Fiche d'exercices : Loi binomiale

1. L'arbre pondéré.
On note M « l'animal est malade » et T « le test est positif ». Le premier niveau porte l'état de l'animal, le second le résultat du test :Contrôle : la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut 1 (0,02 + 0,98, puis 0,85 + 0,15 et 0,05 + 0,95).
Deux chemins mènent à un test positif : celui qui passe par M et celui qui passe par \overline{M}. D'après la formule des probabilités totales, on a :\begin{aligned}P(T) &= P(M) \times P_M(T) + P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T) \\ &= 0{,}02 \times 0{,}85 + 0{,}98 \times 0{,}05 \\ &= 0{,}017 + 0{,}049 \\ &= \mathbf{0{,}066}\end{aligned}2. La probabilité cherchée.
On sait que le test est positif : on cherche donc P_T(M). D'après la définition d'une probabilité conditionnelle, on a :\begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}02 \times 0{,}85}{0{,}066} \\ &= \dfrac{0{,}017}{0{,}066} \\ &\approx \mathbf{0{,}26}\end{aligned}

Remarque : attention à l'ordre du conditionnement. P_T(M) est l'inverse de ce que l'arbre fournit. Les branches du second niveau portent P_M(T) = 0{,}85 (la probabilité d'un test positif sachant que l'animal est malade), alors qu'on cherche ici la probabilité qu'il soit malade sachant que le test est positif. Confondre les deux est le piège classique des probabilités conditionnelles en terminale.

Interprétation du résultat : seulement 26 %, et sur l'arbre la raison saute aux yeux : le chemin des faux positifs (0,049) pèse presque trois fois plus lourd que celui des vrais positifs (0,017), parce que les animaux sains sont bien plus nombreux. Quand une maladie est rare, la plupart des tests positifs sont des faux positifs : un grand classique du bac, et une vraie question de santé publique.

1. La loi de X.
X ne prend que deux valeurs : 1 en cas de succès, 0 sinon. Le dé est équilibré, donc chacune des 6 faces a la même probabilité. Une seule face donne un six, les cinq autres donnent un échec :Contrôle : la somme de la deuxième ligne vaut \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 1, c'est bien une loi de probabilité.

2. Espérance et variance.
Par définition de l'espérance, on a :\begin{aligned}E(X) &= 0 \times P(X = 0) + 1 \times P(X = 1) \\ &= 0 \times \dfrac{5}{6} + 1 \times \dfrac{1}{6} \\ &= \mathbf{\dfrac{1}{6}}\end{aligned}Pour la variance, on part de {V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2}. Comme X ne prend que les valeurs 0 et 1, X^2 = X, donc E(X^2) = E(X), qui vaut \dfrac{1}{6} :\begin{aligned}V(X) &= \dfrac{1}{6} - \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \\ &= \dfrac{6}{36} - \dfrac{1}{36} \\ &= \mathbf{\dfrac{5}{36}}\end{aligned}

Remarque : on retrouve bien les formules du cours pour une loi de Bernoulli de paramètre p, à savoir E(X) = p et V(X) = p(1 - p) :\begin{aligned}V(X) &= p(1 - p) \\ &= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \\ &= \dfrac{5}{36}\end{aligned}

1. La loi de X.
On commence par nommer l'épreuve qu'on répète : un tir, dont on ne retient que deux issues, le succès « la cible est atteinte », de probabilité p = 0{,}8, et l'échec « la cible est manquée », de probabilité 1 - 0{,}8 = 0{,}2. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,8.
Les trois ingrédients attendus au bac sont alors réunis :

• on répète n = 5 fois cette même épreuve à deux issues ;
• les répétitions sont identiques et indépendantes : l'énoncé précise que chaque tir est indépendant des autres, et la probabilité 0,8 ne change pas d'un tir au suivant ;
• X compte le nombre de succès sur ces 5 répétitions.

On conclut : X suit la loi binomiale B(5 ; 0,8).

Remarque : citer la seule indépendance ne suffit pas. Il faut aussi dire que les épreuves sont identiques (même probabilité de succès à chaque fois) et que X compte des succès : c'est ce troisième ingrédient qui écarte, par exemple, « X = le rang du premier succès ».

