PartieA : On considère la suite (u_n) définie par u_0=5 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac{11}{u_n}\right) (on admet qu'elle est bien définie). 1. Donner u_1 et u_2 sous forme de fractions irréductibles.
\begin{aligned}u_1 &= \dfrac12\left(u_0+\dfrac{11}{u_0}\right) \\ &= \dfrac12\left(5+\dfrac{11}{5}\right) \\ &= \dfrac12\times\dfrac{36}{5} \\ &= \dfrac{18}{5}\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac12\left(u_1+\dfrac{11}{u_1}\right) \\ &= \dfrac12\left(\dfrac{18}{5}+\dfrac{55}{18}\right) \\ &= \dfrac12\times\dfrac{324+275}{90} \\ &= \dfrac{599}{180}\end{aligned}
PartieA ; 2. Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac12\left(x+\dfrac{11}{x}\right). Démontrer que f est croissante sur \left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[.
f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme fraction rationnelle, et pour tout x>0 : f'(x) = \dfrac12\left(1-\dfrac{11}{x^2}\right) = \dfrac{x^2-11}{2x^2}.
Pour x\geqslant\sqrt{11}, on a x^2\geqslant11 (la fonction carré étant croissante sur \mathbb{R}^+), donc x^2-11\geqslant0, et comme 2x^2>0, on obtient f'(x)\geqslant0.
f est donc croissante sur \left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[.
PartieA ; 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}}.
On remarque d'abord que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n, et que \begin{aligned}f(\sqrt{11}) &= \dfrac12\left(\sqrt{11}+\dfrac{11}{\sqrt{11}}\right) \\ &= \dfrac12\left(\sqrt{11}+\sqrt{11}\right) \\ &= \sqrt{11}\end{aligned}
Initialisation : u_0=5 et \begin{aligned}u_1 &= \dfrac{18}{5} \\ &= 3{,}6\end{aligned} avec \sqrt{11}\approx3{,}317, donc {u_0\geqslant u_1\geqslant\sqrt{11}} : l'inégalité est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n fixé, {u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}}. Comme f est croissante sur \left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[, on en déduit {f(u_n)\geqslant f(u_{n+1})\geqslant f(\sqrt{11})}, c'est-à-dire {u_{n+1}\geqslant u_{n+2}\geqslant\sqrt{11}} : la propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}}.
PartieA ; 4. En déduire que (u_n) converge, et noter a sa limite.
D'après la question précédente, la suite (u_n) est décroissante et minorée par \sqrt{11} : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle a telle que a\geqslant\sqrt{11}.
PartieA ; 5. En posant une équation dont a est solution, donner la valeur exacte de a.
La suite (u_n) converge vers a et vérifie u_{n+1}=f(u_n) avec f continue sur \mathbb{R}^{*+}_{} : d'après le théorème du point fixe, a est solution de l'équation f(x)=x sur \mathbb{R}^{*+}_{}.
\begin{aligned}f(x) = x &\iff \dfrac12\left(x+\dfrac{11}{x}\right) = x \\ &\iff x+\dfrac{11}{x} = 2x \\ &\iff \dfrac{11}{x} = x \\ &\iff x^2 = 11 \\ &\iff x = \sqrt{11} \end{aligned} (car x>0).
Cette équation admet une unique solution sur \mathbb{R}^{*+}_{}, donc, la suite étant minorée par \sqrt{11}>0, on conclut a=\sqrt{11}.
PartieB : Pour tout entier naturel n, un rectangle R_n d'aire 11 a pour largeur \ell_n et longueur L_n, avec L_0=5 et L_{n+1}=\dfrac{L_n+\ell_n}{2}. 1.a Expliquer pourquoi \ell_0=2{,}2.
L'aire de R_0 vaut 11 et sa longueur L_0=5, donc sa largeur vérifie L_0\times\ell_0=11, d'où \ell_0=\dfrac{11}{5}= 2,2.
PartieB ; 1.b Établir que, pour tout entier naturel n, \ell_n=\dfrac{11}{L_n}.
Pour tout entier naturel n, le rectangle R_n a pour aire 11 et pour longueur L_n, donc sa largeur vérifie L_n\times\ell_n=11, d'où \ell_n=\dfrac{11}{L_n}.
PartieB ; 2. Vérifier que la suite (L_n) correspond à la suite (u_n) de la partie A.
En remplaçant \ell_n par \dfrac{11}{L_n} dans la relation de récurrence : \begin{aligned}L_{n+1} &= \dfrac{L_n+\ell_n}{2} \\ &= \dfrac12\left(L_n+\dfrac{11}{L_n}\right)\end{aligned} qui est exactement la relation vérifiée par (u_n). Comme de plus \begin{aligned}L_0 &= u_0 \\ &= 5\end{aligned} les deux suites sont identiques.
PartieB ; 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, {\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n}.
D'après la partie A, (u_n), donc (L_n), est minorée par \sqrt{11}, ce qui donne \sqrt{11}\leqslant L_n.
La fonction inverse étant strictement décroissante sur \mathbb{R}^{*+}_{}, {\sqrt{11}\leqslant L_n \implies \dfrac{1}{\sqrt{11}}\geqslant\dfrac{1}{L_n} \implies \dfrac{11}{\sqrt{11}}\geqslant\dfrac{11}{L_n}}, soit \sqrt{11}\geqslant\ell_n.
En combinant les deux inégalités, on obtient bien {\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n}.
PartieB ; 4. On admet que (L_n) et (\ell_n) convergent toutes deux vers \sqrt{11}. Interpréter géométriquement ce résultat.
Géométriquement, les dimensions du rectangle R_n se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre et tendent toutes deux vers \sqrt{11} : le rectangle R_n tend donc à devenir un carré de côté \sqrt{11}.
PartieB ; 5.a Un script Python, nommé heron, initialise L=5 et \ell=2{,}2, puis répète n fois les instructions L\leftarrow\dfrac{L+\ell}{2} et \ell\leftarrow\dfrac{11}{L}, avant de renvoyer les deux valeurs arrondies au millionième. Que renvoie l'appel heron(3) ?
- L'appel
heron(3) renvoie \ell_3 et L_3, arrondis au millionième.
- On obtient les valeurs 0,316606 + 3 (soit \ell_3\approx3{,}316606) et L_3\approx 3,316643.
PartieB ; 5.b Donner une interprétation de ces deux valeurs.
Ces deux valeurs encadrent \sqrt{11} : on a {3{,}316606\leqslant\sqrt{11}\leqslant3{,}316643}, soit un encadrement d'amplitude inférieure à 4\times10^{-5}, obtenu avec seulement trois itérations de l'algorithme.
