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Cahier de prépa Logimaths | L1 Éco

Cahier de prépa : bien démarrer les maths en L1 Sciences éco

10 séances de 20 à 30 minutes pour réviser les prérequis des chapitres 1 et 2, sans entamer le programme de l'année

📘 Chapitre 1 : Suites réelles 📘 Chapitre 2 : Fonctions ← Retour à la page Sciences éco
🎯 À qui sert ce cahier Tu entres en première année de Sciences économiques et le premier semestre s'ouvre sur deux chapitres : Suites réelles, puis Fonctions : généralités et rappels.

Ces deux chapitres ne partent pas de zéro : ils supposent acquis un socle de lycée que l'amphi ne reprendra pas. Ce cahier révise ce socle, et rien d'autre. Tu n'y trouveras aucune notion nouvelle de l'année : ni démonstration par récurrence, ni limite, ni fonction réciproque. Ces notions t'attendent en septembre, et tu les aborderas d'autant mieux que les outils ci-dessous seront devenus automatiques.
📅 Comment l'utiliser
  • 10 séances de 20 à 30 minutes, à raison d'une par jour ouvré pendant deux semaines. La régularité compte plus que la durée.
  • La semaine 1 prépare le chapitre 1 (calcul, équations, inégalités, suites arithmétiques et géométriques).
  • La semaine 2 prépare le chapitre 2 (domaines, fonctions de référence, variations, exponentielle et logarithme).
  • Cherche d'abord, sur papier. La correction est sous chaque énoncé, dépliable : elle ne sert à rien tant que tu ne t'es pas trompé au moins une fois.
  • Chaque séance se termine par un lien vers la fiche de cours du lycée correspondante, si un point résiste.
⚠️ Le seul vrai piège En terminale, une erreur de calcul coûte des points. En licence, elle coûte le raisonnement entier : les énoncés d'Analyse I enchaînent quatre ou cinq étapes avant d'arriver à la conclusion, et une fraction mal réduite au deuxième pas rend les trois suivants illisibles.

C'est pour cela que ce cahier commence par du calcul pur avant de parler de suites et de fonctions. Ce n'est pas une révision de confort : c'est l'outil de travail de toute l'année.
J1 : calcul algébrique J2 : racines et second degré J3 : inégalités et intervalles J4 : suites, le vocabulaire J5 : sommes et intérêts composés J6 : domaine de définition J7 : fonctions de référence J8 : variations et extremums J9 : exponentielle et logarithme J10 : bilan et rentrée

Semaine 1 : les outils du chapitre « Suites réelles »

Jour 1 : Calcul algébrique

⏱️ Séance de 25 minutes Fractions, puissances, développement et factorisation. C'est la séance la moins spectaculaire du cahier et la plus rentable : tout le reste s'appuie dessus.
Rappel express
  • Additionner deux fractions : même dénominateur d'abord, \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}.
  • Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}.
  • Puissances : x^m \times x^n = x^{m+n}, \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}, (x^m)^n = x^{mn}, x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}.
  • Identités remarquables : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
Exercice 1.1 : Fractions⭐
  1. Calcule \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}.
  2. Calcule \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{9}.
  3. Écris \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} sous la forme d'une seule fraction.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1.1
1. Dénominateur commun 12 : \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12}.
2. \begin{aligned}\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{8} &= \dfrac{18}{24} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}
3. \dfrac{x+1}{x(x+1)} + \dfrac{x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}, pour x \neq 0 et x \neq -1. Ce réflexe « une seule barre de fraction » servira tout le semestre.
Exercice 1.2 : Puissances⭐ Simplifie, en écrivant le résultat sous la forme d'une seule puissance quand c'est possible :
  1. x^5 \times x^{-3}
  2. (2x^3)^4
  3. \dfrac{x^7}{x^2}
  4. \dfrac{3^{-2} \times 3^5}{3^2}
👆 ▶ Correction de l'exercice 1.2
1. x^{5-3} = x^2.
2. L'exposant s'applique aussi au 2 : 2^4 \times x^{12} = 16x^{12} (l'oubli du 2^4 est l'erreur la plus fréquente).
3. x^{7-2} = x^5.
4. \begin{aligned}3^{-2+5-2} &= 3^1 \\ &= 3\end{aligned}
Exercice 1.3 : Développer et factoriser⭐
  1. Développe (2x-3)(x+5).
  2. Développe (x+4)^2.
  3. Factorise x^2 - 9.
  4. Factorise 3x^2 + 6x.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1.3
1. 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15.
2. x^2 + 8x + 16 (jamais x^2 + 16).
3. Différence de deux carrés : (x-3)(x+3).
4. Facteur commun 3x : 3x(x+2). Factoriser, c'est ce qui permettra plus tard de lire d'un coup d'œil où une expression s'annule.
📘 Revoir : calcul littéral 📘 Revoir : fractions 📘 Revoir : puissances

