Second degré : Tous les exercices

Affirmation 1 : quelle que soit la valeur de u, x^{2} + x - u^{2} = 0 possède deux solutions réelles distinctes. Vrai ou faux ?

Le discriminant de cette équation du second degré est \begin{aligned}\Delta &= 1^{2}-4\times1\times(-u^{2}) \\ &= 1+4u^{2}\end{aligned}
Comme 4u^{2}\geq0 pour tout réel u, {\Delta\geq1>0} : le discriminant est toujours strictement positif, l'équation admet donc toujours deux solutions réelles distinctes. L'affirmation 1 est VRAIE.

Affirmation 2 : la suite (u_{n}) définie par u_{n} = 2^{-}ⁿ est géométrique de raison \dfrac{1}{2}. Vrai ou faux ?

\begin{aligned}u_n &= 2^{-n} \\ &= \dfrac{1}{2^{n}} \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n}\end{aligned} (u_n) est bien géométrique de raison \dfrac12, de premier terme u_0=1.
L'affirmation 2 est VRAIE.

Affirmation 3 : le point A(3;3) appartient à la tangente à Cf en x=0, pour f(x) = eˣ - 1. Vrai ou faux ?

f'(x)=e^{x}, donc f'(0)=1 et f(0)=0. L'équation de la tangente en x=0 est y=f'(0)(x-0)+f(0) = x.
Le point A(3;3) vérifie y=x (puisque 3=3) : il appartient bien à la tangente. L'affirmation 3 est VRAIE.

PartieA ; 1. Les courbes C_{1} et C_{2} représentent deux fonctions définies et dérivables sur \mathbb{R}, l'une étant la dérivée de l'autre ; C_{1} coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1), C_{2} le coupe en (0 ; 2) et coupe l'axe des abscisses en (-2 ; 0) et (1 ; 0). Associer à g et g' leur courbe.

La fonction représentée par \mathcal{C}_1 est décroissante sur ]-\infty~;~-2] et [1~;~+\infty[, croissante sur [-2~;~1].
La fonction représentée par \mathcal{C}_2 est négative sur ]-\infty~;~-2] et [1~;~+\infty[, positive sur [-2~;~1] : ce sont exactement les intervalles où la fonction de \mathcal{C}_1 croît ou décroît.
Le signe de la dérivée déterminant les variations, \mathcal{C}_1 représente g et \mathcal{C}_2 représente g'.

PartieA ; 2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est y = 2x + 1.

La tangente en 0 a pour équation y=g'(0)x+g(0).
\mathcal{C}_1 coupe l'axe des ordonnées en (0~;~1) donc g(0)=1 ; \mathcal{C}_2 le coupe en (0~;~2) donc g'(0)=2.
L'équation de la tangente est donc y=2x+1.

PartieB ; 1. On considère l'équation différentielle (E) : y + y' = (2x+3)e^{-x}. Montrer que f_0(x) = (x^2+3x)e^{-x} est une solution particulière de (E).

f_0 est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables : f_0'(x) = (2x+3)e^{-x} + (x^{2}+3x)(-e^{-x}) = (2x+3-x^{2}-3x)e^{-x} = (-x^{2}-x+3)e^{-x}.
f_0(x)+f_0'(x) = (x^{2}+3x)e^{-x} + (-x^{2}-x+3)e^{-x} = (2x+3)e^{-x} : f_0 vérifie bien (E).

PartieB ; 2. Résoudre l'équation différentielle (E_{0}) : y + y' = 0.

(E_0) équivaut à y'=-y : ses solutions sont les fonctions x\longmapsto Ce^{-x}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieB ; 3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).

(E) est de la forme y'=ay+f avec f_0 solution particulière : ses solutions sont les fonctions x\longmapsto Ce^{-x}+f_0(x) = (x^{2}+3x+C)e^{-x}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieB ; 4. On admet que g est solution de (E). Déterminer l'expression de g.

Il existe C\in\mathbb{R} tel que g(x)=(x^{2}+3x+C)e^{-x}. Comme g(0)=1 : \begin{aligned}1 &= (0+0+C)e^{0} \\ &= C\end{aligned}
g(x) = (x^{2}+3x+1)e^{-x}.

PartieB ; 5. Déterminer les solutions de (E) dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Une courbe admet exactement deux points d'inflexion si et seulement si sa dérivée seconde s'annule exactement deux fois en changeant de signe.
Soit f(x)=(x^{2}+3x+C)e^{-x} une solution de (E) : f'(x) = (-x^{2}-x+3-C)e^{-x} et f''(x) = (x^{2}-x-4+C)e^{-x}.
L'exponentielle étant strictement positive, f''(x) est du signe de x^{2}-x-4+C, dont le discriminant est \begin{aligned}\Delta &= 1-4(-4+C) \\ &= 17-4C\end{aligned}
Ce polynôme change deux fois de signe si et seulement si \Delta>0, soit C<\dfrac{17}{4}.
Les solutions cherchées sont les fonctions x\longmapsto(x^{2}+3x+C)e^{-x} avec C<\dfrac{17}{4}.

PartieC ; 1. On considère f(x) = (x^{2}+3x+2)e^{-x} sur \mathbb{R}. Démontrer que la limite de f en +\infty est égale à 0.

f(x) = \dfrac{x^{2}}{e^{x}}+3\dfrac{x}{e^{x}}+\dfrac{2}{e^{x}}.
Par croissances comparées, pour tout entier n non nul, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{x}}=0 ; donc, par somme, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.

PartieC ; 2.a Vérifier que, pour tout réel x, f'(x) = (-x^{2} - x + 1)e^{-x}.

f'(x) = (2x+3)e^{-x}+(x^{2}+3x+2)(-e^{-x}) = (2x+3-x^{2}-3x-2)e^{-x} = (-x^{2}-x+1)e^{-x}.

PartieC ; 2.b Déterminer le signe de f' sur \mathbb{R} puis en déduire les variations de f.

L'exponentielle étant strictement positive, f'(x) est du signe de -x^{2}-x+1, de discriminant \Delta=1+4=5>0.
Ses racines sont x_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2} et x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2} ; le coefficient dominant étant négatif, -x^2-x+1 est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
f est décroissante sur ]-\infty~;~x_1] et sur [x_2~;~+\infty[, croissante sur [x_1~;~x_2].

PartieC ; 3. Expliquer pourquoi f est positive sur [0 ; +\infty[.

L'exponentielle étant strictement positive, f(x) est du signe de x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1), de racines -2 et -1.
Le coefficient dominant étant positif, ce polynôme est positif sur ]-1~;~+\infty[, donc en particulier sur [0~;~+\infty[ : f est positive sur [0~;~+\infty[.

PartieC ; 4. On admet que F(x) = (-x^{2} - 5x - 7)e^{-x} est une primitive de f. Pour \alpha réel positif, déterminer l'aire A(\alpha) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites x = 0 et x = \alpha.

f étant positive sur [0~;~\alpha], l'aire cherchée est \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A}(\alpha) &= \displaystyle\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= F(\alpha)-F(0)\end{aligned}
\begin{aligned}F(0) &= (0-0-7)e^{0} \\ &= -7\end{aligned} donc \mathcal{A}(\alpha) = (-\alpha^{2}-5\alpha-7)e^{-\alpha}+7 unités d'aire.

PartieA ; 1. On considère f(x) = 4ln(x+1) - x^{2}/25 sur ]-1 ; +\infty[. Déterminer la limite de f en -1.

\lim\limits_{x\to-1^{+}}(x+1)=0^{+}, donc, par composition avec \ln (qui tend vers -\infty en 0^{+}), \lim\limits_{x\to-1}4\ln(x+1)=-\infty.
Par ailleurs \lim\limits_{x\to-1}\left(-\dfrac{x^{2}}{25}\right) = -\dfrac{1}{25}, donc par somme, \lim\limits_{x\to-1}f(x)=-\infty.

PartieA ; 2. Montrer que, pour tout x de ]-1 ; +\infty[, f'(x) = (100 - 2x - 2x^{2}) / (25(x+1)).

f est dérivable sur ]-1~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables : la dérivée de 4\ln(x+1) est \dfrac{4}{x+1}, et celle de -\dfrac{x^{2}}{25} est -\dfrac{2x}{25}.
f'(x) = \dfrac{4}{x+1}-\dfrac{2x}{25} = \dfrac{4\times25-(x+1)\times2x}{25(x+1)} = \dfrac{100-2x-2x^{2}}{25(x+1)}.

PartieA ; 3. Étudier les variations de f sur ]-1 ; +\infty[ et en déduire que f est strictement croissante sur [2 ; 6,5].

Comme 25(x+1)>0 sur ]-1~;~+\infty[, f'(x) est du signe de 100-2x-2x^{2}, trinôme de coefficient dominant négatif (-2).
\Delta = 4+800 = 804>0 : les racines sont \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-1+\sqrt{201}}{2} \\ &\approx 6{,}6\end{aligned} et x_2=\dfrac{-1-\sqrt{201}}{2}\approx-7{,}6<-1.
Le coefficient dominant étant négatif, f'(x)>0 sur ]-1~;~x_1[ et f'(x)<0 sur ]x_1~;~+\infty[ : f est croissante sur ]-1~;~x_1] puis décroissante.
Comme [2~;~6{,}5]\subset\,]-1~;~x_1[ (car x_1\approx6{,}6>6{,}5), f est strictement croissante sur [2~;~6{,}5].

PartieA ; 4. On pose h(x) = f(x) - x sur [2 ; 6,5], avec un maximum M \approx 2,265 atteint en m \approx 2,364. Montrer que h(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur [2 ; 6,5].

h(2) = f(2)-2 \approx 2{,}23 > 0. Sur [2~;~m], h est strictement croissante et h(2)>0, donc h(x)>0 sur cet intervalle : pas de solution ici.
Sur [m~;~6{,}5], h est continue et strictement décroissante, avec h(m)=M\approx2{,}265>0 et h(6{,}5)\approx-0{,}13<0.
0 est compris entre h(m) et h(6{,}5) : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, h(x)=0 admet une unique solution \alpha sur [m~;~6{,}5], donc sur [2~;~6{,}5].

