Fiche de cours Logimaths | Terminale maths complémentaires
Fiche de cours : Probabilités conditionnelles et inférence bayésienne
Retourner un conditionnement : ce que dit vraiment un test positif
I. Ce qu'on a vu en première
Les quatre outils que ce chapitre réutilise
- Probabilité conditionnelle : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} (probabilité de B « sachant A »), avec P(A) \neq 0 : revoir ;
- Arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins : revoir ;
- Probabilités totales : P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) : revoir ;
- Indépendance : A et B indépendants ⟺ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) : revoir.
La seule égalité à avoir en tête pour démarrer
La définition de la probabilité conditionnelle se lit dans les deux sens. En multipliant les deux membres par P(A) :\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(A) \times P_A(B)\end{aligned}et, en échangeant les rôles de A et B :\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(B) \times P_B(A)\end{aligned}Deux écritures du même nombre. C'est de là, et de rien d'autre, que va sortir la formule de Bayes.
II. P_B(A) et P_A(B) ne sont pas la même chose
⚠️ L'erreur qui coûte le plus de points du chapitre
Prends deux événements : G « gagner au loto » et J « avoir joué au loto ».
- P_G(J) = 1 : tous les gagnants ont joué ;
- P_J(G) est minuscule : presque personne parmi ceux qui jouent ne gagne.
Le vocabulaire aide à ne pas glisser : dans P_A(B), ce qui est connu est écrit en indice, et ce qui est cherché est entre parenthèses.
Le repérage en trois mots : sachant quoi ?
Devant une phrase, cherche le mot qui donne l'information déjà acquise. C'est lui qui part en indice.
- « Parmi les malades, 99 % ont un test positif » → on sait que la personne est malade → P_M(T) = 0{,}99 ;
- « Parmi les tests positifs, 33 % sont ceux de malades » → on sait que le test est positif → P_T(M) = 0{,}33.
🎮 Entraîne-toi : qui part en indice ?
Cherche l'information déjà acquise : c'est elle qui s'écrit en indice.
III. La formule de Bayes
Formule de Bayes
Pour deux événements A et B de probabilités non nulles :\begin{aligned}P_B(A) &= \dfrac{P_A(B) \times P(A)}{P(B)}\end{aligned}et, quand P(B) n'est pas donné directement, on le calcule par les probabilités totales :\begin{aligned}P(B) &= P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)\end{aligned}
▶ 🎓 La démonstration : deux lignes, aucune astuce
On part de la définition, telle qu'elle est écrite :\begin{aligned}P_B(A) &= \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} && \quad \text{par définition} \\ &= \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)} && \quad \text{car } P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\end{aligned}C'est tout. La formule de Bayes n'est que la définition de la probabilité conditionnelle, dans laquelle on a remplacé l'intersection par l'autre de ses deux écritures.
A priori, a posteriori
Le programme donne à ces deux mots un sens précis, et ils tombent tels quels dans les énoncés :
- P(A) est la probabilité a priori : ce qu'on croit AVANT d'observer quoi que ce soit ;
- P_B(A) est la probabilité a posteriori : ce qu'on croit APRÈS avoir observé B.
Sur l'arbre, Bayes se lit sans formule
L'arbre se construit toujours dans le sens de l'énoncé (ici : la cause d'abord, l'observation ensuite). Retourner le conditionnement, c'est alors simplement :P_B(A) \;=le chemin qui passe par A et aboutit à Btous les chemins qui aboutissent à BLe numérateur est un chemin, le dénominateur est leur somme : c'est exactement la formule des probabilités totales qui occupe le dénominateur. Beaucoup d'élèves calculent le bon numérateur et oublient d'additionner tous les chemins au dénominateur.
Un exemple complet, rédigé
Une usine a deux machines. La machine A fabrique 70 % des pièces et en rate 2 % ; la machine B fabrique les 30 % restants et en rate 5 %. On prend une pièce défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine A ?
On note A « la pièce vient de la machine A » et D « la pièce est défectueuse ». L'énoncé donne P(A) = 0{,}7, P_A(D) = 0{,}02 et P_{\bar{A}}(D) = 0{,}05. On cherche P_D(A).
D'abord le dénominateur, par les probabilités totales :\begin{aligned}P(D) &= P(A) \times P_A(D) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(D) \\ &= 0{,}7 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05 \\ &= 0{,}014 + 0{,}015 \\ &= 0{,}029\end{aligned}Puis Bayes :\begin{aligned}P_D(A) &= \dfrac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}014}{0{,}029} \\ &\approx 0{,}483\end{aligned}Environ 48 % des pièces défectueuses viennent de la machine A. Alors que A fabrique 70 % de la production, elle est responsable de moins de la moitié des défauts : c'est bien la machine B, plus rare mais deux fois et demie moins fiable, qui pèse le plus lourd dans les rebuts.