Jour 2 : Racines carrées et second degré

⏱️ Séance de 30 minutes Manipuler les racines sans faute, résoudre une équation du second degré et une équation produit nul. En licence, ces résolutions ne sont plus l'exercice : elles sont une étape au milieu d'un raisonnement.
Rappel express
  • \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} et \left(\sqrt{a}\right)^2 = a pour a \geqslant 0.
  • En revanche \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} : teste avec 9 et 16 si le doute revient.
  • Pour ax^2 + bx + c = 0 avec a \neq 0 : \Delta = b^2 - 4ac. Si \Delta > 0, deux solutions x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ; si \Delta = 0, une solution double ; si \Delta < 0, aucune solution réelle.
  • Équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Exercice 2.1 : Racines carrées⭐
  1. Écris \sqrt{50} sous la forme a\sqrt{b} avec b le plus petit possible.
  2. Calcule \sqrt{12} + \sqrt{27}.
  3. Écris \dfrac{1}{\sqrt{3}} sans racine au dénominateur.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2.1
1. \begin{aligned}\sqrt{50} &= \sqrt{25 \times 2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}
2. \sqrt{12} = 2\sqrt{3} et \sqrt{27} = 3\sqrt{3} : la somme vaut 5\sqrt{3}. On ne peut additionner que des racines identiques, exactement comme des « x ».
3. On multiplie haut et bas par \sqrt{3} : \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
Exercice 2.2 : Trois équations du second degré⭐⭐ Résous dans \mathbb{R} :
  1. x^2 - 6x + 5 = 0
  2. 2x^2 + x - 6 = 0
  3. x^2 + x + 1 = 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 2.2
1. \begin{aligned}\Delta &= 36 - 20 \\ &= 16\end{aligned} \sqrt{\Delta} = 4 : x = \dfrac{6 \pm 4}{2}, donc 1 et 5.
2. \begin{aligned}\Delta &= 1 + 48 \\ &= 49\end{aligned} \sqrt{\Delta} = 7 : x = \dfrac{-1 \pm 7}{4}, donc \dfrac{3}{2} et −2.
3. \begin{aligned}\Delta &= 1 - 4 \\ &= -3 < 0\end{aligned} : aucune solution réelle. Écrire « pas de solution » sans calculer \Delta ne vaut rien : c'est le signe du discriminant qui justifie.
Exercice 2.3 : Produit nul et quotient nul⭐⭐
  1. Résous (x-2)(3x+9) = 0.
  2. Résous \dfrac{x^2-4}{x+1} = 0 (attention au domaine).
  3. Résous x^2 = 7x sans diviser par x.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2.3
1. x - 2 = 0 ou 3x + 9 = 0 : 2 et −3.
2. Un quotient est nul quand son numérateur l'est, à condition que le dénominateur ne le soit pas. x^2 - 4 = 0 donne 2 et −2, et x \neq -1 ne retire ni l'un ni l'autre : 2 et −2.
3. \begin{aligned}x^2 - 7x &= 0 \\ &\iff x(x-7) \\ &= 0\end{aligned} : 0 et 7. En divisant par x tu aurais perdu la solution 0 : on ne divise jamais par une quantité qui peut être nulle. Ce réflexe reviendra à chaque étude de fonction.
🎮 Entraîne-toi : la plus grande solution
Résous l'équation, puis saisis sa plus grande solution (elle peut être négative).
📘 Revoir : racines carrées 📘 Revoir : équations 📘 Revoir : second degré

Jour 3 : Inégalités, intervalles et valeur absolue

⏱️ Séance de 25 minutes Résoudre une inéquation, écrire une solution en intervalle, lire une valeur absolue comme une distance. Le chapitre 2 s'ouvre exactement sur ces trois objets : autant qu'ils soient déjà familiers.
La règle qui coûte le plus de points Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif renverse le sens de cette inégalité.