PartieA ; 5.a On donne un script Python bornes(n) qui affine un encadrement de \alpha. Donner les valeurs renvoyées par bornes(2) (arrondies au centième).

À la calculatrice, bornes(2) renvoie (6,36 ; 6,37).

PartieA ; 5.b Interpréter ces valeurs.

Ces valeurs donnent un encadrement de \alpha : {6{,}36<\alpha<6{,}37}.

PartieB ; 1. On considère (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = f(u_n). Montrer par récurrence que, pour tout n, 2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 6,5.

Initialisation : u_0=2 et \begin{aligned}u_1 &= f(2) \\ &\approx 4{,}23\end{aligned} donc {2\leqslant u_0\leqslant u_1<6{,}5} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n, {2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<6{,}5}. Comme f est strictement croissante sur [2~;~6{,}5] : f(2)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})<f(6{,}5).
Or f(2)\approx4{,}23>2 et f(6{,}5)\approx6{,}37<6{,}5, donc {2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}<6{,}5} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, {2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<6{,}5}.

PartieB ; 2. En déduire que la suite (u_n) converge vers une limite ℓ.

D'après la question précédente, (u_n) est croissante et majorée par 6,5 : toute suite croissante et majorée étant convergente, (u_n) converge vers une limite \ell\leqslant6{,}5.

PartieB ; 3. On rappelle que \alpha est l'unique solution de h(x) = 0 sur [2 ; 6,5]. Justifier que ℓ = \alpha.

(u_n) vérifie u_{n+1}=f(u_n) avec f continue : d'après le théorème du point fixe, \ell est solution de f(x)=x, c'est-à-dire de h(x)=0. Comme \ell\in[2~;~6{,}5] et que cette équation y admet l'unique solution \alpha, on a \ell=\alpha.

PartieA ; 1. On donne la courbe de f, avec la tangente T_A en A(1 ; 2) passant par C(3 ; 0). Déterminer f'(1).

f'(1) est le coefficient directeur de T_A : \dfrac{0-2}{3-1} = -1.

PartieA ; 2. Combien de solutions l'équation f'(x) = 0 admet-elle sur ]0 ; 3] ?

f'(x)=0 correspond aux points où la tangente est horizontale : d'après le graphique, cela se produit 2 fois sur ]0~;~3].

PartieA ; 3. Quel est le signe de f''(0,2) ?

Sur [0~;~0{,}5], la courbe semble concave d'après le graphique, donc f''(0{,}2)<0.

PartieB ; 1. On admet que f(x) = x[2(ln x)^{2} - 3ln x + 2] sur ]0 ; +\infty[. Résoudre 2X^{2} - 3X + 2 = 0 dans \mathbb{R}, et en déduire que la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

\Delta = (-3)^{2}-4\times2\times2 = 9-16 = -7<0 : l'équation 2X^{2}-3X+2=0 n'a pas de solution réelle.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x[2(\ln x)^{2}-3\ln x+2] = 0 \end{aligned} Comme x>0, cela équivaut à 2(\ln x)^{2}-3\ln x+2=0, soit, en posant X=\ln x, à 2X^{2}-3X+2=0, qui n'a pas de solution.
L'équation f(x)=0 n'a donc pas de solution : la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la limite de f en +\infty (on admet que la limite en 0 est 0).

f(x) = x(\ln x)^{2}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right).
\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln x)^{2}=+\infty, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right)=2.
Par produit : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

PartieB ; 3.a On admet que f'(x) = 2(ln x)^{2} + ln x - 1. Montrer que f''(x) = (1/x)(4ln x + 1).

f''(x) = 2\times2\ln x\times\dfrac1x+\dfrac1x = \dfrac{1}{x}(4\ln x+1).

PartieB ; 3.b Étudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[ et préciser l'abscisse exacte du point d'inflexion.

Sur ]0~;~+\infty[, \dfrac1x>0, donc f''(x) est du signe de 4\ln x+1.
\begin{aligned}4\ln x+1 = 0 &\iff \ln x = -\dfrac14 \\ &\iff x = e^{-\dfrac{1}{4}} \end{aligned} 4\ln x+1>0 \iff x>e^{-\dfrac{1}{4}}.
f est donc concave sur \left]0~;~e^{-\dfrac{1}{4}}\right] et convexe sur \left[e^{-\dfrac{1}{4}}~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion d'abscisse exacte e^{-\dfrac{1}{4}}\approx0{,}779.

PartieB ; 3.c Montrer que la courbe de f est au-dessus de la tangente T_B sur ]1 ; +\infty[.

Comme e^{-\dfrac{1}{4}}<1, f est convexe sur [1~;~+\infty[ : sur cet intervalle, la courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier T_B.

PartieC ; 1. Justifier que la tangente T_B (au point d'abscisse e) a pour équation réduite y = 2x - e.

f'(e) = 2(\ln e)^{2}+\ln e-1 = 2+1-1 = 2 et \begin{aligned}f(e) &= e(2\times1-3+2) \\ &= e\times1 \\ &= e\end{aligned}
La tangente en e a pour équation y=f'(e)(x-e)+f(e) = 2(x-e)+e = 2x-e.

PartieC ; 2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale de x ln x entre 1 et e vaut (e^{2} + 1)/4.

On pose u(x)=\ln x et v'(x)=x (donc u'(x)=\dfrac1x et v(x)=\dfrac{x^{2}}{2}).
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^{e}x\ln x\,\mathrm{d}x &= \left[\ln x\times\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^{e} - \displaystyle\int\limits_1^{e}\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{2}}{2} - \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac14 \\ &= \dfrac{e^{2}+1}{4}\end{aligned}

PartieC ; 3. On admet que l'intégrale de x(ln x)^{2} entre 1 et e vaut (e^{2} - 1)/4. En déduire l'aire A du domaine entre la courbe de f, la tangente T_B et les droites x=1 et x=e.

Sur [1~;~e], la courbe est au-dessus de T_B, donc \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[f(x)-(2x-e)]\,\mathrm{d}x \\ &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[2x(\ln x)^{2}-3x\ln x+e]\,\mathrm{d}x\end{aligned}
Par linéarité : \begin{aligned}\mathcal{A} &= 2\times\dfrac{e^{2}-1}{4} - 3\times\dfrac{e^{2}+1}{4} + \left[ex\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{-e^{2}-5}{4}+(e^{2}-e)\end{aligned}
\mathcal{A} = \dfrac{3e^{2}-4e-5}{4} unités d'aire (soit environ 1,57 u.a.).

PartieA ; 1. L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne A(-1 ; 2 ; 1), B(1 ; -1 ; 2), C(1 ; 1 ; 1), la droite (d) : x=\dfrac{3}{2}+2t, y=2+t, z=3-t, et (d') : x=s, y=\dfrac{3}{2}+s, z=3-2s. Montrer que (d) et (d') sont sécantes au point S(-\dfrac{1}{2} ; 1 ; 4).

Chercher un point commun revient à résoudre \frac32+2t=s, 2+t=\frac32+s, 3-t=3-2s.
En substituant s=\frac32+2t dans les deux dernières équations : \begin{aligned}2+t = 3+2t &\iff t = -1 \end{aligned} et \begin{aligned}3-t = -4t &\iff 3t = -3 \\ &\iff t = -1 \end{aligned} (cohérent), d'où \begin{aligned}s &= \frac32-2 \\ &= -\frac12\end{aligned}
Ces deux valeurs donnent bien le même point \left(-\frac12~;~1~;~4\right) sur les deux droites : elles sont donc sécantes en S.

PartieA ; 2.a Montrer que le vecteur n(1 ; 2 ; 4) est normal au plan (ABC).

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 2-6+4 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2-2+0 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{n} est donc normal au plan (ABC).

PartieA ; 2.b En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est x + 2y + 4z - 7 = 0.

\overrightarrow{n} étant normal à (ABC), ce plan a une équation de la forme x+2y+4z+d=0 ; comme C(1~;~1~;~1) appartient au plan : \begin{aligned}1+2+4+d = 0 &\iff d = -7 \end{aligned} soit x+2y+4z-7=0.

PartieA ; 3. Démontrer que A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

A, B, C définissant un plan, il suffit de vérifier que S n'appartient pas à ce plan : \begin{aligned}-\frac12+2\times1+4\times4-7 &= -\frac12+2+16-7 \\ &= \frac{21}{2} \\ &\neq 0\end{aligned} S n'appartient pas au plan (ABC), donc A, B, C, S ne sont pas coplanaires.

PartieA ; 4.a Démontrer que H(-1 ; 0 ; 2) est le projeté orthogonal de S sur (ABC).

Si H est ce projeté, \overrightarrow{SH} doit être colinéaire à \overrightarrow{n} : \overrightarrow{SH}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2} \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}, et \overrightarrow{n}=-2\overrightarrow{SH} : colinéaires.
De plus, H appartient au plan : \begin{aligned}-1+2\times0+4\times2-7 &= -1+0+8-7 \\ &= 0\end{aligned} ✓.
H est donc bien le projeté orthogonal de S sur (ABC).

PartieA ; 4.b En déduire qu'il n'existe aucun point M du plan (ABC) tel que SM < \surd\dfrac{21}{2}.

\begin{aligned}SH^{2} &= \frac14+1+4 \\ &= \frac{21}{4}\end{aligned} donc SH = \dfrac{\sqrt{21}}{2}.
H étant le projeté orthogonal de S, c'est le point du plan le plus proche de S : pour tout autre point M du plan, [SM] est l'hypoténuse du triangle rectangle SHM, donc SM>SH.
Il n'existe donc aucun point M du plan (ABC) tel que SM<\dfrac{\sqrt{21}}{2}.

PartieB ; 1. Soit M sur [CS] avec CM = k\cdotCS, k \in [0 ; 1]. Déterminer les coordonnées de M en fonction de k.

\overrightarrow{CS}\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2} \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}, donc \overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CS} donne x-1=-\frac32k, y-1=0, z-1=3k.
M a pour coordonnées \left(1-\frac32k~;~1~;~1+3k\right).

PartieB ; 2. Existe-t-il un point M sur [CS] tel que le triangle MAB soit rectangle en M ?

