Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité

Fiche de cours : Loi binomiale

Compter les succès quand on répète la même épreuve : la loi vedette du bac

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I. Les rappels indispensables

Probabilités conditionnelles et indépendance

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} (probabilité de B « sachant A ») : revoir ;
probabilités totales : {P(B)} = {P(A \cap B)} + {P(\bar{A} \cap B)} (on additionne les branches de l'arbre qui mènent à B) : revoir ;
A et B indépendants ⟺ {P(A \cap B) = P(A) \times P(B)} : revoir.

Pour des épreuves successives indépendantes, la probabilité d'une liste d'issues est le produit des probabilités : sur un arbre, on multiplie le long des branches.
Ces trois outils ne sont pas réexpliqués en terminale : ils ont été construits en première, et le programme demande ici de s'en servir pour calculer une probabilité. Si l'un d'eux te manque, la fiche Probabilités conditionnelles de 1^re les reprend en entier, avec ses arbres manipulables.

Épreuve et loi de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p).
La variable X qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p, avec E(X) = p et V(X) = p(1 - p).

Les deux preuves. X ne prend que les valeurs 1 (probabilité p) et 0 (probabilité 1 − p) :\begin{aligned}E(X) &= 1 \times p + 0 \times (1 - p) && \quad \text{par définition de l'espérance} \\ &= p + 0 \\ &= \mathbf{p}\end{aligned}\begin{aligned}V(X) &= (1 - p)^2 \times p + (0 - p)^2 \times (1 - p) && \quad \text{par définition de la variance} \\ &= (1 - p)^2\,p + p^2(1 - p) \\ &= p(1 - p)\big[(1 - p) + p\big] && \quad \text{car } \text{on factorise par } p(1-p) \\ &= p(1 - p) \times 1 \\ &= \mathbf{p(1 - p)}\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : la loi de Bernoulli

E(X) = p et V(X) = p(1 − p) : deux formules, zéro hésitation.

II. Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Schéma de Bernoulli, loi binomiale Un schéma de Bernoulli répète n fois la MÊME épreuve de Bernoulli, de façon indépendante.
La variable X qui compte le nombre de succès suit alors la loi binomiale B(n\,;\,p) : elle prend ses valeurs dans {0 ; 1 ; … ; n}.

Justifier une loi binomiale : la phrase rituelle Au bac, trois ingrédients à citer :

on répète n fois la même épreuve à deux issues (succès de probabilité p) ;
les répétitions sont identiques et indépendantes (tirages AVEC remise, ou assimilés) ;
X compte le nombre de succès.

Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

⚠️ Sans remise = pas binomiale Si on tire sans remise, la probabilité de succès change à chaque tirage : les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes, la loi n'est pas binomiale. Autre piège : si X compte « le nombre de tirages avant le premier succès », ce n'est pas non plus une binomiale (X n'est pas un nombre de succès sur n épreuves fixées).

🎮 Entraîne-toi : binomiale ou pas ?

Cherche les trois ingrédients : deux issues, répétitions indépendantes, X compte les succès.

III. La formule P(X = k)

La formule de la loi binomiale Si X suit B(n\,;\,p), alors pour tout k entre 0 et n : {P(X = k)} = \binom{n}{k}\,p^k\,{(1 - p)^{n-k}}.

▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : la formule P(X = k)

Sur l'arbre du schéma de Bernoulli :

un chemin donné comportant k succès (et donc n − k échecs) a pour probabilité p^k (1-p)^{n-k} (produit le long des branches, l'ordre ne changeant pas le produit) ;
le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves est le nombre de façons de choisir la position des k succès : \binom{n}{k}.

En additionnant ces chemins équiprobables : {{P(X = k)} = \binom{n}{k} p^k {(1-p)^{n-k}}}. ∎

Exemple rédigé On tire 4 fois avec remise dans une urne où la probabilité de gagner vaut p = \dfrac{5}{12} : X suit B\left(4\,;\,\dfrac{5}{12}\right) :\begin{aligned}P(X = 3) &= \binom{4}{3}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{3}\left(\dfrac{7}{12}\right)^{1} && \quad \text{par la formule de la loi binomiale} \\ &= 4 \times \dfrac{125}{1728} \times \dfrac{7}{12} \\ &= \dfrac{875}{5184} \\ &\approx \mathbf{0{,}17}\end{aligned}Et P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0), le grand classique. Pour la valeur numérique, la calculatrice s'en charge : mode d'emploi ci-dessous, modèle par modèle.

🧮 À la calculatrice : NumWorks, Casio et TI pas à pas Les commandes n'ont pas le même nom d'une marque à l'autre, et l'ordre des arguments change aussi. Voici comment obtenir P(X = 3) ≈ 0,17 quand X suit B\left(4\,;\,\dfrac{5}{12}\right), sur les trois calculatrices du lycée.

NumWorks (l'appli Probabilités fait tout)

touche 🏠, ouvre l'appli Probabilités avec OK, puis choisis Binomiale ;
entre n = 4 et p = 5/12, puis OK (Suivant) ;
en bas de l'écran, règle le symbole (=, ≤, ≥) puis saisis 3 : la probabilité s'affiche ;
version commande (appli Calculs, boîte à outils 🧰) : binompdf(3,4,5/12) pour P(X = 3), binomcdf(3,4,5/12) pour P(X ≤ 3) : k se donne en premier.

Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)

MENU, ouvre Statistiques, puis F5 DIST et F5 BINOMIAL ;
F1 Bpd pour P(X = k), F2 Bcd pour P(X ≤ k) ;
remplis : Data : Variable, x : 3, Numtrial : 4, p : 5/12, puis EXE.