-2x \geqslant -6 donne x \leqslant 3, et non x \geqslant 3. Aucune autre erreur ne se répète autant dans les copies de première année.
Rappel express
  • Un intervalle se note avec un crochet fermé si la borne est incluse, ouvert sinon : [2\,;\,5], ]2\,;\,5], [2\,;\,+\infty[. Devant +\infty et -\infty, le crochet est toujours ouvert.
  • La valeur absolue |x| est la distance entre x et 0 ; |x - a| est la distance entre x et a.
  • Donc |x| \leqslant r équivaut à {-r \leqslant x \leqslant r} c'est-à-dire à l'intervalle [-r\,;\,r].
Exercice 3.1 : Deux inéquations⭐ Résous, puis donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :
  1. -2x + 7 \geqslant 1
  2. 3x - 1 < 5x + 4
👆 ▶ Correction de l'exercice 3.1
1. -2x \geqslant -6, puis on divise par −2 en renversant : x \leqslant 3, soit ]{-\infty}\,;\,3].
2. 3x - 5x < 4 + 1, soit -2x < 5, puis x > -\dfrac{5}{2} (le sens se renverse), soit \left]-\dfrac{5}{2}\,;\,+\infty\right[.
Exercice 3.2 : Intervalles, intersection et réunion⭐⭐
  1. Écris en intervalle l'ensemble des réels x tels que -1 < x \leqslant 4.
  2. Détermine [0\,;\,5] \cap \,]2\,;\,+\infty[.
  3. Détermine ]{-\infty}\,;\,1] \cup \,[3\,;\,+\infty[. Peut-on l'écrire comme un seul intervalle ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3.2
1. ]-1\,;\,4].
2. Les réels à la fois dans les deux : ]2\,;\,5] (la borne 2 reste exclue, elle l'était déjà dans le second).
3. C'est ]{-\infty}\,;\,1] \cup \,[3\,;\,+\infty[ et cela ne s'écrit pas comme un seul intervalle : les réels compris strictement entre 1 et 3 en sont absents. Une réunion de deux morceaux disjoints reste une réunion. Ce sera exactement la forme des domaines de définition du chapitre 2.
Exercice 3.3 : Valeur absolue⭐⭐
  1. Calcule |-7|, |3 - 10| et |3| - |10|.
  2. Résous |x| \leqslant 3.
  3. Résous |x - 4| = 2 en raisonnant avec la distance.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3.3
1. |-7| = 7 ; \begin{aligned}|3 - 10| &= |-7| \\ &= 7\end{aligned} \begin{aligned}|3| - |10| &= 3 - 10 \\ &= -7\end{aligned} Les deux dernières diffèrent : la valeur absolue ne « traverse » pas une soustraction.
2. {-3 \leqslant x \leqslant 3} soit [-3\,;\,3].
3. Les réels situés à une distance 2 de 4 : 2 et 6. Contrôle par le calcul : x - 4 = 2 ou x - 4 = -2.
📘 Revoir : inéquations 📘 Revoir : valeur absolue 📘 Revoir : nombres et intervalles

Jour 4 : Suites : le vocabulaire de base

⏱️ Séance de 25 minutes Terme, rang, formule explicite, formule de récurrence, suite arithmétique et suite géométrique. Tout le chapitre 1 est écrit dans ce vocabulaire.
Rappel express
  • Une suite associe à chaque rang n un nombre u_n. Le rang de départ est le plus souvent 0 en licence : u_0 est le premier terme.
  • Formule explicite : u_n se calcule directement à partir de n, par exemple u_n = 3n + 2.
  • Formule de récurrence : chaque terme se déduit du précédent, par exemple u_{n+1} = 2u_n - 1. Il faut alors connaître le premier terme.
  • Arithmétique (on ajoute toujours la même raison r) : u_{n+1} = u_n + r et u_n = u_0 + nr.
  • Géométrique (on multiplie toujours par la même raison q) : u_{n+1} = q \times u_n et u_n = u_0 \times q^n.
Exercice 4.1 : Calculer des termes⭐
  1. Soit u_n = 3n + 2. Calcule u_0, u_1 et u_{10}.
  2. Soit v_0 = 5 et v_{n+1} = 2v_n - 1. Calcule v_1, v_2 et v_3.
  3. Pourquoi ne peux-tu pas calculer v_{20} aussi vite que u_{20} ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4.1
1. u_0 = 2, u_1 = 5, u_{10} = 32.
2. v_1 = 9, v_2 = 17, v_3 = 33.
3. Avec une formule explicite, on saute directement au rang voulu. Avec une récurrence, il faut passer par tous les termes intermédiaires : 20 calculs. Trouver la formule explicite d'une suite définie par récurrence sera l'un des exercices récurrents du chapitre 1.
Exercice 4.2 : Reconnaître la nature d'une suite⭐⭐ Pour chaque liste de premiers termes, dis si la suite est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre, puis donne sa formule explicite quand elle existe :
  1. 4 ; 7 ; 10 ; 13
  2. 3 ; 6 ; 12 ; 24
  3. 1 ; 4 ; 9 ; 16
👆 ▶ Correction de l'exercice 4.2
1. On ajoute 3 à chaque fois : arithmétique de raison 3, u_n = 4 + 3n.
2. On multiplie par 2 à chaque fois : géométrique de raison 2, u_n = 3 \times 2^n.
3. Les écarts valent 3, 5, 7 : pas constants. Les quotients valent 4, 2,25 : pas constants non plus. Ni arithmétique ni géométrique (ce sont les carrés : u_n = (n+1)^2 à partir du rang 0).
Méthode : teste toujours les écarts d'abord, les quotients ensuite, et sur au moins deux couples de termes consécutifs. Deux premiers termes qui collent ne prouvent rien.
Exercice 4.3 : Une suite arithmétique décroissante⭐⭐ Un stock de 200 pièces diminue de 15 pièces par jour. On note u_n le stock après n jours, avec u_0 = 200.
  1. Donne la nature de la suite, sa raison, puis sa formule explicite.
  2. Calcule u_{12}.
  3. À partir de quel jour le stock passe-t-il sous les 50 pièces ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4.3
1. On retire la même quantité chaque jour : suite arithmétique de raison r = -15, donc u_n = 200 - 15n.
2. \begin{aligned}u_{12} &= 200 - 180 \\ &= 20\end{aligned} pièces.
3. \begin{aligned}200 - 15n < 50 &\iff 150 < 15n \\ &\iff n > 10\end{aligned} : le stock passe sous 50 pièces à partir du 11e jour. Le rang cherché est un entier : n > 10 donne n \geqslant 11, et non n \geqslant 10.
🎮 Entraîne-toi : arithmétique ou géométrique ?
Regarde les écarts, puis les quotients, avant de choisir.
🎮 Entraîne-toi : calculer un terme
Applique la formule explicite. Le premier terme est de rang 0.
📘 Revoir : généralités sur les suites 📘 Revoir : suites arithmétiques et géométriques