Le triangle MAB est rectangle en M si \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0.
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}2-\frac32k \\ -1 \\ 3k\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}-\frac32k \\ 2 \\ 3k-1\end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} = -\frac32k\left(2-\frac32k\right)-2+3k(3k-1).
En développant : 45k^{2}-24k-8=0, de discriminant \Delta = 24^{2}+4\times45\times8 = 2\,016>0, avec racines \begin{aligned}k_1 &= \dfrac{24+\sqrt{2\,016}}{90} \\ &\approx 0{,}765\end{aligned} et k_2\approx-0{,}232.
Seul k_1\in[0~;~1] convient : il existe un unique point M_1 sur [CS] tel que le triangle M_1AB soit rectangle en M_1.

1.aSoit f(x) = \dfrac{e^x}{x-1} sur ]-\infty~;~1[. Déterminer la limite de f en 1.

e^x\to e>0 et x-1\to0^- (négatif sur l'intervalle) : par quotient, \lim\limits_{x\to1^-}f(x) = -\infty.

1.bEn déduire une interprétation graphique.

La courbe \mathcal{C} admet la droite d'équation x=1 comme asymptote verticale.

2.Déterminer la limite de f en -\infty.

e^x\to0 et x-1\to-\infty : \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = 0 ; la droite y=0 est asymptote horizontale en -\infty.

3.aMontrer que f'(x) = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

f'(x) = \dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

3.bDresser, en justifiant, le tableau de variations de f sur ]-\infty~;~1[.

e^x>0 et (x-1)^2>0 : f'(x) est du signe de x-2, strictement négatif sur ]-\infty~;~1[. f est strictement décroissante, de 0 (limite en -\infty) vers -\infty (limite en 1).

4.aOn admet f''(x) = \dfrac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}. Étudier la convexité de f sur ]-\infty~;~1[.

x^2-4x+5 = (x-2)^2+1 > 0 pour tout réel x, et e^x>0 ; sur ]-\infty~;~1[, (x-1)^3<0.
f''(x)<0 sur tout l'intervalle : f est concave sur ]-\infty~;~1[.

4.bDéterminer l'équation réduite de la tangente T à \mathcal{C} au point d'abscisse 0.

f(0) = -1 et f'(0) = \dfrac{-2\times1}{1} = -2 : T : y = -2x-1.

4.cEn déduire que, pour tout x de ]-\infty~;~1[, e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

f étant concave, sa courbe est sous ses tangentes : f(x)\leqslant-2x-1, soit \dfrac{e^x}{x-1}\leqslant-2x-1.
En multipliant par x-1<0 (le sens change) : e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

5.aJustifier que l'équation f(x)=-2 admet une unique solution \alpha sur ]-\infty~;~1[.

f est continue et strictement décroissante sur ]-\infty~;~1[, et -2 est compris entre \lim\limits_{-\infty}f = 0 et \lim\limits_{1}f = -\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha.

5.bÀ l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-2}.

f(0{,}31)\approx-1{,}98>-2 et f(0{,}32)\approx-2{,}03<-2 : {0{,}31<\alpha<0{,}32}.

PartieA ; 1. Soit f(x) = \sqrt{x+1} sur [0~;~+\infty[. Démontrer que f est croissante sur cet intervalle.

f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0 sur [0~;~+\infty[ : f est croissante.

PartieA ; 2. Démontrer que, pour tout x\geqslant0, f(x)-x = \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}.

En multipliant par la quantité conjuguée : \begin{aligned}\sqrt{x+1}-x &= \dfrac{(\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)}{\sqrt{x+1}+x} \\ &= \dfrac{(x+1)-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\ &= \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}\end{aligned}

PartieA ; 3. En déduire que l'équation f(x)=x admet pour unique solution \ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2} sur [0~;~+\infty[.

Le dénominateur étant strictement positif, \begin{aligned}f(x) = x &\iff -x^2+x+1 = 0 \end{aligned} de discriminant \Delta = 5.
Les racines sont \dfrac{1+\sqrt5}{2}>0 et \dfrac{1-\sqrt5}{2}<0 : seule la première appartient à [0~;~+\infty[. \ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2} (le nombre d'or).

PartieB ; 1. Soit (u_n) définie par u_0=5 et u_{n+1}=f(u_n). Démontrer par récurrence que, pour tout n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= \sqrt6 \\ &\approx 2{,}45\end{aligned} donc 1\leqslant u_1\leqslant u_0=5 : vrai au rang 0.
Hérédité : si {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}, la croissance de f donne f(1)=\sqrt2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}, et \sqrt2\geqslant1 : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

PartieB ; 2. En déduire que la suite (u_n) converge.

(u_n) est décroissante et minorée par 1 : elle converge.

PartieB ; 3. Démontrer que la suite (u_n) converge vers \ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2}.

f étant continue sur [0~;~+\infty[, la limite vérifie f(\ell)=\ell ; d'après la partie A, l'unique solution de cette équation est \dfrac{1+\sqrt5}{2} : c'est la limite de la suite.

PartieB ; 4.a Un script Python seuil(n) compte les itérations nécessaires pour que |u_i-\ell|<10^{-n}. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).

À la calculatrice, \begin{aligned}|u_4-\ell| &\approx 0{,}02 \\ &\geqslant 10^{-2}\end{aligned} et |u_5-\ell|\approx0{,}007<10^{-2} : la fonction renvoie 5.

PartieB ; 4.b La valeur renvoyée par seuil(4) est 9. Interpréter.

u_9 est le premier terme de la suite qui approche le nombre d'or \ell à moins de 10^{-4} près : il faut 9 itérations pour obtenir une valeur approchée de \ell à 10^{-4} près.

PartieA ; 1.a Soit f(x) = x-2+\dfrac12\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : x-2\to-2 et \ln(x)\to-\infty, donc \lim\limits_{x\to0^+}f(x) = -\infty. En +\infty : les deux termes tendent vers +\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

PartieA ; 1.b Montrer que f'(x) = \dfrac{2x+1}{2x}.

f'(x) = 1+\dfrac12\times\dfrac1x = \dfrac{2x+1}{2x}.

PartieA ; 1.c Étudier le sens de variation de f sur ]0~;~+\infty[.

Pour x>0, numérateur et dénominateur de f'(x) sont strictement positifs : f'(x)>0, donc f est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[.

PartieA ; 1.d Étudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[.

f''(x) = -\dfrac{1}{2x^2} < 0 : f est concave sur ]0~;~+\infty[.

PartieA ; 2.a Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha, appartenant à [1~;~2].

f est continue et strictement croissante, de -\infty à +\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha.
f(1) = -1 < 0 et f(2) = \dfrac{\ln2}{2} > 0 : donc \alpha\in[1~;~2].

PartieA ; 2.b Déterminer le signe de f(x) sur ]0~;~+\infty[.

f étant strictement croissante et s'annulant en \alpha : f(x)<0 sur ]0~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieA ; 2.c Montrer que \ln(\alpha) = 2(2-\alpha).

\begin{aligned}f(\alpha) = 0 &\iff \alpha-2+\dfrac12\ln(\alpha) = 0 \\ &\iff \dfrac12\ln(\alpha) = 2-\alpha \\ &\iff \ln(\alpha) = 2(2-\alpha) \end{aligned}

PartieB ; 1. Soit g(x) = -\dfrac78x^2+x-\dfrac14x^2\ln(x) sur ]0~;~1]. Calculer g'(x) et vérifier que g'(x) = xf\left(\dfrac1x\right).

g'(x) = -\dfrac74x+1-\dfrac14\left(2x\ln(x)+x\right) = 1-2x-\dfrac{x\ln(x)}{2}.
En factorisant par x : g'(x) = x\left(\dfrac1x-2-\dfrac{\ln(x)}{2}\right) = x\left(\dfrac1x-2+\dfrac12\ln\left(\dfrac1x\right)\right) = xf\left(\dfrac1x\right).

PartieB ; 2.a Justifier que, pour x\in\left]0~;~\dfrac1\alpha\right[, f\left(\dfrac1x\right)>0.

Si 0<x<\dfrac1\alpha, alors \dfrac1x>\alpha, et f est strictement positive sur ]\alpha~;~+\infty[ : donc f\left(\dfrac1x\right)>0.

PartieB ; 2.b En déduire le tableau de variations de g sur ]0~;~1].

g'(x) = xf\left(\dfrac1x\right) est du signe de f\left(\dfrac1x\right) (car x>0) : g est croissante sur \left]0~;~\dfrac1\alpha\right] puis décroissante sur \left[\dfrac1\alpha~;~1\right], avec un maximum en \dfrac1\alpha.

PartieC ; 1.a Justifier la position relative de \mathcal{C}_g et de la parabole \mathcal{P} d'équation y = -\dfrac78x^2+x sur ]0~;~1].

\begin{aligned}g(x)-\left(-\dfrac78x^2+x\right) &= -\dfrac14x^2\ln(x) \\ &\geqslant 0\end{aligned} sur ]0~;~1] (car \ln(x)\leqslant0) : \mathcal{C}_g est au-dessus de \mathcal{P}.

PartieC ; 1.b Démontrer que \displaystyle \displaystyle\int\limits_{1/\alpha}^{1}x^2\ln(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}.

Par intégration par parties avec u(x)=\ln(x) et v'(x)=x^2 : \begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_{1/\alpha}^{1}x^2\ln(x)\,\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{x^3}{3}\ln(x)-\dfrac{x^3}{9}\right]_{1/\alpha}^{1} \\ &= -\dfrac19-\dfrac{1}{3\alpha^3}\left(-\ln(\alpha)-\dfrac13\right)\end{aligned}
En remplaçant \ln(\alpha) par 2(2-\alpha) : = -\dfrac19+\dfrac{4}{3\alpha^3}-\dfrac{2}{3\alpha^2}+\dfrac{1}{9\alpha^3} = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}.

PartieC ; 2. En déduire l'expression, en fonction de \alpha, de l'aire \mathcal{A} du domaine compris entre \mathcal{C}_g, \mathcal{P}, et les droites x=\dfrac1\alpha et x=1.

\begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_{1/\alpha}^{1}\left(-\dfrac14x^2\ln(x)\right)\mathrm{d}x \\ &= -\dfrac14\times\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3} \\ &= \dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3} \\ &\approx 0{,}07\end{aligned} unité d'aire.