On note A « la pièce vient de la machine A » et D « la pièce est défectueuse ». L'énoncé donne P(A) = 0{,}7, P_A(D) = 0{,}02 et P_{\bar{A}}(D) = 0{,}05. On cherche P_D(A).
D'abord le dénominateur, par les probabilités totales :\begin{aligned}P(D) &= P(A) \times P_A(D) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(D) \\ &= 0{,}7 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05 \\ &= 0{,}014 + 0{,}015 \\ &= 0{,}029\end{aligned}Puis Bayes :\begin{aligned}P_D(A) &= \dfrac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}014}{0{,}029} \\ &\approx 0{,}483\end{aligned}Environ 48 % des pièces défectueuses viennent de la machine A. Alors que A fabrique 70 % de la production, elle est responsable de moins de la moitié des défauts : c'est bien la machine B, plus rare mais deux fois et demie moins fiable, qui pèse le plus lourd dans les rebuts.
🎮 Entraîne-toi : retourner le conditionnement
Numérateur : un seul chemin. Dénominateur : tous les chemins qui aboutissent.
IV. Les tests de dépistage
Les quatre mots du vocabulaire médical
On note M « la personne est malade » et T « le test est positif ». Quatre cas seulement, et deux couples de nombres qui ne se confondent pas :
| Test positif (T) | Test négatif (\bar{T}) | |
|---|---|---|
| Malade (M) | vrai positif | faux négatif |
| Sain (\bar{M}) | faux positif | vrai négatif |
Ce que le test vaut, ce que le résultat vaut
Les qualités du test (elles ne dépendent que du test, on conditionne par l'état de santé) :
- sensibilité = P_M(T) : le test repère-t-il bien les malades ?
- spécificité = P_{\bar{M}}(\bar{T}) : le test laisse-t-il tranquilles les gens sains ?
- valeur prédictive positive (VPP) = P_T(M) : je suis positif, quel risque d'être malade ?
- valeur prédictive négative (VPN) = P_{\bar{T}}(\bar{M}) : je suis négatif, quelle certitude d'être sain ?
L'exemple qui surprend tout le monde
Une maladie touche 1 % de la population. Le test a une sensibilité de 99 % et une spécificité de 98 %. Un test revient positif : quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
Par les probabilités totales :\begin{aligned}P(T) &= P(M) \times P_M(T) + P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(T) \\ &= 0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}02 \\ &= 0{,}0099 + 0{,}0198 \\ &= 0{,}0297\end{aligned}Puis la VPP, par Bayes :\begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M) \times P_M(T)}{P(T)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}0099}{0{,}0297} \\ &= \dfrac{1}{3} \\ &\approx 0{,}333\end{aligned}Une personne dont le test est positif n'a qu'une chance sur trois d'être malade, avec un test qui repère pourtant 99 % des malades. La raison tient en une phrase : les gens sains sont 99 fois plus nombreux, et 2 % d'une foule pèsent plus lourd que 99 % d'une poignée. C'est pour cela qu'un dépistage positif est toujours suivi d'un second examen.
Par les probabilités totales :\begin{aligned}P(T) &= P(M) \times P_M(T) + P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(T) \\ &= 0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}02 \\ &= 0{,}0099 + 0{,}0198 \\ &= 0{,}0297\end{aligned}Puis la VPP, par Bayes :\begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M) \times P_M(T)}{P(T)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{0{,}0099}{0{,}0297} \\ &= \dfrac{1}{3} \\ &\approx 0{,}333\end{aligned}Une personne dont le test est positif n'a qu'une chance sur trois d'être malade, avec un test qui repère pourtant 99 % des malades. La raison tient en une phrase : les gens sains sont 99 fois plus nombreux, et 2 % d'une foule pèsent plus lourd que 99 % d'une poignée. C'est pour cela qu'un dépistage positif est toujours suivi d'un second examen.
Ce n'est pas une bizarrerie de l'exemple : c'est la règle dès qu'une maladie est rare. Fais glisser le curseur ci-dessous pour le voir.
🎛️ L'atelier : fais varier la proportion de malades
Le test ne change pas d'un pouce. Seule la population change,
et pourtant la valeur prédictive positive s'effondre ou grimpe.