Jour 5 : Sommes de termes et intérêts composés

⏱️ Séance de 30 minutes Le bilan de la semaine 1, et le contexte où les suites géométriques deviennent l'outil central des sciences économiques : capitalisation, croissance, actualisation.
Rappel express
  • Somme des entiers : 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.
  • Somme de termes d'une suite arithmétique : nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2.
  • Somme de termes d'une suite géométrique de raison q \neq 1 : 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.
  • Un capital C_0 placé au taux annuel t (en décimal) vaut C_n = C_0 \times (1+t)^n au bout de n années : c'est une suite géométrique de raison 1+t.
Exercice 5.1 : Deux sommes⭐⭐
  1. Calcule 1 + 2 + 3 + \cdots + 100.
  2. Soit u_n = 4 + 3n. Calcule la somme des 20 premiers termes, c'est-à-dire de u_0 à u_{19}.
  3. Calcule 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5.1
1. \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050.
2. 20 termes, du premier u_0 = 4 au dernier \begin{aligned}u_{19} &= 4 + 57 \\ &= 61\end{aligned} : \begin{aligned}20 \times \dfrac{4 + 61}{2} &= 20 \times 32{,}5 \\ &= 650\end{aligned} Le piège classique : de u_0 à u_{19} il y a 20 termes, pas 19.
3. \begin{aligned}\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} &= 2^{11} - 1 \\ &= 2047\end{aligned}
Exercice 5.2 : Placement à intérêts composés⭐⭐ On place 2000 € au taux annuel de 3 %, intérêts capitalisés chaque année.
  1. Justifie que la suite des capitaux est géométrique et donne sa raison.
  2. Exprime C_n, puis calcule le capital au bout de 5 ans (arrondi au centime).
  3. Compare avec un placement à intérêts simples de 60 € par an. Explique l'écart.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5.2
1. Chaque année, le capital est multiplié par 1{,}03 : suite géométrique de raison 1,03.
2. C_n = 2000 \times 1{,}03^n, donc \begin{aligned}C_5 &= 2000 \times 1{,}03^5 \\ &\approx 2318{,}55\end{aligned} €.
3. À intérêts simples : 2000 + 5 \times 60 = 2300 €, soit 18,55 € de moins. L'écart vient de ce que les intérêts composés rapportent eux-mêmes des intérêts : la suite est géométrique et non arithmétique. Sur 30 ans, cet écart devient considérable.
Exercice 5.3 : Le temps de doublement⭐⭐⭐ Toujours au taux annuel de 3 %.
  1. Écris l'inéquation qui traduit « le capital a au moins doublé ».
  2. Par essais successifs à la calculatrice, trouve le plus petit nombre entier d'années qui convient.
  3. Le résultat dépend-il du capital de départ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5.3
1. 2000 \times 1{,}03^n \geqslant 4000, ce qui se simplifie en 1{,}03^n \geqslant 2.
2. 1{,}03^{23} \approx 1{,}974 et 1{,}03^{24} \approx 2{,}033 : il faut 24 ans.
3. Non : le capital initial se simplifie dès la première ligne. Le temps de doublement ne dépend que du taux. Tu résoudras cette inéquation directement, sans tâtonner, au jour 9 avec le logarithme.
🎮 Entraîne-toi : le coefficient multiplicateur
Par quel nombre faut-il multiplier ? Réponds en écriture décimale (exemple : 1,04).
📘 Revoir : suites géométriques 📘 Revoir : pourcentages et évolutions 🎓 Le chapitre 1 qui t'attend

Semaine 2 : les outils du chapitre « Fonctions »