PartieA ; 1. La courbe \mathcal{C}_f passe par B(-1 ; -2), où sa tangente T passe aussi par A(0 ; -1). Préciser f(-1) et f'(-1).

f(-1) = -2 (ordonnée de B), et f'(-1) est le coefficient directeur de T = (AB) : \dfrac{-1-(-2)}{0-(-1)} = 1.

PartieA ; 2. La fonction f est-elle convexe sur son ensemble de définition ?

Non : la courbe passe en dessous de sa tangente T pour les abscisses proches de -2, ce qui est impossible pour une fonction convexe. Elle semble concave puis convexe, avec un point d'inflexion vers x\approx-1{,}4.

PartieA ; 3. Conjecturer le nombre de solutions de f(x)=0 et donner une valeur arrondie à 10^{-1} près.

La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'une seule fois, vers x\approx 0,1.

PartieB ; 1. On considère f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2) sur ]-2~;~+\infty[. Déterminer la limite de f en -2 et interpréter.

x^2+2x-1\to-1 et \ln(x+2)\to-\infty : \lim\limits_{x\to-2}f(x) = -\infty. La droite x=-2 est asymptote verticale à \mathcal{C}_f.

PartieB ; 2. Montrer que, pour tout x>-2, f'(x) = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.

f'(x) = 2x+2+\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.

PartieB ; 3. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

Le numérateur 2x^2+6x+5 a pour discriminant \Delta = 36-40 = -4<0 : il est strictement positif pour tout x ; le dénominateur x+2 est positif sur l'intervalle.
f'(x)>0 : f est strictement croissante sur ]-2~;~+\infty[, de -\infty à +\infty.

PartieB ; 4. Montrer que f(x)=0 admet une unique solution \alpha, et donner une valeur arrondie à 10^{-2} près.

f est continue, strictement croissante, de -\infty à +\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha. Par balayage : \alpha\approx0{,}12.

PartieB ; 5. En déduire le signe de f(x) sur ]-2~;~+\infty[.

f(x)<0 sur ]-2~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieB ; 6. Montrer que \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

f''(x) = \dfrac{(4x+6)(x+2)-(2x^2+6x+5)}{(x+2)^2} = \dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}, du signe du numérateur.
Le trinôme 2x^2+8x+7 a pour discriminant \Delta = 64-56 = 8>0, avec pour racines -2\pm\dfrac{\sqrt2}{2} ; seule -2+\dfrac{\sqrt2}{2} appartient à l'intervalle.
f'' s'y annule en changeant de signe : l'unique point d'inflexion a pour abscisse -2+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx-1{,}29.

PartieC ; 1. Soit g(x) = \ln(x+2), J(0 ; 1) et M le point de \mathcal{C}_g d'abscisse x. Justifier que \begin{aligned}h(x) &= JM^2 \\ &= x^2+[\ln(x+2)-1]^2\end{aligned}

\begin{aligned}JM^2 &= (x-0)^2+\big(g(x)-1\big)^2 \\ &= x^2+[\ln(x+2)-1]^2\end{aligned} (repère orthonormé).

PartieC ; 2.a On admet h'(x) = \dfrac{2f(x)}{x+2}. Dresser le tableau de variations de h.

\dfrac{2}{x+2}>0 sur l'intervalle : h'(x) est du signe de f(x). h décroît sur ]-2~;~\alpha] puis croît sur [\alpha~;~+\infty[, avec un minimum en \alpha.

PartieC ; 2.b En déduire que la distance JM est minimale pour x=\alpha.

La distance JM est minimale lorsque son carré h(x) est minimal (croissance de la racine carrée), c'est-à-dire pour x=\alpha.

PartieC ; 3.a Montrer que \ln(\alpha+2) = 1-2\alpha-\alpha^2.

\begin{aligned}f(\alpha) = 0 &\iff \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2) = 0 \\ &\iff \ln(\alpha+2) = 1-2\alpha-\alpha^2 \end{aligned}

PartieC ; 3.b En déduire que la tangente à \mathcal{C}_g en M_\alpha et la droite (JM_\alpha) sont perpendiculaires.

La tangente a pour coefficient directeur g'(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha+2} ; la droite (JM_\alpha) a pour coefficient directeur \begin{aligned}\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha} &= \dfrac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha} \\ &= -2-\alpha\end{aligned}
Le produit vaut \dfrac{1}{\alpha+2}\times(-2-\alpha) = -1 : les deux droites sont perpendiculaires.

1.aDans l'espace muni d'un repère orthonormé, le plan \mathcal{P}_1 a pour équation cartésienne 2x+y-z+2=0. Donner les coordonnées d'un vecteur normal \vec{n_1} à \mathcal{P}_1.

Les coefficients de x, y et z dans l'équation cartésienne d'un plan donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan. Donc, la réponse est \vec{n_1}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}.

1.bLe plan \mathcal{P}_2 passe par B(1 ; 1 ; 2) et admet pour vecteur normal \vec{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}. Sachant que deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l'autre, montrer que \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont perpendiculaires.

\begin{aligned}\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} &= 2\times 1 + 1\times(-1) + (-1)\times 1 \\ &= 2-1-1 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs \vec{n_1} et \vec{n_2} sont donc orthogonaux. Donc, la réponse est : les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont perpendiculaires.

2.aDéterminer une équation cartésienne du plan \mathcal{P}_2.

Le plan \mathcal{P}_2 admet \vec{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} pour vecteur normal, donc son équation cartésienne est de la forme x-y+z+d=0, où d est une constante réelle à déterminer.
Le point B(1 ; 1 ; 2) appartient à \mathcal{P}_2, donc ses coordonnées vérifient l'équation : 1-1+2+d=0, soit d=-2.
Donc, la réponse est : \mathcal{P}_2 a pour équation cartésienne x-y+z-2=0.

2.bOn note \Delta la droite de représentation paramétrique x=0, y=-2+t, z=t (avec t\in\mathbb{R}). Montrer que \Delta est l'intersection des plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2.

Les points de l'intersection de \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont les triplets (x~;~y~;~z) vérifiant simultanément 2x+y-z+2=0 et x-y+z-2=0.
En additionnant les deux équations, les termes en y et z s'éliminent partiellement : \begin{aligned}(2x+y-z+2)+(x-y+z-2) &= 3x \\ &= 0\end{aligned} donc x=0.
En reportant x=0 dans la deuxième équation : 0-y+z-2=0, soit y=z-2. En posant z=t (réel quelconque), on obtient x=0, y=-2+t, z=t, ce qui est exactement la représentation paramétrique de \Delta.
Donc, la réponse est : \mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2 = \Delta.

3.aOn considère le point A(1 ; 1 ; 1), qui n'appartient ni à \mathcal{P}_1 ni à \mathcal{P}_2, et H le projeté orthogonal de A sur \Delta. Les points de \Delta sont notés M_t(0~;~-2+t~;~t). Montrer que, pour tout réel t, \mathrm{AM}_t = \sqrt{2t^2-8t+11}.

\begin{aligned}\mathrm{AM}_t^{2} &= (0-1)^2+(-2+t-1)^2+(t-1)^2 \\ &= (-1)^2+(t-3)^2+(t-1)^2\end{aligned}
= 1+(t^2-6t+9)+(t^2-2t+1) = 2t^2-8t+11.
Une longueur étant positive, \mathrm{AM}_t = \sqrt{\mathrm{AM}_t^{2}}. Donc, la réponse est \mathrm{AM}_t = \sqrt{2t^2-8t+11}.

3.bEn déduire que \mathrm{AH}=\sqrt{3}.

Le point H, projeté orthogonal de A sur \Delta, est le point de \Delta le plus proche de A : la longueur AH est donc le minimum des longueurs \mathrm{AM}_t pour t décrivant \mathbb{R}, ce qui revient à minimiser 2t^2-8t+11.
Cette expression est un trinôme du second degré de coefficient dominant a=2>0 : son minimum est atteint en \begin{aligned}t &= -\dfrac{b}{2a} \\ &= -\dfrac{-8}{2\times2} \\ &= 2\end{aligned}
Ce minimum vaut \begin{aligned}2\times2^2-8\times2+11 &= 8-16+11 \\ &= 3\end{aligned} Donc, la réponse est \mathrm{AH}=\sqrt{3}.

4.aOn note \mathcal{D}_1 la droite orthogonale à \mathcal{P}_1 passant par A, et H_1 le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}_1. Déterminer une représentation paramétrique de \mathcal{D}_1.

La droite \mathcal{D}_1 est orthogonale au plan \mathcal{P}_1, donc le vecteur normal \vec{n_1}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} à \mathcal{P}_1 dirige \mathcal{D}_1 ; celle-ci passe de plus par A(1 ; 1 ; 1).
Donc, la réponse est : \mathcal{D}_1 a pour représentation paramétrique x=1+2t, y=1+t, z=1-t, avec t\in\mathbb{R}.

4.bEn déduire que H_1 a pour coordonnées \left(-\dfrac13~;~\dfrac13~;~\dfrac53\right).

Le point H_1 est l'intersection de \mathcal{D}_1 et \mathcal{P}_1 : ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de \mathcal{D}_1 et l'équation de \mathcal{P}_1.
En reportant x=1+2t, y=1+t, z=1-t dans 2x+y-z+2=0 : 2(1+2t)+(1+t)-(1-t)+2=0, soit 2+4t+1+t-1+t+2=0, c'est-à-dire 6t+4=0, donc t=-\dfrac{2}{3}.
On en déduit \begin{aligned}x &= 1+2\times\left(-\dfrac23\right) \\ &= 1-\dfrac43 \\ &= -\dfrac13\end{aligned} \begin{aligned}y &= 1-\dfrac23 \\ &= \dfrac13\end{aligned} et \begin{aligned}z &= 1+\dfrac23 \\ &= \dfrac53\end{aligned}
Donc, la réponse est : \mathrm{H_1}\left(-\dfrac13~;~\dfrac13~;~\dfrac53\right).

5.Soit H_2 le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}_2 ; on admet que \mathrm{H_2}\left(\dfrac43~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right) et que \mathrm{H}(0~;~0~;~2). Montrer que le quadrilatère AH_1HH_2 est un rectangle.