2. Le tirage sans remise.
Sans remise, la composition du paquet change après chaque carte tirée, et deux des trois ingrédients tombent :

• les épreuves ne sont plus identiques : au premier tirage la probabilité de tirer un as vaut \dfrac{4}{52}, alors qu'au deuxième elle vaut \dfrac{3}{51} ou \dfrac{4}{51} selon que le premier tirage a donné un as ou non ;
• elles ne sont donc pas indépendantes non plus : le résultat d'un tirage modifie la probabilité du suivant.

X ne suit donc pas une loi binomiale.
Avec remise, en revanche, la probabilité de tirer un as resterait \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} à chaque tirage, et X suivrait B\left(5\,;\,\dfrac{1}{13}\right).

1. On applique la formule de la loi binomiale avec n = 4, p = 0,25 et k = 2 :\begin{aligned}P(X = 2) &= \binom{4}{2} \times 0{,}25^2 \times 0{,}75^2 \\ &= 6 \times \dfrac{1}{16} \times \dfrac{9}{16} \\ &= \dfrac{27}{128} \\ &\approx \mathbf{0{,}211}\end{aligned}2. Même formule aux deux extrémités, avec \binom{4}{0} = 1 et \binom{4}{4} = 1 :\begin{aligned}P(X = 0) &= \binom{4}{0} \times 0{,}25^0 \times 0{,}75^4 \\ &= 1 \times 1 \times 0{,}75^4 \\ &= 0{,}75^4 \\ &\approx \mathbf{0{,}316}\end{aligned}\begin{aligned}P(X = 4) &= \binom{4}{4} \times 0{,}25^4 \times 0{,}75^0 \\ &= 1 \times 0{,}25^4 \times 1 \\ &= 0{,}25^4 \\ &\approx \mathbf{0{,}004}\end{aligned}

1. La loi, l'espérance et l'écart-type.
On répète 300 fois la même épreuve à deux issues (succès : « l'appel est frauduleux », p = 0{,}03), les appels sont indépendants et ont chacun la même probabilité d'être frauduleux, et X compte les succès : X suit B(300 ; 0,03).\begin{aligned}E(X) &= np && \quad \text{par la formule de l'espérance d'une binomiale} \\ &= 300 \times 0{,}03 \\ &= \mathbf{9}\end{aligned}L'écart-type se lit sur la variance, il faut donc la calculer d'abord :\begin{aligned}V(X) &= np(1 - p) && \quad \text{par la formule de la variance d'une binomiale} \\ &= 300 \times 0{,}03 \times 0{,}97 \\ &= \mathbf{8{,}73}\end{aligned}\begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{V(X)} && \quad \text{par définition de l'écart-type} \\ &= \sqrt{8{,}73} \\ &\approx 2{,}955 \\ &\approx \mathbf{3{,}0}\end{aligned}2. L'interprétation.
« Sur un grand nombre de journées de 300 appels, le standard reçoit en moyenne environ 9 appels frauduleux par journée. »
Trois éléments font le point au bac : le mot « en moyenne », la précision « sur un grand nombre de journées », et le rappel de l'unité (des appels frauduleux par journée, pas un nombre nu).

Remarque : E(X) = 9 ne dit pas que la prochaine journée comptera 9 appels frauduleux, ni même que 9 soit le nombre le plus probable. C'est une moyenne sur un grand nombre de journées : np peut d'ailleurs très bien ne pas être un entier.

On répète 6 fois la même épreuve à deux issues (succès : « le billet gagne », p = 0{,}1), les gains sont indépendants et X compte les succès : X suit B(6 ; 0,1).

1. Au moins un billet gagnant.
Calculer P(X \geq 1) directement demanderait d'additionner P(X = 1) + P(X = 2) + \cdots + P(X = 6), soit six termes. Son événement contraire n'en a qu'un seul : « aucun billet gagnant », c'est-à-dire X = 0 :\begin{aligned}P(X \geq 1) &= 1 - P(X = 0) && \quad \text{par l'événement contraire} \\ &= 1 - \binom{6}{0} \times 0{,}1^0 \times 0{,}9^6 \\ &= 1 - 0{,}9^6 \\ &\approx 1 - 0{,}531 \\ &\approx \mathbf{0{,}469}\end{aligned}Un peu moins d'une chance sur deux d'avoir au moins un billet gagnant sur les six.

