Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Vecteurs, droites et plans de l'espace
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Chasles dans le cube⭐
Dans le cube ABCDEFGH (E au-dessus de A, F de B, G de C, H de D), simplifie :
- \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}
- \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} − \overrightarrow{AB}
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Chasles en chaîne : \overrightarrow{AG} (la grande diagonale du cube).
2. \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}, puis \overrightarrow{AF} − \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF} (l'arête verticale en B).
2. \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}, puis \overrightarrow{AF} − \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF} (l'arête verticale en B).
Exercice 2 : Coordonnées et combinaisons⭐
Soient \vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3) et \vec{v}(-1\,;\,4\,;\,0).
- Calcule les coordonnées de 3\vec{u} + 2\vec{v}.
- Calcule les coordonnées de \vec{u} - 2\vec{v}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. (6 - 2\,;\,-3 + 8\,;\,9 + 0) = (4\,;\,5\,;\,9).
2. (2 + 2\,;\,-1 - 8\,;\,3 - 0) = (4\,;\,-9\,;\,3).
2. (2 + 2\,;\,-1 - 8\,;\,3 - 0) = (4\,;\,-9\,;\,3).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Colinéarité⭐⭐
- \vec{u}(6\,;\,-9\,;\,3) et \vec{v}(-2\,;\,3\,;\,-1) sont-ils colinéaires ?
- \vec{u}(4\,;\,2\,;\,-6) et \vec{w}(6\,;\,3\,;\,-8) ?
- Détermine m pour que \vec{a}(2\,;\,m\,;\,5) et \vec{b}(6\,;\,12\,;\,15) soient colinéaires.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \vec{u} = -3\vec{v} (coefficient −3 pour les trois coordonnées) : oui.
2. 6/4 = 1{,}5 et 3/2 = 1{,}5 mais -8/(-6) \neq 1{,}5 : non.
3. \vec{b} = 3\vec{a} impose 12 = 3m, donc m = 4.
2. 6/4 = 1{,}5 et 3/2 = 1{,}5 mais -8/(-6) \neq 1{,}5 : non.
3. \vec{b} = 3\vec{a} impose 12 = 3m, donc m = 4.
Exercice 4 : Positions relatives dans le cube⭐⭐
Dans le cube ABCDEFGH, donne la position relative (sécantes, parallèles, non coplanaires) :
- (EH) et (BC)
- (AC) et (EG)
- (AH) et (BG)
- (BD) et (CG)
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. EH est l'arête au-dessus de AD, et AD ∥ BC : parallèles.
2. Diagonales des faces du bas et du haut, de même direction : parallèles.
3. AH est dans la face ADHE, BG dans la face BCGF (faces parallèles), directions différentes : non coplanaires.
4. BD est dans la base, CG est verticale en C ∉ (BD) : pas d'intersection, pas parallèles : non coplanaires.
2. Diagonales des faces du bas et du haut, de même direction : parallèles.
3. AH est dans la face ADHE, BG dans la face BCGF (faces parallèles), directions différentes : non coplanaires.
4. BD est dans la base, CG est verticale en C ∉ (BD) : pas d'intersection, pas parallèles : non coplanaires.
Exercice 5 : Vecteurs coplanaires⭐⭐
Soient \vec{u}(1\,;\,2\,;\,0), \vec{v}(3\,;\,-1\,;\,0) et \vec{w}(5\,;\,3\,;\,0).
- Justifie sans calcul que ces trois vecteurs sont coplanaires.
- Trouve x et y tels que \vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}.
- Le triplet (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) peut-il servir de base de l'espace ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Leurs cotes sont toutes nulles : ils vivent dans le plan z = 0.