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AH_1}} sont \begin{pmatrix}-\frac13-1 \\ \frac13-1 \\ \frac53-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac43 \\ -\frac23 \\ \frac23\end{pmatrix}.
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{H_2H}} sont \begin{pmatrix}0-\frac43 \\ 0-\frac23 \\ 2-\frac43\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac43 \\ -\frac23 \\ \frac23\end{pmatrix}.
Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AH_1}} et \overrightarrow{\mathrm{H_2H}} étant égaux, le quadrilatère AH_1HH_2 est un parallélogramme.
La droite (AH_1) est orthogonale au plan \mathcal{P}_1 (car incluse dans \mathcal{D}_1), et H_1 appartient à \mathcal{P}_1 ; donc (AH_1) est orthogonale à toute droite de \mathcal{P}_1 passant par H_1, en particulier à la droite (H_1H), puisque H appartient à \Delta\subset\mathcal{P}_1.
Le parallélogramme AH_1HH_2 possède donc un angle droit en H_1. Donc, la réponse est : AH_1HH_2 est un rectangle.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point A(1 ; -1 ; -1), le plan \mathcal{P}_1 d'équation 5x+2y+4z=17 et le plan \mathcal{P}_2 d'équation 10x+14y+3z=19. Justifier que \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

Un vecteur normal à \mathcal{P}_1 est \vec{n_1}\begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix} et un vecteur normal à \mathcal{P}_2 est \vec{n_2}\begin{pmatrix}10 \\ 14 \\ 3\end{pmatrix}. Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \begin{aligned}\dfrac{10}{5} &= \dfrac{14}{2} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned} or \dfrac{10}{5}=2 et \dfrac{14}{2}=7 : les rapports diffèrent, donc \vec{n_1} et \vec{n_2} ne sont pas colinéaires. Donc, la réponse est que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

2.Soit \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique x=1+2t, y=-t, z=3-2t (avec t\in\mathbb{R}). Démontrer que \mathcal{D} est la droite d'intersection de \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2.

Les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles (question précédente), donc ils sont sécants selon une droite. Vérifions que tout point de \mathcal{D} appartient à cette droite d'intersection.
Pour tout réel t, en notant M le point de paramètre t : \begin{aligned}5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t) &= 5+10t-2t+12-8t \\ &= 17\end{aligned} donc M\in\mathcal{P}_1.
De même : \begin{aligned}10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t) &= 10+20t-14t+9-6t \\ &= 19\end{aligned} donc M\in\mathcal{P}_2.
Tout point de \mathcal{D} appartient donc à la fois à \mathcal{P}_1 et à \mathcal{P}_2 : \mathcal{D} est bien la droite d'intersection de ces deux plans.

3.aVérifier que A n'appartient pas à \mathcal{P}_1.

\begin{aligned}5\times1+2\times(-1)+4\times(-1) &= 5-2-4 \\ &= -1\end{aligned} et -1\neq17, donc, la réponse est que A n'appartient pas à \mathcal{P}_1.

3.bJustifier que A n'appartient pas à \mathcal{D}.

A appartiendrait à \mathcal{D} s'il existait un réel t tel que 1=1+2t, -1=-t et -1=3-2t, soit t=0, t=1 et t=2 simultanément. Ces trois valeurs sont incompatibles, le système n'a pas de solution : donc, la réponse est que A n'appartient pas à \mathcal{D}.

4.aPour tout réel t, on note M le point de \mathcal{D} de coordonnées (1+2t~;~-t~;~3-2t) et f(t)=\mathrm{A}M^2. Montrer que f(t)=9t^2-18t+17.

\begin{aligned}f(t) &= (1+2t-1)^2+(-t-(-1))^2+(3-2t-(-1))^2 \\ &= (2t)^2+(1-t)^2+(4-2t)^2\end{aligned}
En développant : 4t^2+(1-2t+t^2)+(16-16t+4t^2)=9t^2-18t+17. Donc, la réponse est f(t)=9t^2-18t+17.

4.bDémontrer que la distance AM est minimale lorsque M a pour coordonnées (3~;~-1~;~1).

La distance AM est minimale exactement quand f(t)=\mathrm{A}M^2 est minimale, car la fonction racine carrée est croissante.
f est un polynôme du second degré de coefficient dominant 9>0 : il admet un minimum en \begin{aligned}t &= -\dfrac{-18}{2\times9} \\ &= \dfrac{18}{18} \\ &= 1\end{aligned}
Pour t=1, le point de \mathcal{D} a pour coordonnées (1+2~;~-1~;~3-2)=(3~;~-1~;~1). Donc, la réponse est que AM est minimale pour M(3~;~-1~;~1).

5.On note H le point de coordonnées (3~;~-1~;~1). Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à \mathcal{D}.

\overrightarrow{\mathrm{AH}}\begin{pmatrix}3-1 \\ -1-(-1) \\ 1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}. Un vecteur directeur de \mathcal{D}, lu sur sa représentation paramétrique, est \vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}.
Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire par les coordonnées : \begin{aligned}\vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}} &= 2\times2+(-1)\times0+(-2)\times2 \\ &= 4+0-4 \\ &= 0\end{aligned}
Le produit scalaire est nul, donc les droites (AH) et \mathcal{D} sont orthogonales. De plus, H appartient à \mathcal{D} (c'est le point de paramètre t=1) et H appartient aussi à (AH) : les deux droites sont donc sécantes en H. Étant orthogonales et sécantes, elles sont perpendiculaires.

1.Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant. Affirmation : la suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1} est bornée.

Vraie. Pour tout entier naturel n, {n+1\geqslant1>0}, donc \dfrac{1}{n+1}\leqslant1, d'où -1\leqslant-\dfrac{1}{n+1} et \dfrac{1}{n+1}\leqslant1.
De plus, pour tout entier naturel n, {-1\leqslant(-1)^n\leqslant1}, donc, en divisant par n+1>0 : {-\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+1}}.
En combinant les deux encadrements : {-1\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant1}. Donc, la réponse est que la suite u est bornée par -1 et 1.

2.Affirmation : toute suite bornée est convergente.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=(-1)^n est bornée par -1 et 1, mais elle prend alternativement les valeurs -1 et 1 : elle n'admet pas de limite, donc elle ne converge pas. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

3.Affirmation : toute suite croissante tend vers +\infty.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N}^* par u_n=-\dfrac{1}{n} est croissante (car \dfrac{1}{n} décroît) mais elle converge vers 0 et non vers +\infty. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

4.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right). Affirmation : f est convexe sur l'intervalle [-3~;~1].

Fausse. Étudier la convexité de f revient à étudier le signe de f''. On pose u(x)=x^2+2x+2 (strictement positif sur \mathbb{R} car de discriminant négatif), avec u'(x)=2x+2 ; f=\ln(u) est dérivable sur \mathbb{R} comme composée de fonctions dérivables, et f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}.
En dérivant à nouveau f'=\dfrac{v}{w} avec v(x)=2x+2, w(x)=x^2+2x+2, v'(x)=2, w'(x)=2x+2 : f''(x)=\dfrac{v'w-w'v}{w^2}=\dfrac{2(x^2+2x+2)-(2x+2)^2}{w^2}.
Au numérateur : \begin{aligned}2x^2+4x+4-\left(4x^2+8x+4\right) &= -2x^2-4x \\ &= -2x(x+2)\end{aligned} Comme w^2>0, f''(x) est du signe de -2x(x+2), trinôme de coefficient dominant négatif, de racines -2 et 0 : il est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
f''(x)>0 sur ]-2~;~0[ et f''(x)<0 sur ]-\infty~;~-2[\cup]0~;~+\infty[ : f est donc convexe sur [-2~;~0] et concave ailleurs. Sur [-3~;~1], f n'est pas concave ni convexe partout (elle est concave près de -3 et de 1) : elle n'est donc pas convexe sur tout l'intervalle [-3~;~1].

5.On considère la fonction Python mystere ci-dessous, qui prend en paramètre une liste L de nombres (len(L) renvoie le nombre d'éléments de L).

5.(suite) Affirmation : l'exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

Vraie. La variable M est initialisée avec le premier élément de la liste, puis à chaque étape, si un élément de la liste dépasse la valeur courante de M, M est remplacé par cet élément. L'algorithme calcule donc le maximum des éléments de la liste, qui vaut ici 7 (le plus grand des termes 2,3,7,0,6,3,2,0,5).

1.aL'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne J(2 ; 0 ; 1), K(1 ; 2 ; 1) et L(-2 ; -2 ; -2). Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{JL}\begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{JK}\cdot\overrightarrow{JL} &= (-1)\times(-4)+2\times(-2)+0\times(-3) \\ &= 4-4+0 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs \overrightarrow{JK} et \overrightarrow{JL} sont orthogonaux, donc le triangle JKL est rectangle en J.

1.bCalculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL (en cm^{2}).

\begin{aligned}JK &= \left\|\overrightarrow{JK}\right\| \\ &= \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\ &= \sqrt5\end{aligned} et \begin{aligned}JL &= \left\|\overrightarrow{JL}\right\| \\ &= \sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2} \\ &= \sqrt{29}\end{aligned}
Le triangle étant rectangle en J, son aire vaut \mathcal{A} = \dfrac{JK\times JL}{2} = \dfrac{\sqrt5\times\sqrt{29}}{2} = \dfrac{\sqrt{145}}{2} cm^{2}.

1.cDéterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle géométrique \widehat{JKL}.

Le triangle JKL étant rectangle en J, on utilise SOH-CAH-TOA dans le triangle rectangle JKL : \begin{aligned}\tan\left(\widehat{JKL}\right) &= \dfrac{JL}{JK} \\ &= \dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}\end{aligned}
Donc, \widehat{JKL} = \arctan\left(\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}\right)\approx 67,5^{\circ}.

2.aDémontrer que le vecteur \vec n de coordonnées \begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ -10\end{pmatrix} est normal au plan (JKL).

\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{JK} &= 6\times(-1)+3\times2+(-10)\times0 \\ &= -6+6+0 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{JL} &= 6\times(-4)+3\times(-2)+(-10)\times(-3) \\ &= -24-6+30 \\ &= 0\end{aligned}
\vec n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (JKL), donc \vec n est normal au plan (JKL).

2.bEn déduire une équation cartésienne du plan (JKL).

