Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Vecteurs, droites et plans de l'espace
La géométrie vectorielle passe en 3D : directions, plans, bases et coplanarité
I. Les vecteurs de l'espace
Vecteur de l'espace, combinaison linéaire
Un vecteur de l'espace est défini, comme dans le plan, par une direction, un sens et une norme : toutes les règles de Première (Chasles, somme, produit par un réel, colinéarité) restent valables.
Une combinaison linéaire de \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} est un vecteur de la forme a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} (a, b, c réels).
Dans un cube ou un parallélépipède, on « fabrique un chemin » avec Chasles pour construire ou décomposer un vecteur.
Une combinaison linéaire de \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} est un vecteur de la forme a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} (a, b, c réels).
Dans un cube ou un parallélépipède, on « fabrique un chemin » avec Chasles pour construire ou décomposer un vecteur.
Exemple rédigé (pyramide SABC, plans parallèles)
I, J, K milieux de [SA], [SB], [SC]. Alors \begin{aligned}\overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{SJ} \\ &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AS} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{SB} \\ &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\end{aligned} \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires (idem pour \overrightarrow{JK} et \overrightarrow{BC}) : les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles.
🎮 Entraîne-toi : combinaisons linéaires en coordonnées
Multiplie chaque vecteur par son coefficient, puis additionne coordonnée par coordonnée.
II. Droites et plans : qui les dirige ?
Droite : UN vecteur directeur
Une droite d de l'espace est déterminée par un point A et un vecteur directeur \vec{u} \neq \vec{0} : M appartient à d ⟺ \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires.
Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Plan : DEUX vecteurs directeurs non colinéaires
Un plan P est déterminé par un point A et deux vecteurs \vec{u}, \vec{v} non colinéaires : M appartient à P ⟺ \overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v} pour des réels x, y.
Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles : pour prouver que deux plans sont parallèles, on montre que deux vecteurs non colinéaires de l'un sont colinéaires à deux vecteurs de l'autre.
Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles : pour prouver que deux plans sont parallèles, on montre que deux vecteurs non colinéaires de l'un sont colinéaires à deux vecteurs de l'autre.
🎮 Entraîne-toi : colinéaires ou pas ?
Cherche un coefficient k qui transforme TOUTES les coordonnées de u en celles de v.
III. Positions relatives
Le catalogue complet
- Deux droites : coplanaires (sécantes OU parallèles) ou non coplanaires (elles ne se croisent jamais sans être parallèles : situation impossible dans le plan !) ;
- deux plans : sécants suivant une droite, ou parallèles ;
- une droite et un plan : sécants en un point, ou parallèles (la droite pouvant être incluse dans le plan).
⚠️ Dans l'espace, « jamais sécantes » ≠ « parallèles »
Dans le cube ABCDEFGH (E au-dessus de A, F de B, G de C, H de D), les droites (AD) et (CG) ne se coupent pas ET ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires. Le réflexe « pas d'intersection donc parallèles » est un réflexe de géométrie PLANE à désapprendre en 3D.
🎮 Entraîne-toi : positions dans le cube
Cube ABCDEFGH : E au-dessus de A, F de B, G de C, H de D. Visualise chaque droite.
IV. Coplanarité, bases et repères
Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs sont coplanaires si des représentants vivent dans un même plan, c'est-à-dire si l'un est combinaison linéaire des deux autres : \vec{u} = x\vec{v} + y\vec{w}.
Trois vecteurs NON coplanaires forment une base (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) de l'espace.
Trois vecteurs NON coplanaires forment une base (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) de l'espace.
Décomposition unique
Dans une base (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), tout vecteur s'écrit de façon unique : {\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}} : ce sont ses coordonnées (x ; y ; z).
Avec un point O en plus, on obtient un repère (O\,;\,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) de l'espace : chaque point a trois coordonnées.
Avec un point O en plus, on obtient un repère (O\,;\,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) de l'espace : chaque point a trois coordonnées.
Méthode : prouver un alignement ou une coplanarité
Pour montrer que E, J, C sont alignés : décomposer \overrightarrow{EJ} et \overrightarrow{EC} dans une même base (par exemple (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}) dans un cube), puis vérifier que les coordonnées de l'un sont proportionnelles à celles de l'autre : colinéarité = alignement.
Même stratégie pour « quatre points coplanaires » : montrer que {\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}}.
Même stratégie pour « quatre points coplanaires » : montrer que {\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}}.
👆 ▶ À toi : u(2 ; 4 ; −2) et v(−3 ; −6 ; 3). Les droites dirigées par u et v sont-elles parallèles ? Vérifie
\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u} (le même coefficient −1,5 marche pour les trois coordonnées) : vecteurs colinéaires, donc droites parallèles (ou confondues).
🎮 Entraîne-toi : coplanaires ou base ?
Trois vecteurs coplanaires ne peuvent pas former une base : cherche la combinaison.