Sensibilité fixée à 99 % : le test rate
très peu de malades.
vrais positifs (malades)
faux positifs (sains)
👆 ▶ À toi : avec la même maladie à 1 %, que vaut la VPN ? Vérifie
On cherche P_{\bar{T}}(\bar{M}). D'abord \begin{aligned}P(\bar{T}) &= 1 - 0{,}0297 \\ &= 0{,}9703\end{aligned} puis :\begin{aligned}P(\bar{M} \cap \bar{T}) &= P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(\bar{T}) \\ &= 0{,}99 \times 0{,}98 \\ &= 0{,}9702\end{aligned}donc :\begin{aligned}P_{\bar{T}}(\bar{M}) &= \dfrac{0{,}9702}{0{,}9703} \\ &\approx 0{,}9999\end{aligned}Un test négatif est, lui, presque une certitude. Le même test est donc excellent pour rassurer et médiocre pour affirmer : VPP et VPN n'ont aucune raison de se ressembler.
🎮 Entraîne-toi : sensibilité, spécificité, VPP ou VPN ?
Regarde ce qui est CONNU dans la phrase : l'état de santé, ou le résultat du test ?
V. « De quelle urne vient la boule ? »
Le problème type, et pourquoi il est le même
Deux urnes. L'urne 1 contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l'urne 2 contient 1 rouge et 4 vertes. On choisit une urne au hasard (une chance sur deux), puis une boule dans cette urne. Elle est rouge : quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne 1 ?
On note U_1 « on a choisi l'urne 1 » et R « la boule est rouge ». L'énoncé donne le tirage dans le sens urne → boule ; la question le demande dans le sens boule → urne. C'est le même retournement qu'un test de dépistage, avec d'autres mots.\begin{aligned}P(R) &= P(U_1) \times P_{U_1}(R) + P(U_2) \times P_{U_2}(R) \\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} \\ &= \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} \\ &= \dfrac{4}{10}\end{aligned}puis :\begin{aligned}P_R(U_1) &= \dfrac{P(U_1) \times P_{U_1}(R)}{P(R)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{3/10}{4/10} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}La boule rouge vient de l'urne 1 avec une probabilité de 0,75. L'observation « elle est rouge » a fait passer la probabilité de l'urne 1 de 0,5 (a priori) à 0,75 (a posteriori) : voir une boule rouge est un indice en faveur de l'urne qui en contient le plus.
On note U_1 « on a choisi l'urne 1 » et R « la boule est rouge ». L'énoncé donne le tirage dans le sens urne → boule ; la question le demande dans le sens boule → urne. C'est le même retournement qu'un test de dépistage, avec d'autres mots.\begin{aligned}P(R) &= P(U_1) \times P_{U_1}(R) + P(U_2) \times P_{U_2}(R) \\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} \\ &= \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} \\ &= \dfrac{4}{10}\end{aligned}puis :\begin{aligned}P_R(U_1) &= \dfrac{P(U_1) \times P_{U_1}(R)}{P(R)} && \quad \text{par la formule de Bayes} \\ &= \dfrac{3/10}{4/10} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}La boule rouge vient de l'urne 1 avec une probabilité de 0,75. L'observation « elle est rouge » a fait passer la probabilité de l'urne 1 de 0,5 (a priori) à 0,75 (a posteriori) : voir une boule rouge est un indice en faveur de l'urne qui en contient le plus.
🎮 Entraîne-toi : de quelle urne vient-elle ?
Le chemin qui passe par l'urne demandée, divisé par les deux chemins rouges.
VI. Les pièges du chapitre
⚠️ Les quatre fautes qui reviennent
- Rendre P_T(M) alors que l'énoncé demandait P_M(T) (ou l'inverse). Avant de calculer, écris noir sur blanc ce qui est connu et ce qui est cherché.
- Oublier les probabilités totales au dénominateur. P(B) n'est presque jamais donné tel quel : il faut additionner TOUS les chemins qui aboutissent à B, pas seulement celui qu'on regarde.
- Croire qu'un test très fiable rend un positif quasi certain. La VPP dépend autant de la proportion de malades que des qualités du test : c'est tout l'objet de l'atelier de la partie IV.
- Additionner des probabilités conditionnées par des événements différents. P_M(T) et P_{\bar{M}}(T) ne s'additionnent pas : ils ne portent pas sur le même univers. En revanche P_M(T) + P_M(\bar{T}) = 1, parce que là, l'univers est le même.
La méthode, en quatre temps
- Nommer les deux événements et traduire chaque phrase de l'énoncé en une probabilité (attention à l'indice).
- Dessiner l'arbre dans le sens de l'énoncé, jamais dans le sens de la question.
- Calculer le dénominateur par les probabilités totales.
- Appliquer Bayes, puis interpréter le résultat en français (c'est souvent cette phrase qui vaut le point).