Fiche de cours Logimaths | Terminale maths expertes
Fiche de cours : Équations polynomiales
Dans ℂ, plus aucune équation polynomiale ne résiste : Δ < 0 devient un cas normal
I. Le second degré dans ℂ
Δ < 0 n'est plus une impasse
Pour {az^2 + bz + c = 0} (a, b, c réels, a ≠ 0) avec \Delta = b^2 - 4ac :
- si Δ > 0 : deux racines réelles (comme en Première) ;
- si Δ = 0 : une racine double réelle ;
- si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées : z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
Exemple rédigé : résoudre z² − 2z + 5 = 0
\begin{aligned}\Delta &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned} : deux racines conjuguées :
\begin{aligned}z &= \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} \\ &= 1 \pm 2i\end{aligned}
Vérification express : leur somme vaut 2 (c'est −b/a ✔) et leur produit \begin{aligned}(1+2i)(1-2i) &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned} (c'est c/a ✔).
\begin{aligned}z &= \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} \\ &= 1 \pm 2i\end{aligned}
Vérification express : leur somme vaut 2 (c'est −b/a ✔) et leur produit \begin{aligned}(1+2i)(1-2i) &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned} (c'est c/a ✔).
🎮 Entraîne-toi : le discriminant
Δ = b² − 4ac, avec son signe : c'est lui qui décide du monde (ℝ ou ℂ).
🎮 Entraîne-toi : résoudre dans ℂ
Racines conjuguées : (−b ± i√(−Δ)) divisé par 2a.
II. Racines et factorisation
Le théorème de factorisation
Soit P un polynôme et a un nombre :
- a est une racine de P ⟺ P(a) = 0 ⟺ P se factorise par (z - a) : {P(z) = (z - a)Q(z)} avec Q de degré un de moins ;
- conséquence : un polynôme de degré n admet au plus n racines.
Méthode : abaisser le degré d'une équation
Pour résoudre z^3 - 3z^2 + 7z - 5 = 0 :
- racine évidente : P(1) = 1 − 3 + 7 − 5 = 0 : z = 1 convient ;
- factoriser : {P(z) = (z - 1)(z^2 + bz + 5)} et l'identification donne b = −2 ;
- finir au second degré : {z^2 - 2z + 5 = 0} donne 1 \pm 2i.
🎮 Entraîne-toi : racine ou pas ?
Remplace z par la valeur proposée : zéro exactement, ou pas.
III. Somme et produit des racines
Les relations coefficients-racines
Si z_1 et z_2 sont les racines de {az^2 + bz + c = 0} :
- z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a} ;
- z_1 \times z_2 = \dfrac{c}{a}.
⚠️ Les signes, encore les signes
Dans z^2 - Sz + P, la somme apparaît avec un signe moins et le produit avec un signe plus. Exemple : racines 2 et 3 → z^2 - 5z + 6 : développer (z - 2)(z - 3) pour s'en convaincre.
🎮 Entraîne-toi : somme et produit
Somme = −b/a, produit = c/a : lis-les directement sur l'équation.
IV. Les racines n-ièmes de l'unité
L'équation zⁿ = 1
Les solutions de z^n = 1 sont les n nombres : z_k = e^{2ik\pi/n} pour k = 0, 1, …, n − 1.
Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité (avec le sommet 1).
Exemples : n = 2 donne {1 ; −1} ; n = 4 donne {1 ; i ; −1 ; −i} ; n = 3 donne \{1\,;\,j\,;\,\bar{j}\} avec \begin{aligned}j &= e^{2i\pi/3} \\ &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\end{aligned}
Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité (avec le sommet 1).
Exemples : n = 2 donne {1 ; −1} ; n = 4 donne {1 ; i ; −1 ; −i} ; n = 3 donne \{1\,;\,j\,;\,\bar{j}\} avec \begin{aligned}j &= e^{2i\pi/3} \\ &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\end{aligned}
Vérifier avec Moivre
\begin{aligned}\left(e^{2ik\pi/n}\right)^n &= e^{2ik\pi} \\ &= 1\end{aligned} pour tout entier k : chaque z_k est bien solution. Et comme z^n - 1 est de degré n, il ne peut pas y en avoir d'autres : le théorème de la partie II ferme la porte.
👆 ▶ À toi : donne les 4 solutions de z⁴ = 1, puis vérifie que leur somme vaut 0. Vérifie
S = \{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\} et 1 + i − 1 − i = 0.
C'est général : pour n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de l'unité est toujours nulle (le polygone est équilibré autour de l'origine).
C'est général : pour n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de l'unité est toujours nulle (le polygone est équilibré autour de l'origine).