2. Système : x + 3y = 5 et 2x - y = 3 : x = 2, y = 1 (vérification : 2\vec{u} + \vec{v} = (5\,;\,3\,;\,0) ✔).
3. Non : une base exige trois vecteurs NON coplanaires.
2. Système : x + 3y = 5 et 2x - y = 3 : x = 2, y = 1 (vérification : 2\vec{u} + \vec{v} = (5\,;\,3\,;\,0) ✔).
3. Non : une base exige trois vecteurs NON coplanaires.
Exercice 6 : Plans parallèles (pyramide)⭐⭐
SABC est un tétraèdre. I, J, K sont les milieux de [SA], [SB], [SC].
- Exprime \overrightarrow{IJ} en fonction de \overrightarrow{AB}.
- Démontre que les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{SJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AS} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{SB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
2. De même \overrightarrow{JK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{JK} (non colinéaires) sont respectivement colinéaires à \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} : les deux plans ont la même direction, ils sont parallèles. (C'est le théorème des milieux, version espace.)
2. De même \overrightarrow{JK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{JK} (non colinéaires) sont respectivement colinéaires à \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} : les deux plans ont la même direction, ils sont parallèles. (C'est le théorème des milieux, version espace.)
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Alignement par décomposition⭐⭐⭐
Dans le cube ABCDEFGH, on prend le repère (A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}). Soit L le point tel que \overrightarrow{AL} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}.
- Donne les coordonnées de G, puis de L.
- Montre que A, L et G sont alignés (évident !) puis que L appartient au plan (BDE) en trouvant x, y tels que \overrightarrow{BL} = x\overrightarrow{BD} + y\overrightarrow{BE}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. G(1 ; 1 ; 1), donc L\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right).
2. \overrightarrow{AL} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG} par définition : alignés. Ensuite B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) : \overrightarrow{BL}\left(-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right), \overrightarrow{BD}(-1\,;\,1\,;\,0), \overrightarrow{BE}(-1\,;\,0\,;\,1).
Le système donne y = \dfrac{2}{3}, x = \dfrac{2}{3} et la première coordonnée vérifie \begin{aligned}-x - y &= -\dfrac{4}{3} \\ &\neq -\dfrac{1}{3}\end{aligned}… non : L n'appartient PAS au plan (BDE). Le point d'intersection de (AG) avec (BDE) est en fait \dfrac{1}{3} de la diagonale : moralité, on vérifie TOUTES les coordonnées avant de conclure.
2. \overrightarrow{AL} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG} par définition : alignés. Ensuite B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) : \overrightarrow{BL}\left(-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right), \overrightarrow{BD}(-1\,;\,1\,;\,0), \overrightarrow{BE}(-1\,;\,0\,;\,1).
Le système donne y = \dfrac{2}{3}, x = \dfrac{2}{3} et la première coordonnée vérifie \begin{aligned}-x - y &= -\dfrac{4}{3} \\ &\neq -\dfrac{1}{3}\end{aligned}… non : L n'appartient PAS au plan (BDE). Le point d'intersection de (AG) avec (BDE) est en fait \dfrac{1}{3} de la diagonale : moralité, on vérifie TOUTES les coordonnées avant de conclure.
Exercice 8 : Synthèse : le toit de la maison⭐⭐⭐
ABCDEFGH est un pavé droit (E au-dessus de A). M est le milieu de [EF] et N celui de [HG].
- Justifie que \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EH} puis que (MN) est parallèle au plan (ADH).
- Les droites (AM) et (DN) sont-elles coplanaires ? (Compare \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{DN}.)
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HN} et \overrightarrow{ME} = −\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} = −\overrightarrow{HN} : les deux moitiés s'annulent, \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EH}. Ce vecteur dirige le plan (ADH) (car \overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD}) et (MN) n'y est pas incluse : (MN) est parallèle au plan (ADH).
2. \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DH} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} (arêtes égales du pavé) : \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{DN}. Vecteurs égaux donc droites parallèles : elles sont coplanaires (AMND est même un parallélogramme).
2. \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DH} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} (arêtes égales du pavé) : \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{DN}. Vecteurs égaux donc droites parallèles : elles sont coplanaires (AMND est même un parallélogramme).