Fiche d'exercices Logimaths | Terminale maths expertes
Fiche d'exercices : Équations polynomiales
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Second degré dans ℂ⭐
Résous dans ℂ :
- z^2 + 49 = 0
- z^2 - 4z + 13 = 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \begin{aligned}z^2 &= -49 \\ &= (7i)^2\end{aligned} D'où z = \pm 7i.
2. \begin{aligned}\Delta &= 16 - 52 \\ &= -36\end{aligned} D'où \begin{aligned}z &= \dfrac{4 \pm 6i}{2} \\ &= 2 \pm 3i\end{aligned} (racines conjuguées).
2. \begin{aligned}\Delta &= 16 - 52 \\ &= -36\end{aligned} D'où \begin{aligned}z &= \dfrac{4 \pm 6i}{2} \\ &= 2 \pm 3i\end{aligned} (racines conjuguées).
Exercice 2 : Vérifier avec somme et produit⭐
On affirme que les racines de {z^2 - 6z + 10 = 0} sont 3 + i et 3 - i.
- Vérifie SANS résoudre, avec la somme et le produit des racines.
- Retrouve ensuite ces racines par le discriminant.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Somme : \begin{aligned}(3+i) + (3-i) &= 6 \\ &= -\dfrac{b}{a}\end{aligned} ✔ ; produit ✔ : \begin{aligned}(3+i)(3-i) &= 9 + 1 \\ &= 10 \\ &= \dfrac{c}{a}\end{aligned}
2. \begin{aligned}\Delta &= 36 - 40 \\ &= -4\end{aligned} ✔ : \begin{aligned}z &= \dfrac{6 \pm 2i}{2} \\ &= 3 \pm i\end{aligned}
2. \begin{aligned}\Delta &= 36 - 40 \\ &= -4\end{aligned} ✔ : \begin{aligned}z &= \dfrac{6 \pm 2i}{2} \\ &= 3 \pm i\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Racine évidente et factorisation⭐⭐
Soit P(z) = z^3 - 6z^2 + 11z - 6.
- Vérifie que 1 est racine de P.
- Détermine b et c tels que {P(z) = (z - 1)(z^2 + bz + c)}.
- Résous P(z) = 0.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}P(1) &= 1 - 6 + 11 - 6 \\ &= 0\end{aligned} ✔
2. Identification (ou division) : {P(z) = (z - 1)(z^2 - 5z + 6)} : b = −5, c = 6.
3. z^2 - 5z + 6 = (z - 2)(z - 3) : {S = \{1\,;\,2\,;\,3\}} (trois racines réelles, degré 3 : complet).
2. Identification (ou division) : {P(z) = (z - 1)(z^2 - 5z + 6)} : b = −5, c = 6.
3. z^2 - 5z + 6 = (z - 2)(z - 3) : {S = \{1\,;\,2\,;\,3\}} (trois racines réelles, degré 3 : complet).
Exercice 4 : Degré 3 avec racines complexes⭐⭐
Soit P(z) = z^3 - z^2 + 4z + 6.
- Montre que −1 est racine de P.
- Factorise P et résous P(z) = 0 dans ℂ.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}P(-1) &= -1 - 1 - 4 + 6 \\ &= 0\end{aligned} ✔
2. P(z) = (z + 1)(z^2 - 2z + 6) (identification). Puis \begin{aligned}\Delta &= 4 - 24 \\ &= -20\end{aligned} D'où \begin{aligned}z &= \dfrac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{2} \\ &= 1 \pm i\sqrt{5}\end{aligned}
S = \{-1\,;\,1 + i\sqrt{5}\,;\,1 - i\sqrt{5}\} (une réelle + deux conjuguées : configuration typique d'un degré 3 réel).
2. P(z) = (z + 1)(z^2 - 2z + 6) (identification). Puis \begin{aligned}\Delta &= 4 - 24 \\ &= -20\end{aligned} D'où \begin{aligned}z &= \dfrac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{2} \\ &= 1 \pm i\sqrt{5}\end{aligned}
S = \{-1\,;\,1 + i\sqrt{5}\,;\,1 - i\sqrt{5}\} (une réelle + deux conjuguées : configuration typique d'un degré 3 réel).