Jour 6 : Domaine de définition, images et antécédents

⏱️ Séance de 25 minutes La toute première question posée sur une fonction, en licence, est « sur quel ensemble est-elle définie ? ». Elle se traite avec trois réflexes seulement.
Les trois seuls interdits
  • Un dénominateur ne s'annule pas : on résout « dénominateur = 0 » et on retire les valeurs trouvées.
  • Sous une racine carrée, une quantité positive ou nulle : on résout « radicande \geqslant 0 ».
  • Dans un logarithme, une quantité strictement positive (jour 9).
Quand les deux premiers se combinent, comme dans \dfrac{1}{\sqrt{x-2}}, l'inégalité devient stricte : la borne est exclue.
Exercice 6.1 : Quatre domaines⭐ Détermine le domaine de définition de :
  1. f(x) = \dfrac{3x-1}{x-4}
  2. g(x) = \sqrt{x-2}
  3. h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5-x}}
  4. k(x) = x^3 - 2x + 7
👆 ▶ Correction de l'exercice 6.1
1. x - 4 \neq 0 : D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}, soit ]{-\infty}\,;\,4[ \,\cup\, ]4\,;\,+\infty[.
2. x - 2 \geqslant 0 : D_g = [2\,;\,+\infty[ (la borne 2 est permise : \sqrt{0} existe).
3. Racine et dénominateur : 5 - x > 0 strictement, donc D_h = ]{-\infty}\,;\,5[.
4. Un polynôme se calcule partout : D_k = \mathbb{R}.
Exercice 6.2 : Images et antécédents⭐⭐ Soit f(x) = x^2 - 4x + 3.
  1. Calcule f(0), f(2) et f(5).
  2. Détermine tous les antécédents de 0.
  3. Détermine tous les antécédents de 3.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6.2
1. f(0) = 3 ; \begin{aligned}f(2) &= 4 - 8 + 3 \\ &= -1\end{aligned} \begin{aligned}f(5) &= 25 - 20 + 3 \\ &= 8\end{aligned}
2. x^2 - 4x + 3 = 0 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 16 - 12 \\ &= 4\end{aligned} : 1 et 3.
3. \begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= 3 \\ &\iff x^2 - 4x \\ &= 0 \\ &\iff x(x-4) \\ &= 0\end{aligned} : 0 et 4.
À retenir : une image se calcule (une seule valeur), un antécédent se cherche en résolvant une équation (zéro, une ou plusieurs valeurs). Confondre les deux est l'erreur n°1 du chapitre 2.
Exercice 6.3 : Un point est-il sur la courbe ?⭐⭐ Toujours avec f(x) = x^2 - 4x + 3.
  1. Le point A(3\,;\,0) appartient-il à la courbe de f ?
  2. Et le point B(-1\,;\,7) ?
  3. Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse −2 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6.3
1. \begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 3 \\ &= 0\end{aligned} : oui.
2. \begin{aligned}f(-1) &= 1 + 4 + 3 \\ &= 8 \\ &\neq 7\end{aligned} : non. Attention au signe : -4 \times (-1) = +4.
3. \begin{aligned}f(-2) &= 4 + 8 + 3 \\ &= 15\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : reconnaître la forme du domaine
Dénominateur, racine, ou les deux ? Choisis la forme du domaine de définition.
📘 Revoir : notion de fonction 📄 S'entraîner : images et antécédents

Jour 7 : Les fonctions de référence

⏱️ Séance de 25 minutes Six courbes à connaître par cœur, avec leur domaine et leur allure. En amphi, elles servent d'exemples permanents : elles ne seront jamais retracées pour toi.
FonctionDomaineSens de variationAllure
x \mapsto ax + b\mathbb{R}croissante si a > 0, décroissante si a < 0
11Oxydroite
x \mapsto x^2\mathbb{R}décroissante sur ]{-\infty}\,;\,0], croissante ensuite
11Oxyparabole
x \mapsto x^3\mathbb{R}croissante sur \mathbb{R}
11Oxy
x \mapsto \dfrac{1}{x}\mathbb{R} \setminus \{0\}décroissante sur chaque morceau
11Oxyhyperbole
x \mapsto \sqrt{x}[0\,;\,+\infty[croissante
11Oxy
x \mapsto |x|\mathbb{R}décroissante puis croissante
11Oxy
La fonction inverse n'est pas décroissante sur ℝ Elle est décroissante sur ]{-\infty}\,;\,0[ et décroissante sur ]0\,;\,+\infty[, ce qui n'est pas la même chose que décroissante sur la réunion des deux : -1 < 2 mais \dfrac{1}{-1} = -1 < \dfrac{1}{2}. Un sens de variation s'annonce toujours sur un intervalle.
Exercice 7.1 : Comparer sans calculatrice⭐⭐ Soit x = 0{,}7.
  1. Range dans l'ordre croissant x^2, x et \sqrt{x}.
  2. La même question pour x = 4. Que remarques-tu ?
  3. Compare \dfrac{1}{0{,}25} et \dfrac{1}{4}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7.1
1. 0{,}7^2 = 0{,}49 et \sqrt{0{,}7} \approx 0{,}84 : x^2 < x < \sqrt{x}.
2. 4^2 = 16 et \sqrt{4} = 2 : \sqrt{x} < x < x^2. L'ordre s'inverse selon que x est plus petit ou plus grand que 1 : élever au carré un nombre entre 0 et 1 le diminue.
3. \dfrac{1}{0{,}25} = 4 et \dfrac{1}{4} = 0{,}25 : passer à l'inverse renverse l'ordre entre nombres strictement positifs.
Exercice 7.2 : Résoudre avec les fonctions de référence⭐⭐
  1. Résous x^2 = 9, puis x^2 \leqslant 9.
  2. Résous \dfrac{1}{x} > 0.
  3. Résous \sqrt{x} = 5.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7.2
1. x^2 = 9 donne 3 et −3 (deux solutions : \sqrt{9} est le nombre positif 3, mais l'équation en a deux). x^2 \leqslant 9 donne [-3\,;\,3].
2. Un quotient de signe positif avec un numérateur positif : ]0\,;\,+\infty[.
3. On élève au carré : x = 25 (et 25 est bien dans le domaine de la racine).
Exercice 7.3 : Lire une transformation⭐⭐⭐ Soit f(x) = x^2. Décris, sans tracer, la position de la courbe de chaque fonction par rapport à celle de f :
  1. g(x) = x^2 + 3
  2. h(x) = (x-2)^2
  3. k(x) = -x^2
👆 ▶ Correction de l'exercice 7.3
1. Toutes les ordonnées augmentent de 3 : la parabole est translatée de 3 vers le haut. Son minimum passe de 0 à 3.
2. h(x) vaut 0 quand x = 2 : la parabole est translatée de 2 vers la droite. C'est le sens qui surprend : le signe moins déplace vers la droite.
3. Toutes les ordonnées changent de signe : la parabole est retournée, ouverte vers le bas, et son minimum devient un maximum.
📘 Revoir : fonctions de référence 📄 S'entraîner : fonctions de référence