Le plan (JKL), de vecteur normal \vec n\begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ -10\end{pmatrix}, a une équation de la forme 6x+3y-10z+d=0.
Comme J(2 ; 0 ; 1) appartient au plan : \begin{aligned}6\times2+3\times0-10\times1+d = 0 &\iff 12-10+d = 0 \\ &\iff d = -2 \end{aligned}
Donc, une équation cartésienne du plan (JKL) est 6x+3y-10z-2=0.

3.aOn note T le point de coordonnées (10 ; 9 ; -6). Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta orthogonale au plan (JKL) et passant par T.

La droite \Delta, orthogonale au plan (JKL), admet \vec n\begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ -10\end{pmatrix} comme vecteur directeur ; elle passe par T(10 ; 9 ; -6). Une représentation paramétrique est donc : \begin{cases}x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

3.bDéterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de T sur le plan (JKL).

H est l'unique point d'intersection de \Delta et du plan (JKL). On remplace les coordonnées paramétriques dans l'équation du plan : 6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0.
En développant : \begin{aligned}60+36t+27+9t+60+100t-2 = 0 &\iff 145t+145 = 0 \\ &\iff t = -1 \end{aligned}
En remplaçant t=-1 : \begin{aligned}x &= 10+6\times(-1) \\ &= 4\end{aligned} \begin{aligned}y &= 9+3\times(-1) \\ &= 6\end{aligned} \begin{aligned}z &= -6-10\times(-1) \\ &= 4\end{aligned}
Donc, H a pour coordonnées (4 ; 6 ; 4).

3.cSachant que le volume d'un tétraèdre est donné par V=\dfrac13\mathcal{B}\times h, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur correspondante, calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT (en cm^{3}).

On prend pour base le triangle JKL, d'aire \mathcal{B}=\dfrac{\sqrt{145}}{2} cm^{2} (question 1.b), et pour hauteur la longueur TH, puisque H est le projeté orthogonal de T sur le plan (JKL).
\overrightarrow{TH}\begin{pmatrix}-6 \\ -3 \\ 10\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}TH &= \sqrt{(-6)^2+(-3)^2+10^2} \\ &= \sqrt{145}\end{aligned}
\begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac{\sqrt{145}}{2}\times\sqrt{145} \\ &= \dfrac{145}{6}\end{aligned}
Donc, le volume du tétraèdre JKLT vaut \dfrac{145}{6} cm^{3}.

PartieA ; 1. Soit p la fonction définie sur [-3~;~4] par p(x) = x^3-3x^2+5x+1. Étudier les variations de p sur [-3~;~4].

p est dérivable sur [-3~;~4], avec p'(x) = 3x^2-6x+5, un trinôme du second degré de discriminant \Delta = (-6)^2-4\times3\times5 = 36-60=-24<0.
Comme \Delta<0 et que le coefficient dominant (3) est positif, p'(x)>0 pour tout x de [-3~;~4] : p est strictement croissante sur [-3~;~4].

PartieA ; 2. Justifier que l'équation p(x)=0 admet, sur [-3~;~4], une unique solution notée \alpha.

p(-3)=-68 et p(4)=37. p est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [-3~;~4], à valeurs entre -68 et 37 ; comme 0 appartient à cet intervalle, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation p(x)=0 admet une unique solution \alpha dans [-3~;~4].

PartieA ; 3. Donner une valeur approchée de \alpha au dixième près.

À la calculatrice, p(-0{,}2)\approx-0{,}13<0 et p(-0{,}1)\approx0{,}47>0 : donc, \alpha\approx-0{,}2 au dixième près.

PartieA ; 4. Donner le tableau de signes de p sur [-3~;~4].

p étant strictement croissante et s'annulant uniquement en \alpha\approx-0{,}2 : p(x)<0 sur [-3~;~\alpha[, p(\alpha)=0, et p(x)>0 sur ]\alpha~;~4].

PartieB ; 1.a Soit f la fonction définie sur [-3~;~4] par f(x) = \dfrac{e^x}{1+x^2}, de courbe \mathcal{C}_f. Déterminer f'(x).

f est dérivable sur [-3~;~4] (car 1+x^2\neq0), et par la formule de dérivation d'un quotient : f'(x) = \dfrac{e^x(1+x^2)-e^x\times2x}{(1+x^2)^2} = \dfrac{e^x\left(x^2-2x+1\right)}{(1+x^2)^2} = \dfrac{(x-1)^2\,e^x}{(1+x^2)^2}.

PartieB ; 1.b Justifier que \mathcal{C}_f admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

f'(x)=0 \iff (x-1)^2e^x=0 \iff (x-1)^2=0 (car e^x\neq0) \iff x=1.
Donc, f'(1)=0 : la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 est horizontale, d'équation \begin{aligned}y &= f(1) \\ &= \dfrac{e}{2}\end{aligned}

PartieB ; 2.a Des concepteurs utilisent \mathcal{C}_f comme profil d'un toboggan, en estimant que le profil assure de bonnes sensations s'il possède au moins deux points d'inflexion. D'après le graphique fourni, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?

Graphiquement, la courbe \mathcal{C}_f semble convexe sur [-3~;~0], concave sur [0~;~1], puis de nouveau convexe sur [1~;~4] : elle change donc deux fois de convexité, aux abscisses 0 et 1. Le toboggan semble assurer de bonnes sensations.

PartieB ; 2.b On admet que, pour tout x de [-3~;~4], f''(x) = \dfrac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}, où p est la fonction de la partie A. Confirmer, en justifiant, si le toboggan assure de bonnes sensations.

Sur [-3~;~4], (1+x^2)^3>0 et e^x>0, donc f''(x) est du signe de p(x)(x-1).
D'après le tableau de signes de p (partie A, question 4) : p(x)<0 sur [-3~;~\alpha[ et p(x)>0 sur ]\alpha~;~4] ; par ailleurs x-1<0 sur [-3~;~1[ et x-1>0 sur ]1~;~4].
En croisant les signes : p(x)(x-1) est positif sur [-3~;~\alpha[, négatif sur ]\alpha~;~1[, puis positif sur ]1~;~4] : f'' change donc bien de signe en x=\alpha et en x=1.
\mathcal{C}_f admet donc bien deux points d'inflexion (aux abscisses \alpha et 1) : le toboggan assure de bonnes sensations, ce qui confirme la lecture graphique.

1.aUne urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux jetons de cette urne. Un joueur perd 9 € si les deux jetons tirés sont blancs, perd 1 € si les deux jetons tirés sont noirs, et gagne 5 € si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes. Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Notons B l'évènement « le jeton tiré est blanc » et N l'évènement « le jeton tiré est noir ». Comme l'urne contient 3 jetons blancs et 2 jetons noirs sur 5 au total, p(\text{B}) = \dfrac35 et p(\text{N}) = \dfrac25.
Les tirages étant effectués avec remise, les probabilités sont les mêmes au premier et au second tirage : l'arbre pondéré comporte, à la première branche, B (probabilité \dfrac35) ou N (probabilité \dfrac25) ; puis, sous chacune de ces deux branches, à nouveau B (probabilité \dfrac35) ou N (probabilité \dfrac25) au second tirage, ces deux tirages étant indépendants du fait de la remise.

1.bCalculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.

Perdre 9 € correspond à tirer deux jetons blancs. Notons X la variable aléatoire donnant le gain du joueur sur une partie ; comme les deux tirages sont indépendants (tirages avec remise) : \begin{aligned}p(X=-9) &= p(\text{B})\times p(\text{B}) \\ &= \left(\dfrac35\right)^2 \\ &= \dfrac{9}{25}\end{aligned}
Donc, la probabilité de perdre 9 € sur une partie est égale à \dfrac{9}{25} (soit 0,36).

2.aOn considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et N jetons noirs, avec N\geqslant2 (le nombre exact de jetons noirs n'étant pas connu). Soit X la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie. Déterminer la loi de probabilité de X.

L'urne contient à présent N+3 jetons au total, dont 3 blancs et N noirs. Sur un tirage, p(\text{B}) = \dfrac{3}{N+3} et p(\text{N}) = \dfrac{N}{N+3}. La variable X prend les valeurs -9, -1 et 5.
Pour perdre 9 € (deux jetons blancs, tirages indépendants) : \begin{aligned}p(X=-9) &= \left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2 \\ &= \dfrac{9}{(N+3)^2}\end{aligned}
Pour perdre 1 € (deux jetons noirs) : \begin{aligned}p(X=-1) &= \left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\ &= \dfrac{N^2}{(N+3)^2}\end{aligned}
Pour gagner 5 € (un jeton de chaque couleur, dans l'un ou l'autre ordre) : \begin{aligned}p(X=5) &= 2\times\dfrac{3}{N+3}\times\dfrac{N}{N+3} \\ &= \dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{aligned}
La loi de probabilité de X est donc donnée par : p(X=-9)=\dfrac{9}{(N+3)^2}, p(X=-1)=\dfrac{N^2}{(N+3)^2} et p(X=5)=\dfrac{6N}{(N+3)^2}.

2.bRésoudre l'inéquation d'inconnue réelle x : -x^2+30x-81>0.

Le trinôme -x^2+30x-81 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 30^2-4\times(-1)\times(-81) \\ &= 900-324 \\ &= 576 \\ &= 24^2\end{aligned}
Comme \Delta>0, le trinôme admet deux racines réelles : \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-30-24}{2\times(-1)} \\ &= \dfrac{-54}{-2} \\ &= 27\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-30+24}{2\times(-1)} \\ &= \dfrac{-6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}
Le coefficient dominant du trinôme étant -1<0, celui-ci est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur : donc, -x^2+30x-81>0 \iff x\in\,]3~;~27[.

2.cEn utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l'urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.

Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l'espérance de gain E(X) est strictement positive. D'après la loi de probabilité établie à la question 2.a : \begin{aligned}E(X) &= (-9)\times\dfrac{9}{(N+3)^2} + (-1)\times\dfrac{N^2}{(N+3)^2} + 5\times\dfrac{6N}{(N+3)^2} \\ &= \dfrac{-81-N^2+30N}{(N+3)^2} \\ &= \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}\end{aligned}
Comme (N+3)^2>0, E(X) est du signe de son numérateur -N^2+30N-81. D'après la question précédente, ce numérateur est strictement positif si, et seulement si, N\in\,]3~;~27[.
Or N est un entier naturel (un nombre de jetons), donc E(X)>0 si, et seulement si, N est un entier vérifiant {4\leqslant N\leqslant26}.
Donc, le jeu est favorable au joueur lorsque l'urne contient entre 4 et 26 jetons noirs (bornes incluses).