2. Au plus un billet gagnant.
Attention : « au plus un » n'est pas le contraire de « au moins un ». X ne prend que des valeurs entières, donc X \leq 1 signifie X = 0 ou X = 1, et ces deux événements sont incompatibles : leurs probabilités s'additionnent.\begin{aligned}P(X \leq 1) &= P(X = 0) + P(X = 1) \\ &= 0{,}9^6 + \binom{6}{1} \times 0{,}1^1 \times 0{,}9^5 \\ &= 0{,}9^6 + 6 \times 0{,}1 \times 0{,}9^5 \\ &\approx 0{,}5314 + 0{,}3543 \\ &\approx \mathbf{0{,}886}\end{aligned}

1. L'expression de p_n.
On répète n fois la même épreuve à deux issues (succès : « le composant est défectueux », p = 0{,}05), les tests sont indépendants et X compte les composants défectueux : X suit B(n ; 0,05).
L'événement « au moins un défectueux » admet pour événement contraire « aucun défectueux » :\begin{aligned}p_n &= P(X \geq 1) \\ &= 1 - P(X = 0) && \quad \text{par l'événement contraire} \\ &= \mathbf{1 - 0{,}95^{\,n}}\end{aligned}2. Le plus petit n.
L'inconnue n est en exposant : c'est le logarithme qui l'en fait descendre.\begin{aligned}1 - 0{,}95^{\,n} \geq 0{,}99 &\iff 0{,}95^{\,n} \leq 0{,}01 \\ &\iff n\ln(0{,}95) \leq \ln(0{,}01) && \quad \text{car } \ln \text{ est croissante} \\ &\iff n \geq \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)} && \quad \text{car } \ln(0{,}95) < 0 \\ &\iff n \geq \dfrac{-4{,}605}{-0{,}0513} \\ &\approx 89{,}8\end{aligned}n étant un entier, il faut tester au moins 90 composants.
La question demande le plus petit n : on le justifie en vérifiant que 90 convient et que 89 ne convient pas.\begin{aligned}p_{89} &= 1 - 0{,}95^{89} \\ &\approx 0{,}9896\end{aligned}soit p_{89} < 0{,}99 : 89 composants ne suffisent pas.\begin{aligned}p_{90} &= 1 - 0{,}95^{90} \\ &\approx 0{,}9901\end{aligned}soit p_{90} \geq 0{,}99 ✔
Le plus petit entier qui convient est donc bien n = 90.

1. La loi de X et son espérance.
L'épreuve répétée est le prélèvement d'un article, à deux issues, le succès étant « l'article est non conforme », de probabilité p = 0{,}1. Les trois ingrédients y sont :

• on répète n = 20 fois cette même épreuve à deux issues ;
• les prélèvements sont identiques et indépendants (l'énoncé le précise) ;
• X compte le nombre de succès.

Donc X suit B(20 ; 0,1).\begin{aligned}E(X) &= np && \quad \text{par la formule de l'espérance d'une binomiale} \\ &= 20 \times 0{,}1 \\ &= \mathbf{2}\end{aligned}Sur un grand nombre de prélèvements de 20 articles, on compte en moyenne 2 articles non conformes par prélèvement.

2. Le lot refusé.
« Strictement plus de 4 » s'écrit X > 4, soit X \geq 5 puisque X est entier. Son événement contraire est donc X \leq 4, dont l'énoncé donne la probabilité :\begin{aligned}P(X > 4) &= 1 - P(X \leq 4) && \quad \text{par l'événement contraire} \\ &\approx 1 - 0{,}957 \\ &\approx \mathbf{0{,}043}\end{aligned}Environ 4,3 % des lots sont refusés.

3. L'encadrement.
Pour un encadrement, on soustrait les deux probabilités cumulées. Attention à la borne : on retire P(X \leq 1) et non P(X \leq 2), sans quoi on perdrait la valeur 2, qui fait pourtant partie de l'événement cherché :\begin{aligned}P(2 \leq X \leq 4) &= P(X \leq 4) - P(X \leq 1) \\ &\approx 0{,}957 - 0{,}392 \\ &\approx \mathbf{0{,}565}\end{aligned}Un peu plus d'un lot sur deux contient entre 2 et 4 articles non conformes.