Jour 8 : Variations, extremums et signe

⏱️ Séance de 30 minutes Lire et produire un tableau de variations, trouver un maximum, dresser un tableau de signes. Ce sont les outils que le cours de licence utilisera pour parler de fonctions majorées, minorées ou monotones.
Rappel express
  • f est croissante sur un intervalle I si elle conserve l'ordre : pour tous a et b de I avec a < b, on a f(a) \leqslant f(b). Décroissante si elle le renverse.
  • Un maximum sur I est une valeur atteinte qu'aucune autre ne dépasse. Un maximum est un nombre (une ordonnée) ; il est atteint en une abscisse. Ne confonds jamais les deux.
  • Forme canonique du second degré : a(x - \alpha)^2 + \beta, où (\alpha\,;\,\beta) est le sommet. Si a > 0, \beta est le minimum ; si a < 0, c'est le maximum.
Exercice 8.1 : Étude complète d'une parabole⭐⭐ Soit f(x) = x^2 - 6x + 5 définie sur \mathbb{R}.
  1. Vérifie que f(x) = (x-3)^2 - 4.
  2. Donne le sens de variation de f et son extremum.
  3. Résous f(x) \leqslant 0 et donne le tableau de signes de f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8.1
1. \begin{aligned}(x-3)^2 - 4 &= x^2 - 6x + 9 - 4 \\ &= x^2 - 6x + 5\end{aligned} C'est bien f.
2. a = 1 > 0 : f est décroissante sur ]{-\infty}\,;\,3], croissante sur [3\,;\,+\infty[, et admet un minimum égal à −4, atteint en x = 3.
3. Les racines sont 1 et 5 (jour 2) : f est négative sur [1\,;\,5] et positive à l'extérieur. Règle générale : un trinôme est du signe de a partout, sauf entre les racines.
Exercice 8.2 : Un bénéfice maximal⭐⭐⭐ Une entreprise vend q centaines d'articles. Son bénéfice, en milliers d'euros, est B(q) = -q^2 + 40q - 300 pour q \in [0\,;\,40].
  1. Vérifie que B(q) = -(q-20)^2 + 100.
  2. Pour quelle quantité le bénéfice est-il maximal ? Combien vaut-il ?
  3. Détermine l'intervalle sur lequel l'entreprise est rentable, c'est-à-dire B(q) \geqslant 0.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8.2
1. \begin{aligned}-(q-20)^2 + 100 &= -(q^2 - 40q + 400) + 100 \\ &= -q^2 + 40q - 300\end{aligned} C'est bien B.
2. Le carré est toujours positif et il est retranché : B est maximal quand (q-20)^2 = 0, soit pour 2000 articles (q = 20), et le bénéfice maximal vaut 100 milliers d'euros.
3. \begin{aligned}-(q-20)^2 + 100 &\geqslant 0 \\ &\iff (q-20)^2 \\ &\leqslant 100\end{aligned} c'est-à-dire |q - 20| \leqslant 10 (jour 3 !), donc q \in [10\,;\,30]. Sous 1000 articles l'entreprise ne couvre pas ses coûts fixes ; au-delà de 3000, la production coûte plus qu'elle ne rapporte.
Exercice 8.3 : Lire un tableau de variations⭐⭐ Une fonction g est définie sur [-4\,;\,6]. Elle est croissante sur [-4\,;\,1], décroissante sur [1\,;\,6], avec g(-4) = -2, g(1) = 7 et g(6) = 3.
  1. Quel est le maximum de g ? En quelle valeur est-il atteint ?
  2. Quel est son minimum ?
  3. Combien l'équation g(x) = 5 a-t-elle de solutions ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8.3
1. Maximum 7, atteint en x = 1.
2. On compare les valeurs aux bornes : g(-4) = -2 et g(6) = 3 : le minimum vaut −2, atteint en x = -4. Le minimum n'est pas toujours à gauche : il faut comparer.
3. 5 est compris entre −2 et 7 sur la partie croissante, et entre 3 et 7 sur la partie décroissante : l'équation a deux solutions, une dans chaque intervalle. Ce raisonnement porte un nom que tu apprendras au chapitre 5 : le théorème des valeurs intermédiaires.
📘 Revoir : variations d'une fonction 📘 Revoir : forme canonique et signe