TI-83 Premium CE (la TI standard au lycée, commandes en français)

2nde puis var (le menu distrib, écrit en bleu au-dessus de la touche) ;
choisis binomFdp( : nbreEssais : 4, p : 5/12, valeur de x : 3, puis Coller et entrer : ici n se donne en premier ;
binomFRép( donne P(X ≤ k) ; sur une TI en anglais (TI-84), les mêmes commandes s'appellent binompdf et binomcdf.

🎮 Entraîne-toi : monter la formule

Coefficient binomial × p puissance k × (1 − p) puissance n − k.

IV. Espérance et variance

E(X) = np Si X suit B(n\,;\,p) :

E(X) = np (n épreuves qui rapportent p succès « en moyenne » chacune) ;
V(X) = np(1 - p) et {\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}}.

Exemple : sur 100 lancers d'un dé, le nombre de six suit B\left(100\,;\,\dfrac{1}{6}\right) : on en attend \dfrac{100}{6} \approx 16{,}7.

⚠️ E(X) n'est pas « la valeur la plus probable » np peut même ne pas être entier (16,7 six…) : l'espérance est une moyenne sur un grand nombre de répétitions de l'expérience entière, pas une prédiction du prochain résultat. L'interprétation en français vaut souvent un point au bac.

👆 ▶ À toi : X suit B(60 ; 0,25). Calcule E(X) et V(X). Vérifie

Ici n = 60 et p = 0{,}25 :\begin{aligned}E(X) &= np && \quad \text{par la formule de l'espérance d'une binomiale} \\ &= 60 \times 0{,}25 \\ &= \mathbf{15}\end{aligned}\begin{aligned}V(X) &= np(1 - p) && \quad \text{par la formule de la variance d'une binomiale} \\ &= 60 \times 0{,}25 \times 0{,}75 \\ &= \mathbf{11{,}25}\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : l'espérance np

Multiplie le nombre d'épreuves par la probabilité de succès.

V. L'événement contraire et les problèmes de seuil

« Au moins un » se calcule TOUJOURS par le contraire « Au moins un succès » s'écrit X \geqslant 1. Le calculer directement obligerait à additionner P(X = 1) + P(X = 2) + \cdots + P(X = n), soit n termes. Son contraire n'en a qu'un seul : « aucun succès », X = 0.\begin{aligned}P(X \geqslant 1) &= 1 - P(X = 0) && \quad \text{par l'événement contraire} \\ &= 1 - \binom{n}{0}p^0(1 - p)^{n} \\ &= 1 - (1 - p)^n\end{aligned}C'est LE réflexe du chapitre : dès qu'un énoncé dit « au moins », on passe au contraire.
Plus généralement, pour un entier k : P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1).

⚠️ Le contraire de « au moins k » n'est pas « au plus k » X ne prend que des valeurs entières, et c'est ce qui décale la borne :

le contraire de X \geqslant 1 est X = 0, pas X \leqslant 1 ;
le contraire de X \geqslant 3 est X \leqslant 2 ;
« plus de 3 » signifie X \geqslant 4, alors que « au moins 3 » signifie X \geqslant 3.

Relire l'énoncé pour trancher entre les deux vaut souvent le point.

Le problème de seuil : combien d'épreuves faut-il ? « Combien de fois répéter l'épreuve pour être sûr à 99 % d'obtenir au moins un succès ? » La question porte sur n, l'inconnue est donc en exposant : c'est le logarithme qui l'en fait descendre.

Le logarithme népérien est vu au chapitre « Fonction logarithme népérien » : on n'utilise ici que sa croissance et le fait que \ln(a^n) = n\ln(a).

Exemple. Un composant est défectueux avec la probabilité 0,05, indépendamment des autres. Combien en tester pour avoir au moins un défectueux avec une probabilité d'au moins 0,99 ?\begin{aligned}P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99 &\iff 1 - 0{,}95^{\,n} \geqslant 0{,}99 && \quad \text{par l'événement contraire} \\ &\iff 0{,}95^{\,n} \leqslant 0{,}01 \\ &\iff n\ln(0{,}95) \leqslant \ln(0{,}01) && \quad \text{car } \ln \text{ est croissante} \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)} && \quad \text{car } \ln(0{,}95) < 0 \\ &\approx 89{,}78\end{aligned}n est un entier : il faut donc tester 90 composants. On vérifie que 90 convient et que 89 ne convient pas : c'est ce qui justifie que 90 est bien le plus petit entier qui marche.

⚠️ Diviser par ln(1 − p) retourne l'inégalité 1 − p est compris entre 0 et 1, donc \ln(1 - p) < 0. Diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité : le \leqslant devient \geqslant. C'est l'erreur la plus fréquente de ce type d'exercice, et elle donne une réponse qui a l'air correcte.

👆 ▶ À toi : p = 0,2. Combien d'épreuves pour avoir au moins un succès avec une probabilité d'au moins 0,95 ? Vérifie

Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », de probabilité 0{,}8^{\,n} :\begin{aligned}P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}95 &\iff 1 - 0{,}8^{\,n} \geqslant 0{,}95 && \quad \text{par l'événement contraire} \\ &\iff 0{,}8^{\,n} \leqslant 0{,}05 \\ &\iff n\ln(0{,}8) \leqslant \ln(0{,}05) && \quad \text{car } \ln \text{ est croissante} \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} && \quad \text{car } \ln(0{,}8) < 0 \\ &\approx 13{,}43\end{aligned}Il faut donc 14 épreuves. Contrôle : 0{,}8^{13} \approx 0{,}055, qui dépasse 0,05 (13 ne suffit pas), et 0{,}8^{14} \approx 0{,}044, qui est bien inférieur à 0,05 ✔

🎮 Entraîne-toi : « au moins un »

Passe par le contraire : 1 − (1 − p)ⁿ.

📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre