux mêmes événements et diffèrent d'un facteur 3. Rendre l'une pour l'autre est la faute la plus coûteuse du chapitre.

1. Les deux valeurs prédictives positives.
Population générale (P(M) = 0{,}005) :\begin{aligned}P(T) &= 0{,}005 \times 0{,}95 + 0{,}995 \times 0{,}10 \\ &= 0{,}00475 + 0{,}0995 \\ &= 0{,}10425\end{aligned}\begin{aligned}\text{VPP} &= \dfrac{0{,}00475}{0{,}10425} \\ &\approx \mathbf{0{,}046}\end{aligned}Population à risque (P(M) = 0{,}2) :\begin{aligned}P(T) &= 0{,}2 \times 0{,}95 + 0{,}8 \times 0{,}10 \\ &= 0{,}19 + 0{,}08 \\ &= 0{,}27\end{aligned}\begin{aligned}\text{VPP} &= \dfrac{0{,}19}{0{,}27} \\ &= \dfrac{19}{27} \\ &\approx \mathbf{0{,}704}\end{aligned}2. La sensibilité.
Elle n'a pas changé : elle vaut 0,95 dans les deux cas. La sensibilité et la spécificité sont des qualités du test, mesurées en laboratoire ; elles ne dépendent pas de la population testée.3. La conclusion.
Le même test donne une VPP de 4,6 % en population générale et de 70,4 % en population à risque, soit un rapport de plus de 15. Dépister toute la population produirait donc une écrasante majorité de fausses alertes : c'est la raison pour laquelle les dépistages sont ciblés sur des populations où la maladie est plus fréquente.

1. La forme simplifiée.
On développe le dénominateur :\begin{aligned}0{,}95\,x + 0{,}10\,(1 - x) &= 0{,}95\,x + 0{,}10 - 0{,}10\,x \\ &= 0{,}85\,x + 0{,}10\end{aligned}d'où l'écriture annoncée. Ce dénominateur ne s'annule pas sur [0\,;1] (il vaut au minimum 0,10 en 0), donc f y est bien définie.2. Les variations.
f est un quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas : elle est dérivable sur [0\,;1]. Avec u(x) = 0{,}95\,x et v(x) = 0{,}85\,x + 0{,}10 :\begin{aligned}f'(x) &= \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \\ &= \dfrac{0{,}95\,(0{,}85\,x + 0{,}10) - 0{,}95\,x \times 0{,}85}{(0{,}85\,x + 0{,}10)^2} \\ &= \dfrac{0{,}95 \times 0{,}10}{(0{,}85\,x + 0{,}10)^2} \\ &= \dfrac{0{,}095}{(0{,}85\,x + 0{,}10)^2}\end{aligned}Le numérateur est strictement positif et le dénominateur est un carré non nul : f'(x) > 0 sur [0\,;1]. Donc f est strictement croissante sur [0\,;1].

Remarque : les deux termes en x du numérateur se sont éliminés. C'est ce qui rend le signe de f' immédiat : inutile d'étudier un trinôme.

3. Les deux bornes.\begin{aligned}f(0) &= \dfrac{0}{0{,}10} \\ &= \mathbf{0}\end{aligned}\begin{aligned}f(1) &= \dfrac{0{,}95}{0{,}85 + 0{,}10} \\ &= \dfrac{0{,}95}{0{,}95} \\ &= \mathbf{1}\end{aligned}Ces deux valeurs sont des cas limites cohérents : si personne n'est malade, un test positif est forcément une fausse alerte ; si tout le monde l'est, un test positif désigne à coup sûr un malade. Entre les deux, la VPP croît avec la proportion de malades.4. Quand un test positif devient-il plus probable qu'improbable ?
Sur [0\,;1], 0{,}85\,x + 0{,}10 > 0, on peut donc multiplier les deux membres par ce dénominateur sans changer le sens de l'inégalité :\begin{aligned}f(x) \geqslant 0{,}5 &\iff 0{,}95\,x \geqslant 0{,}5\,(0{,}85\,x + 0{,}10) && \quad \text{car } 0{,}85x + 0{,}10 > 0 \\ &\iff 0{,}95\,x \geqslant 0{,}425\,x + 0{,}05 \\ &\iff 0{,}525\,x \geqslant 0{,}05 \\ &\iff x \geqslant \dfrac{0{,}05}{0{,}525} \\ &\iff x \geqslant \dfrac{2}{21}\end{aligned}soit \begin{aligned}x &\geqslant \tfrac{2}{21} \\ &\approx 0{,}095\end{aligned} Il faut donc qu'au moins 9,5 % environ de la population testée soit malade pour qu'une personne testée positive ait plus d'une chance sur deux de l'être vraiment. En dessous de ce seuil, un test positif reste plus souvent une fausse alerte qu'un vrai malade, quelles que soient les qualités du test.

L'énoncé donne P(S) = 0{,}7, P_S(I) = 0{,}98 et P_{\bar{S}}(I) = 0{,}03.

1. La probabilité d'être classé indésirable.\begin{aligned}P(I) &= P(S) \times P_S(I) + P(\bar{S}) \times P_{\bar{S}}(I) \\ &= 0{,}7 \times 0{,}98 + 0{,}3 \times 0{,}03 \\ &= 0{,}686 + 0{,}009 \\ &= \mathbf{0{,}695}\end{aligned}2. Un indésirable est-il vraiment un spam ?\begin{aligned}P_I(S) &= \dfrac{P(S) \times P_S(I)}{P(I)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}686}{0{,}695} \\ &\approx \mathbf{0{,}987}\end{aligned}Près de 99 % des messages classés indésirables sont bien des spams.3. Un spam a-t-il pu passer ?
On a \begin{aligned}P(\bar{I}) &= 1 - 0{,}695 \\ &= 0{,}305\end{aligned} et \begin{aligned}P(S \cap \bar{I}) &= 0{,}7 \times 0{,}02 \\ &= 0{,}014\end{aligned}\begin{aligned}P_{\bar{I}}(S) &= \dfrac{0{,}014}{0{,}305} \\ &\approx \mathbf{0{,}046}\end{aligned}Moins de 5 % des messages laissés dans la boîte de réception sont des spams.4. Le coût des faux positifs.
Sur 1000 messages, 300 sont légitimes et 3 % d'entre eux sont classés indésirables :\begin{aligned}300 \times 0{,}03 &= \mathbf{9}\end{aligned}Neuf messages légitimes par millier finissent donc dans les indésirables. Le filtre est très efficace sur les spams (98 % interceptés, et 98,7 % de ce qu'il bloque est bien du spam), mais ces 9 messages perdus sont le vrai coût du dispositif : un message légitime écarté est bien plus gênant qu'un spam laissé passer. C'est ce qui justifie qu'un dossier « indésirables » reste consultable au lieu d'être supprimé.

Remarque : on retrouve le compromis de tout test binaire. Rendre le filtre plus sévère ferait monter le nombre de spams interceptés et, en même temps, celui des messages légitimes perdus.