Jour 9 : Exponentielle et logarithme

⏱️ Séance de 30 minutes Les deux fonctions les plus utilisées de toute la licence d'économie : croissance, actualisation, élasticités, log-linéarisation. Si tu n'as pas vu le logarithme en terminale, c'est la séance à faire deux fois.
Rappel express
  • e^{a+b} = e^a \times e^b, e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}, (e^a)^n = e^{an}, et e^x > 0 pour tout x réel.
  • \ln est définie sur ]0\,;\,+\infty[ seulement, avec \ln(1) = 0 et \ln(e) = 1.
  • \ln(ab) = \ln a + \ln b, \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \ln(a^n) = n \ln a.
  • Les deux fonctions se défont l'une l'autre : \ln(e^x) = x et e^{\ln x} = x pour x > 0.
  • Les deux sont strictement croissantes : on peut donc appliquer \ln aux deux membres d'une inégalité sans en changer le sens.
En amphi d'économie, « log » veut dire « ln » Dans la quasi-totalité des cours et des manuels d'économie, la notation \log désigne le logarithme népérien, celui que le lycée note \ln. Le logarithme décimal, lui, est presque toujours noté \log_{10} quand il apparaît. En cas de doute, la convention du polycopié prime : vérifie-la à la première séance.
Exercice 9.1 : Simplifier⭐
  1. e^3 \times e^{-1}
  2. \dfrac{e^{x}}{e^{2x}}
  3. \ln(e^5) et \ln\left(\dfrac{1}{e}\right)
  4. \dfrac{\ln 8}{\ln 2}
👆 ▶ Correction de l'exercice 9.1
1. e^{3-1} = e^2.
2. e^{x-2x} = e^{-x}.
3. \ln(e^5) = 5 et \ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = -1.
4. \begin{aligned}\ln 8 &= \ln(2^3) \\ &= 3\ln 2\end{aligned} donc le quotient vaut 3. Attention : \dfrac{\ln 8}{\ln 2} n'est pas \ln 4 ; un quotient de logarithmes ne se simplifie pas comme le logarithme d'un quotient.
Exercice 9.2 : Résoudre⭐⭐
  1. e^x = 7
  2. \ln x = 3
  3. \ln(2x - 1) = 0
  4. e^{2x} = e^{x+3}
👆 ▶ Correction de l'exercice 9.2
1. \begin{aligned}x &= \ln 7 \\ &\approx 1{,}95\end{aligned}
2. \begin{aligned}x &= e^3 \\ &\approx 20{,}09\end{aligned}
3. \begin{aligned}2x - 1 &= e^0 \\ &= 1\end{aligned} donc x = 1. On vérifie que 2 \times 1 - 1 = 1 > 0 : la solution est dans le domaine. Cette vérification n'est pas facultative.
4. L'exponentielle est strictement croissante, donc injective : 2x = x + 3, soit x = 3.
Exercice 9.3 : Le temps de doublement, sans tâtonner⭐⭐⭐ Une population croît de 5 % par an.
  1. Écris l'inéquation traduisant « la population a au moins doublé ».
  2. Résous-la avec le logarithme.
  3. Conclus sur le nombre entier d'années.
👆 ▶ Correction de l'exercice 9.3
1. 1{,}05^n \geqslant 2.
2. On applique \ln aux deux membres, ce qui ne change pas le sens (fonction croissante) : n \ln(1{,}05) \geqslant \ln 2. Comme \ln(1{,}05) > 0, on divise sans renverser : \begin{aligned}n &\geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \\ &\approx 14{,}2\end{aligned}
3. n est entier : il faut 15 ans. Compare avec le tâtonnement du jour 5 : même méthode, trois lignes au lieu de vingt essais. C'est exactement ce que le cours attendra de toi.
📘 Revoir : exponentielle 📘 Revoir : logarithme népérien 📄 S'entraîner : logarithme