Exercice 5 : Construire l'équation à partir des racines⭐⭐
- Donne une équation du second degré dont les racines sont 2 + i et 2 − i.
- Donne un polynôme de degré 3, à coefficients réels, dont les racines sont −1, 3i et −3i.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Somme 4, produit 4 + 1 = 5 : {z^2 - 4z + 5 = 0}.
2. \begin{aligned}(z + 1)(z - 3i)(z + 3i) &= (z + 1)(z^2 + 9) \\ &= z^3 + z^2 + 9z + 9\end{aligned}
2. \begin{aligned}(z + 1)(z - 3i)(z + 3i) &= (z + 1)(z^2 + 9) \\ &= z^3 + z^2 + 9z + 9\end{aligned}
Exercice 6 : Les racines quatrièmes de l'unité⭐⭐
- Résous z^4 = 1 dans ℂ (forme exponentielle puis algébrique).
- Place les solutions dans le plan complexe : quelle figure forment-elles ?
- Vérifie que le produit des quatre solutions vaut −1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}z_k &= e^{2ik\pi/4} \\ &= e^{ik\pi/2}\end{aligned} pour k = 0, 1, 2, 3 : S = \{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\}.
2. Un carré inscrit dans le cercle unité, un sommet en 1.
3. \begin{aligned}1 \times i \times (-1) \times (-i) &= i \times i \\ &= i^2 \\ &= -1\end{aligned} ✔
2. Un carré inscrit dans le cercle unité, un sommet en 1.
3. \begin{aligned}1 \times i \times (-1) \times (-i) &= i \times i \\ &= i^2 \\ &= -1\end{aligned} ✔
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Équation bicarrée⭐⭐⭐
On veut résoudre z^4 + 3z^2 - 4 = 0 dans ℂ.
- Pose Z = z^2 et résous l'équation en Z.
- Déduis-en les quatre solutions en z.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Z^2 + 3Z - 4 = 0 : Δ = 25, racines Z = 1 et Z = −4.
2. z^2 = 1 donne z = ±1 ; z^2 = -4 donne z = ±2i : S = \{1\,;\,-1\,;\,2i\,;\,-2i\} (quatre racines pour un degré 4).
2. z^2 = 1 donne z = ±1 ; z^2 = -4 donne z = ±2i : S = \{1\,;\,-1\,;\,2i\,;\,-2i\} (quatre racines pour un degré 4).
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Soit {P(z) = z^3 - (4 + i)z^2 + (7 + 4i)z - 7i}.
- Vérifie que i est racine de P.
- On admet que {P(z) = (z - i)(z^2 - 4z + 7)}. Résous P(z) = 0 dans ℂ.
- Les racines de z^2 - 4z + 7 sont-elles conjuguées ? Pourquoi était-ce prévisible ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}P(i) &= -i - (4 + i)(-1) + (7 + 4i)i - 7i \\ &= -i + 4 + i + 7i - 4 - 7i \\ &= 0\end{aligned} ✔
2. \begin{aligned}\Delta &= 16 - 28 \\ &= -12\end{aligned} : \begin{aligned}z &= \dfrac{4 \pm 2i\sqrt{3}}{2} \\ &= 2 \pm i\sqrt{3}\end{aligned} D'où S = \{i\,;\,2 + i\sqrt{3}\,;\,2 - i\sqrt{3}\}.
3. Oui : le facteur z^2 - 4z + 7 est à coefficients réels avec Δ < 0, donc ses racines sont forcément conjuguées (le facteur (z − i), lui, n'a pas de racine conjuguée : P n'est pas à coefficients réels).
2. \begin{aligned}\Delta &= 16 - 28 \\ &= -12\end{aligned} : \begin{aligned}z &= \dfrac{4 \pm 2i\sqrt{3}}{2} \\ &= 2 \pm i\sqrt{3}\end{aligned} D'où S = \{i\,;\,2 + i\sqrt{3}\,;\,2 - i\sqrt{3}\}.
3. Oui : le facteur z^2 - 4z + 7 est à coefficients réels avec Δ < 0, donc ses racines sont forcément conjuguées (le facteur (z − i), lui, n'a pas de racine conjuguée : P n'est pas à coefficients réels).