2.dCombien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d'obtenir un gain moyen maximal ?

Le gain moyen est maximal lorsque la fonction g, définie sur [0~;~+\infty[ par g(N) = \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2} (qui correspond à E(X) vue comme fonction de N), atteint son maximum, c'est-à-dire lorsque g'(N)=0 en changeant de signe.
La fonction g est dérivable sur [0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. En utilisant la formule de dérivation d'un quotient : g'(N) = \dfrac{(-2N+30)(N+3)^2-(N+3)^2{}'\times\left(-N^2+30N-81\right)}{(N+3)^4}, avec (N+3)^2{}' = 2(N+3).
En simplifiant par (N+3) au numérateur et au dénominateur : g'(N) = \dfrac{(-2N+30)(N+3)-2\left(-N^2+30N-81\right)}{(N+3)^3}.
Développons le numérateur : \begin{aligned}(-2N+30)(N+3) &= -2N^2-6N+30N+90 \\ &= -2N^2+24N+90\end{aligned} puis -2\left(-N^2+30N-81\right) = 2N^2-60N+162. La somme donne : -2N^2+24N+90+2N^2-60N+162 = -36N+252.
Donc, g'(N) = \dfrac{-36N+252}{(N+3)^3} = \dfrac{-36(N-7)}{(N+3)^3}. Comme (N+3)^3>0, g'(N) est du signe de -(N-7) : positif avant N=7, négatif après.
La fonction g est donc croissante sur [0~;~7] puis décroissante sur [7~;~+\infty[ : elle admet un maximum en N=7.
Donc, le joueur doit demander que l'urne contienne 7 jetons noirs pour que son gain moyen soit maximal.

3.On suppose que l'urne contient désormais 7 jetons noirs et 3 jetons blancs. On observe 10 joueurs qui effectuent chacun une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant 5 euros ?

Avec N=7 jetons noirs et 3 jetons blancs (10 jetons au total), la probabilité de gagner 5 € sur une partie est, d'après la question 2.a : \begin{aligned}p &= \dfrac{6\times7}{(7+3)^2} \\ &= \dfrac{42}{100} \\ &= \dfrac{21}{50} \\ &= 0{,}42\end{aligned}
Notons Y la variable aléatoire donnant le nombre de joueurs (parmi les 10) gagnant 5 €. Les 10 parties sont indépendantes et identiques, chacune ayant deux issues possibles (gagner 5 € ou non) : Y suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}42, notée \mathcal{B}(10~;~0{,}42).
La probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant 5 € est p(Y\geqslant1) = 1-p(Y=0), avec \begin{aligned}p(Y=0) &= (1-0{,}42)^{10} \\ &= 0{,}58^{10}\end{aligned}
À la calculatrice, 0{,}58^{10}\approx0{,}0043, donc \begin{aligned}p(Y\geqslant1) &\approx 1-0{,}0043 \\ &\approx 0{,}996\end{aligned}
Donc, la probabilité qu'au moins un joueur parmi les 10 gagne 5 € est d'environ 0,996 : cet évènement est quasiment certain.

PartieA : On considère les fonctions f et g définies sur [0~;~+\infty[ par f(x) = 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) et g(x) = (-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x}-2{,}2. On admet que f et g sont dérivables sur [0~;~+\infty[, de dérivées respectives f' et g'. On donne le tableau de variations complet de f : croissante sur [0~;~6{,}85] de f(0)=0 à f(6{,}85), puis décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[ vers -\infty. 1.a Justifier la limite de f en +\infty.

Pour tout x>0, f(x) = 0{,}06x^2\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right).
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{13{,}7}{x} = 0, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right) = -1 ; de plus \lim\limits_{x\to+\infty}0{,}06x^2 = +\infty.
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

1.bJustifier les variations de la fonction f affichées dans le tableau.

f est une fonction polynôme, donc dérivable sur [0~;~+\infty[, avec f'(x) = 0{,}06\times(-2x+13{,}7) = -0{,}12x+0{,}822.
f'(x) > 0 \iff -0{,}12x+0{,}822 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}822}{0{,}12} = 6{,}85, et de même f'(x) < 0 \iff x > 6{,}85.
Donc, f est croissante sur [0~;~6{,}85] et décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[, conformément au tableau donné.

1.cRésoudre l'équation f(x)=0.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) = 0 \\ &\iff -x^2+13{,}7x = 0 \\ &\iff x(13{,}7-x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou x=13{,}7.
Donc, l'ensemble des solutions est S=\{0~;~13{,}7\}.

2.aDéterminer la limite de g en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2) = -\infty et \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{0,2x} = +\infty (limite usuelle de la fonction exponentielle).
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x} = -\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = -\infty.

2.bDémontrer que, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

g est un produit de deux fonctions dérivables sur [0~;~+\infty[ : x\mapsto-0{,}15x+2{,}2, de dérivée -0{,}15, et x\mapsto\text{e}^{0,2x}, de dérivée x\mapsto0{,}2\text{e}^{0,2x} (la constante -2{,}2 ayant une dérivée nulle).
g'(x) = -0{,}15\,\text{e}^{0,2x} + (-0{,}15x+2{,}2)\times0{,}2\,\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}\left(-0{,}15-0{,}03x+0{,}44\right) = \text{e}^{0,2x}(-0{,}03x+0{,}29).
Donc, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

2.cÉtudier les variations de g sur [0~;~+\infty[ et donner une valeur approchée à 10^{-2} près de son maximum.

Pour tout x\geqslant0, \text{e}^{0,2x} > 0, donc g'(x) est du signe de -0{,}03x+0{,}29.
-0{,}03x+0{,}29 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}29}{0{,}03} = \dfrac{29}{3}, et de même g'(x) < 0 \iff x > \dfrac{29}{3}.
Donc, g est croissante sur \left[0~;~\dfrac{29}{3}\right] et décroissante sur \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[ : g admet donc un maximum en \dfrac{29}{3}.
g\left(\dfrac{29}{3}\right) = \left(-0{,}15\times\dfrac{29}{3}+2{,}2\right)\text{e}^{0,2\times\frac{29}{3}}-2{,}2 \approx 2{,}98 (arrondi au centième).

2.dMontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution non nulle sur [0~;~+\infty[ et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.

On remarque déjà que g(0) = (0+2{,}2)\text{e}^0-2{,}2 = 2{,}2-2{,}2 = 0 : x=0 est donc une solution évidente.
Sur l'intervalle \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[, la fonction g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98 vers -\infty.
Comme 0 appartient à l'intervalle \left]-\infty~;~2{,}98\right[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle, avec \alpha\neq0 puisque {\alpha>\dfrac{29}{3}>0}.
À la calculatrice, on obtient \alpha\approx13{,}72 (arrondi au centième).

PartieB : On admet que 13{,}7 annule f et est une approximation de la valeur qui annule g. Pour x représentant, en dizaine de yards, la distance horizontale parcourue par une balle de golf après la frappe (avec 0<x<13{,}7), f(x) (ou g(x), selon le modèle choisi) représente la hauteur correspondante de la balle, dans la même unité. L'angle de décollage est l'angle d tel que \tan(d) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; l'angle d'atterrissage est l'angle a tel que \tan(a) est l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7. Première modélisation (fonction f) ; 1.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle ?

D'après la Partie A, le maximum de f sur [0~;~+\infty[ est atteint en x=6{,}85, avec \begin{aligned}f(6{,}85) &= 0{,}06\left(-6{,}85^2+13{,}7\times6{,}85\right) \\ &= 2{,}81535\end{aligned}
Cette hauteur est exprimée en dizaine de yards, donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut 28{,}1535 yards, soit environ 28,2 yards.

1.bVérifier que f'(0) = 0{,}822.

D'après la question 1.b de la Partie A, f'(x) = -0{,}12x+0{,}822, donc f'(0) = 0{,}822.

1.cDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est f'(0) = 0{,}822, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}822.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni dans l'énoncé), d = \arctan(0{,}822) \approx 39{,}4^{\circ} (arrondi au dixième).

1.dQuelle propriété graphique de la courbe de f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux, selon ce modèle ?

La courbe de f est un arc de parabole, symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=6{,}85 (l'abscisse de son sommet, qui est le milieu de l'intervalle [0~;~13{,}7]). Cette symétrie échange les points d'abscisses 0 et 13{,}7 et transforme donc la tangente en 0 en la tangente en 13{,}7 (à une réflexion près), ce qui justifie que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.

Seconde modélisation (fonction g) ; 2.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle selon ce modèle ? (On précise que g'(0)=0{,}29 et g'(13{,}7)\approx-1{,}87.)

D'après la question 2.c de la Partie A, le maximum de g sur [0~;~+\infty[ vaut g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98, exprimé en dizaine de yards.
Donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut environ 29,8 yards selon ce modèle.

2.bDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est g'(0) = 0{,}29, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}29.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni), d = \arctan(0{,}29) \approx 16{,}2^{\circ} (arrondi au dixième).

2.cJustifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle selon ce modèle.

L'angle d'atterrissage a vérifie \tan(a) = -g'(13{,}7), l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7.
Comme g'(13{,}7)\approx-1{,}87, on a \tan(a) \approx 1{,}87, d'où \begin{aligned}a &= \arctan(1{,}87) \\ &\approx 61{,}9\end{aligned}^{\circ}, soit 62^{\circ} arrondi à l'unité.

PartieC : Des observations sur des joueurs professionnels donnent, en moyenne : angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}, distance horizontale au point de chute 137 yards (soit 13{,}7 dizaines de yards, cohérent avec les deux modèles). Quel modèle, parmi les deux étudiés, semble le plus adapté pour décrire la frappe d'un joueur professionnel ? Justifier.

