Fiche de cours Logimaths | Terminale maths expertes
Fiche de cours : Nombres complexes
Le nombre i qui rend tout possible : formes algébrique, trigonométrique, exponentielle
I. La forme algébrique
Le nombre i et l'ensemble ℂ
On introduit un nombre i tel que {i^2 = -1}. L'ensemble ℂ des nombres complexes est l'ensemble des {z = a + bi} avec a, b réels :
- a est la partie réelle \text{Re}(z) ;
- b est la partie imaginaire \text{Im}(z) (un RÉEL : le i n'en fait pas partie) ;
- deux complexes sont égaux ⟺ mêmes parties réelles ET imaginaires.
Calculer en remplaçant i² par −1
On développe comme avec des réels, puis on remplace i^2 par −1 :
\begin{aligned}(2 + i)(3 - 2i) &= 6 - 4i + 3i - 2i^2 \\ &= 6 - i + 2 \\ &= 8 - i\end{aligned}
Puissances de i : {i^2 = -1}, i^3 = -i, i^4 = 1, puis ça recommence (cycle de longueur 4).
\begin{aligned}(2 + i)(3 - 2i) &= 6 - 4i + 3i - 2i^2 \\ &= 6 - i + 2 \\ &= 8 - i\end{aligned}
Puissances de i : {i^2 = -1}, i^3 = -i, i^4 = 1, puis ça recommence (cycle de longueur 4).
🎮 Entraîne-toi : parties réelle et imaginaire
Développe, remplace i² par −1, puis regroupe : le réel d'un côté, le i de l'autre.
II. Le conjugué
Conjugué et propriétés
Le conjugué de {z = a + bi} est \bar{z} = a - bi (on change le signe du i).
Propriétés : \overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}, \overline{z z'} = \bar{z}\,\bar{z'}, \overline{\bar{z}} = z ; z est réel ⟺ z = \bar{z}.
La formule magique : z\bar{z} = a^2 + b^2 (un réel positif !).
Propriétés : \overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}, \overline{z z'} = \bar{z}\,\bar{z'}, \overline{\bar{z}} = z ; z est réel ⟺ z = \bar{z}.
La formule magique : z\bar{z} = a^2 + b^2 (un réel positif !).
Méthode : diviser par un complexe
Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur :
\begin{aligned}\dfrac{1}{2 + i} &= \dfrac{2 - i}{(2 + i)(2 - i)} \\ &= \dfrac{2 - i}{4 + 1} \\ &= \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i\end{aligned}
Même réflexe que pour « chasser la racine du dénominateur » avec les quantités conjuguées.
\begin{aligned}\dfrac{1}{2 + i} &= \dfrac{2 - i}{(2 + i)(2 - i)} \\ &= \dfrac{2 - i}{4 + 1} \\ &= \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i\end{aligned}
Même réflexe que pour « chasser la racine du dénominateur » avec les quantités conjuguées.
🎮 Entraîne-toi : z fois son conjugué
z × z̄ = a² + b², toujours réel : c'est la clé des quotients.
III. Module et argument
Le plan complexe
Au complexe {z = a + bi} on associe le point M(a ; b) du plan (son affixe est z) :
- le module |z| = \sqrt{a^2 + b^2} est la distance OM (et |z_B - z_A| = AB) ;
- l'argument \arg(z) (z ≠ 0) est l'angle entre l'axe des réels et OM, défini à 2π près.
Formes trigonométrique et exponentielle
Avec r = |z| et θ = arg(z) :
- forme trigonométrique : {z = r(\cos\theta + i\sin\theta)} ;
- forme exponentielle : z = re^{i\theta} (notation d'Euler).
Exemple rédigé : mettre 1 + i sous forme exponentielle
Module : \begin{aligned}|1 + i| &= \sqrt{1 + 1} \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}
Argument : \begin{aligned}\cos\theta &= \sin\theta \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned} donne \theta = \dfrac{\pi}{4}.
Conclusion : 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
Argument : \begin{aligned}\cos\theta &= \sin\theta \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned} donne \theta = \dfrac{\pi}{4}.
Conclusion : 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
🎮 Entraîne-toi : le module
Racine de a² + b² : Pythagore dans le plan complexe.
IV. Multiplier en exponentielle : la forme reine
Produit et quotient
Pour z = re^{i\theta} et z' = r'e^{i\theta'} :
- zz' = rr'\,e^{i(\theta + \theta')} : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent ;
- \dfrac{z}{z'} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')} ;
- z^n = r^n e^{in\theta} (formule de Moivre).
⚠️ Chaque forme a son métier
Additions et soustractions : forme algébrique. Produits, quotients, puissances, angles : forme exponentielle. Vouloir additionner deux exponentielles ou multiplier laborieusement deux formes algébriques de tête est LA perte de temps classique : commence par choisir la bonne forme.
👆 ▶ À toi : z = 2e^{i\pi/6}. Calcule z^3 (module et argument). Vérifie
\begin{aligned}z^3 &= 2^3 e^{i \cdot 3\pi/6} \\ &= 8e^{i\pi/2} \\ &= 8i\end{aligned} : module 8, argument \dfrac{\pi}{2}.
🎮 Entraîne-toi : produits en exponentielle
Modules multipliés, arguments additionnés : rien d'autre à savoir.