Jour 10 : Bilan et cap sur la rentrée

⏱️ Séance de 30 minutes Six questions qui mélangent les neuf séances précédentes, comme le fera le premier TD. Fais-les d'affilée, sans revenir en arrière, puis corrige.
Exercice 10.1 : Calcul en cinq questions⭐⭐
  1. Simplifie \dfrac{(2x^2)^3}{4x^4}.
  2. Résous 3x^2 - 12 = 0.
  3. Résous -3x + 2 \leqslant 11 et donne l'intervalle.
  4. Écris |x - 3| \leqslant 5 sous forme d'intervalle.
  5. Simplifie \ln(9) - 2\ln(3).
👆 ▶ Correction de l'exercice 10.1
1. \dfrac{8x^6}{4x^4} = 2x^2.
2. x^2 = 4 : 2 et −2.
3. -3x \leqslant 9, puis x \geqslant -3 (sens renversé) : [-3\,;\,+\infty[.
4. Distance à 3 au plus égale à 5 : [-2\,;\,8].
5. 2\ln 3 = \ln 9, donc le résultat vaut 0.
Exercice 10.2 : Une suite en contexte⭐⭐ Un abonnement compte 8000 abonnés et en perd 4 % chaque mois, mais gagne aussi 150 nouveaux abonnés mensuels. On note u_0 = 8000 et u_{n+1} = 0{,}96\,u_n + 150.
  1. Calcule u_1 et u_2.
  2. Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
  3. Sans la perte de 4 %, quelle serait la nature de la suite ? Et sans les 150 nouveaux abonnés ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 10.2
1. \begin{aligned}u_1 &= 0{,}96 \times 8000 + 150 \\ &= 7830\end{aligned} \begin{aligned}u_2 &= 0{,}96 \times 7830 + 150 \\ &\approx 7666{,}8\end{aligned} soit environ 7667 abonnés.
2. Les écarts (−170, puis environ −163,2) ne sont pas constants : pas arithmétique. Les quotients non plus : pas géométrique. Ni l'une ni l'autre.
3. Sans la perte, u_{n+1} = u_n + 150 : arithmétique de raison 150. Sans les nouveaux abonnés, u_{n+1} = 0{,}96\,u_n : géométrique de raison 0,96. Une suite de ce type, mélange des deux, est dite arithmético-géométrique : le chapitre 1 t'apprendra à la ramener à une suite géométrique. Tu n'as rien à en savoir de plus aujourd'hui.
Exercice 10.3 : Une fonction de coût⭐⭐⭐ Le coût total de production de q unités, en euros, est C(q) = q^2 + 40q + 400 pour q \in [0\,;\,80]. Le coût moyen est C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}.
  1. Sur quel ensemble C_M est-elle définie ? Pourquoi ?
  2. Calcule C(20) et C_M(20), puis interprète chacun.
  3. Justifie que C est croissante sur [0\,;\,80] sans dérivée.
  4. Que représente C(0) = 400 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 10.3
1. On divise par q : q \neq 0, et on reste dans le cadre de l'énoncé : ]0\,;\,80]. Économiquement, un coût moyen n'a aucun sens sans production.
2. \begin{aligned}C(20) &= 400 + 800 + 400 \\ &= 1600\end{aligned} € : c'est le coût total de 20 unités. \begin{aligned}C_M(20) &= \dfrac{1600}{20} \\ &= 80\end{aligned} € : c'est le coût par unité.
3. Sur [0\,;\,80], q \mapsto q^2 est croissante (carrés de nombres positifs), q \mapsto 40q aussi, et 400 est constant. Une somme de fonctions croissantes est croissante : produire plus coûte plus.
4. Le coût fixe : ce que l'entreprise paie même sans produire (loyer, machines).
🎓 Ce qui t'attend en septembre Tu as maintenant les outils. Voici, sans les traiter, les notions que les deux premiers chapitres vont construire dessus :
  • Chapitre 1 : la démonstration par récurrence, les suites majorées, minorées et bornées, la limite d'une suite et les théorèmes de convergence.
  • Chapitre 2 : le domaine et le graphe au sens formel, la parité, les fonctions bornées, la monotonie démontrée par la définition, la composition et la fonction réciproque.
Aucune de ces notions n'était au programme de ce cahier : elles seront présentées en amphi, et elles ne posent de difficulté qu'aux étudiants dont le calcul n'est pas sûr. C'est précisément ce que tu viens de consolider.
🗓️ Les trois réflexes à garder toute l'année
  • Refaire les calculs à la main avant de sortir la calculatrice : aux partiels, elle est souvent interdite.
  • Vérifier le domaine avant de résoudre quoi que ce soit : une solution hors domaine est une faute, pas un détail.
  • Rédiger les équivalences. En licence, une suite de calculs sans justification ne rapporte presque rien : c'est le raisonnement qui est noté.
📘 Chapitre 1 : Suites réelles 📘 Chapitre 2 : Fonctions, généralités 🎓 Tous les chapitres de L1 Sciences éco