Comparons les deux modèles aux observations professionnelles (angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}) :
Avec le modèle f : angle de décollage \approx39{,}4^{\circ} (net écart avec 24^{\circ}, surestimation), hauteur maximale \approx28{,}2 yards (sous-estimation), angles de décollage et d'atterrissage égaux entre eux (alors que les observations donnent 24^{\circ} et 52^{\circ}, très différents).
Avec le modèle g : angle de décollage \approx16{,}2^{\circ} (sous-estimation, mais ordre de grandeur plus proche que f), hauteur maximale \approx29{,}8 yards (sous-estimation, mais plus proche de 32 que le modèle f), angle d'atterrissage \approx62^{\circ} (surestimation, mais du même ordre que 52^{\circ}, et surtout nettement supérieur à l'angle de décollage comme dans les observations).
Le modèle g reproduit qualitativement le fait que l'angle d'atterrissage est bien plus grand que l'angle de décollage (comportement observé chez les professionnels), ce que le modèle f, de par sa symétrie, est structurellement incapable de reproduire.
Donc, même si aucun des deux modèles ne redonne exactement les valeurs observées, le modèle g semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

1.QCM. On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x\ln(x)-x+1. Parmi quatre expressions proposées, indiquer celle de la fonction dérivée f'.

La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout x>0 : f'(x)=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1+0=\ln(x)+1-1=\ln(x).
Donc, la réponse est f'(x)=\ln(x).

2.On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x)=x^2\left[1-\ln(x)\right]. Parmi quatre affirmations sur la limite de g en 0, indiquer la correcte.

En développant, g(x)=x^2-x^2\ln(x). D'une part, \displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2=0.
D'autre part, par croissances comparées, \displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x)=0.
Par somme de limites, \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x) &= 0-0 \\ &= 0\end{aligned} Donc, la réponse est \displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=0.

3.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^3-0{,}9x^2-0{,}1x. Indiquer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur \mathbb{R}.

Pour tout réel x, on factorise : f(x)=x\left(x^2-0{,}9x-0{,}1\right). Donc \begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x = 0 \end{aligned} ou x^2-0{,}9x-0{,}1=0.
Pour l'équation du second degré x^2-0{,}9x-0{,}1=0, on remarque que x=1 est une racine évidente, car \begin{aligned}1^2-0{,}9\times1-0{,}1 &= 1-0{,}9-0{,}1 \\ &= 0\end{aligned}
Le produit des deux racines d'un trinôme x^2+bx+c vaut c : ici le produit des racines vaut -0{,}1, donc la seconde racine est \dfrac{-0{,}1}{1}=-0{,}1.
L'équation f(x)=0 admet donc exactement trois solutions réelles : -0{,}1, 0 et 1. Donc, la réponse est 3 solutions.

4.Si H est une primitive d'une fonction h définie et continue sur \mathbb{R}, et si k est la fonction définie sur \mathbb{R} par k(x)=h(2x), indiquer, parmi quatre expressions, celle d'une primitive K de k.

On teste la fonction K définie sur \mathbb{R} par K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x). Comme H est dérivable sur \mathbb{R} (c'est une primitive de h), K est dérivable sur \mathbb{R} comme produit d'une constante par une composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel x : K'(x)=\dfrac{1}{2}\times2\times H'(2x)=H'(2x)=h(2x), car H'=h (H étant une primitive de h).
Donc K'(x)=h(2x)=k(x) pour tout réel x : K est bien une primitive de k sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x).

5.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xe^x. Indiquer, parmi quatre équations proposées, celle de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables. Pour tout réel x : f'(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x.
On calcule \begin{aligned}f(1) &= 1\times e^1 \\ &= e\end{aligned} et f'(1)=(1+1)e^1=2e.
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 est y=f'(1)(x-1)+f(1)=2e(x-1)+e=2ex-2e+e=2ex-e.
Donc, la réponse est y=2ex-e.

6.Indiquer, parmi quatre propositions, celle qui caractérise les entiers naturels n solutions de l'inéquation (0{,}2)^n<0{,}001.

La fonction \ln est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, donc, pour tout entier naturel n : (0{,}2)^n<0{,}001 \iff \ln\left((0{,}2)^n\right)<\ln(0{,}001) \iff n\ln(0{,}2)<\ln(0{,}001).
Comme 0{,}2<1, on a \ln(0{,}2)<0, donc diviser par \ln(0{,}2) inverse le sens de l'inégalité : n\ln(0{,}2)<\ln(0{,}001) \iff n>\dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)}.
À la calculatrice, \dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)}\approx4{,}29. Les entiers naturels strictement supérieurs à 4{,}29 sont donc les entiers supérieurs ou égaux à 5.
Donc, la réponse est : les entiers naturels n tels que n\geqslant5.

1.Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'évolution de la population est modélisée par la suite (u_n) définie par u_0=40 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}008u_n(200-u_n), où u_n désigne le nombre d'individus au début de l'année (2021+n). Donner une estimation du nombre d'oiseaux au début de l'année 2022.

L'année 2022 correspond à 2021+1, donc le nombre d'oiseaux recherché est estimé par u_1.
\begin{aligned}u_1 &= 0{,}008\,u_0(200-u_0) \\ &= 0{,}008\times40\times(200-40) \\ &= 0{,}008\times40\times160 \\ &= 51{,}2\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'on estime la population à environ 51 oiseaux au début de l'année 2022.

2.On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0~;~100] par f(x)=0{,}008x(200-x). Résoudre dans [0~;~100] l'équation f(x)=x.

Pour x\in[0~;~100] : \begin{aligned}f(x) = x &\iff 0{,}008x(200-x) = x \\ &\iff 1{,}6x-0{,}008x^2 = x \\ &\iff 0{,}008x^2-0{,}6x = 0 \end{aligned}
En factorisant : \begin{aligned}0{,}008x^2-0{,}6x = 0 &\iff x(0{,}008x-0{,}6) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou 0{,}008x-0{,}6=0.
L'équation 0{,}008x-0{,}6=0 donne \begin{aligned}x &= \dfrac{0{,}6}{0{,}008} \\ &= 75\end{aligned} valeur bien comprise dans [0~;~100].
Donc, la réponse est que l'équation f(x)=x admet exactement deux solutions dans [0~;~100] : 0 et 75.

3.aDémontrer que la fonction f est croissante sur [0~;~100] et dresser son tableau de variations.

Pour tout x de [0~;~100], en développant : \begin{aligned}f(x) &= 0{,}008x(200-x) \\ &= 1{,}6x-0{,}008x^2 \\ &= -0{,}008x^2+1{,}6x\end{aligned}
f est donc une fonction polynôme du second degré, de coefficient dominant -0{,}008<0 : sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas, dont le sommet a pour abscisse \begin{aligned}x_S &= -\dfrac{1{,}6}{2\times(-0{,}008)} \\ &= \dfrac{1{,}6}{0{,}016} \\ &= 100\end{aligned}
Une telle fonction est strictement croissante sur ]-\infty~;~x_S] et strictement décroissante sur [x_S~;~+\infty[. Comme x_S=100 est la borne droite de [0~;~100], f est donc strictement croissante sur tout l'intervalle [0~;~100].
On calcule les valeurs aux bornes : \begin{aligned}f(0) &= 0{,}008\times0\times200 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}f(100) &= 0{,}008\times100\times100 \\ &= 80\end{aligned} Le tableau de variations de f sur [0~;~100] montre donc une croissance stricte de 0 (en x=0) à 80 (en x=100).

3.bEn remarquant que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n), démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100}.

Pour tout entier naturel n, notons P_n la propriété : « {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100} ».
Initialisation. On a u_0=40 et u_1=51{,}2 (question 1), donc {0\leqslant40\leqslant51{,}2\leqslant100} : la propriété P_0 est vraie.
Hérédité. Soit n un entier naturel tel que P_n est vraie, c'est-à-dire {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100}. Les trois nombres 0, u_n, u_{n+1} et 100 appartiennent à [0~;~100], et f est croissante sur cet intervalle (question 3.a), donc l'inégalité est conservée par f : {f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(100)}.
Or f(0)=0, f(u_n)=u_{n+1}, f(u_{n+1})=u_{n+2} (par définition de la suite) et f(100)=80, donc {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant80}. Comme 80\leqslant100, on en déduit {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant100} : la propriété P_{n+1} est vraie.
Conclusion. La propriété P_0 est vraie, et elle est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n : {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100}.

3.cEn déduire que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant u_{n+1} : la suite (u_n) est donc croissante.
De plus, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant100 : la suite (u_n) est donc majorée par 100.
Une suite croissante et majorée converge, donc, la réponse est que la suite (u_n) converge vers une limite \ell.

3.dDéterminer la limite \ell de la suite (u_n) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

La suite (u_n) converge vers \ell et est définie par la relation de récurrence u_{n+1}=f(u_n), où f est continue sur [0~;~100] (car f est une fonction polynôme) et où l'intervalle [0~;~100] contient tous les termes de la suite ainsi que sa limite \ell (d'après la question 3.b).
D'après le théorème du point fixe, \ell est donc solution de l'équation f(x)=x dans [0~;~100], dont on a montré (question 2) qu'elle admet exactement deux solutions : 0 et 75.
Par ailleurs, la suite (u_n) est croissante à partir de u_0=40 (question 3.b), donc \ell\geqslant40. Cela exclut la solution 0, donc \ell=75.
Donc, la réponse est que la suite converge vers \ell=75. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que, selon ce modèle, la population d'oiseaux de la colonie se stabilise à long terme autour de 75 individus.

4.On considère l'algorithme Python suivant, où p est un réel donné.

4.(suite) L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi, à l'aide de la question 3.

La fonction seuil(p) calcule successivement les termes de la suite (u_n) en partant de u_0=40, et s'arrête dès qu'un terme atteint ou dépasse la valeur p, en renvoyant alors l'année correspondante.
Or, d'après la question 3, la suite (u_n) est croissante et converge vers \ell=75 : tous ses termes restent donc strictement inférieurs à 75, et a fortiori strictement inférieurs à 100.
Ainsi, pour p = 100, la condition u < p (c'est-à-dire u_n<100) reste vraie pour toutes les valeurs successives de n : la boucle while ne s'arrête donc jamais, et la fonction tourne indéfiniment sans jamais renvoyer de résultat.