Convexité : Tous les exercices

1.aAffirmation 1 : la courbe de f passe par A(ln 2 ; \dfrac{1}{2}). Vrai ou faux ?

L'équation y'+2y=0 s'écrit y'=-2y, de solutions x \mapsto Ce^{-2x} avec C \in \mathbb{R}.
Comme f(0)=1 : C=1, donc f(x)=e^{-2x}.
\begin{aligned}f(\ln 2) &= e^{-2\ln 2} \\ &= e^{\ln(\dfrac{1}{4})} \\ &= \dfrac{1}{4} \\ &\neq \dfrac{1}{2}\end{aligned}
L'affirmation 1 est FAUSSE.

1.bAffirmation 2 : sur [π/2 ; π], la courbe de f est au-dessus de ses tangentes. Vrai ou faux ?

f'(x) = 1+\sin(x), donc f''(x) = \cos(x).
Sur \left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right], \cos(x) \leq 0 : f est donc concave, et sa courbe est en dessous de ses tangentes (pas au-dessus).
L'affirmation 2 est FAUSSE.

1.cAffirmation 3 : y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f. Vrai ou faux ?

Pour tout x>0 : {-1 \leq \sin(x) \leq 1}, donc {-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin(x)}{x} \leq \dfrac{1}{x}}, soit {1-\dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq 1+\dfrac{1}{x}}.
Comme \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0, les deux bornes tendent vers 1 : d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1.
L'affirmation 3 est VRAIE : y=1 est bien asymptote horizontale en +\infty.

2.Affirmation 4 : f(x) = 2x - e^{3x} est solution de (E_{2}). Vrai ou faux ?

f est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = 2-3e^{3x}.
f'(x) - 3f(x) = (2-3e^{3x}) - 3(2x-e^{3x}) = 2-3e^{3x}-6x+3e^{3x} = 2-6x.
f vérifie donc bien l'équation (E_2) : l'affirmation 4 est VRAIE.

PartieA ; 1.a On considère f(x) = eˣsin(x) sur [0 ; π]. Démontrer que f'(x) = eˣ[sin(x) + cos(x)] sur cet intervalle.

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x) = e^{x}[\sin(x)+\cos(x)].

PartieA ; 1.b Justifier que f est strictement croissante sur [0 ; π/2].

Sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], \cos(x)\geqslant0 et \sin(x)\geqslant0, et ils ne s'annulent jamais simultanément (\sin ne s'annule qu'en 0 où \cos(0)=1, \cos ne s'annule qu'en \frac{\pi}{2} où \sin(\frac{\pi}{2})=1) : donc \sin(x)+\cos(x)>0 sur cet intervalle.
Comme e^{x}>0 pour tout réel x, f'(x)>0 comme produit de deux facteurs strictement positifs : f est strictement croissante sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].

PartieA ; 2.a Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 0.

\begin{aligned}f(0) &= e^{0}\sin(0) \\ &= 0\end{aligned} et f'(0) = e^{0}[\sin(0)+\cos(0)] = 1.
La tangente en 0 a pour équation y=f'(0)x+f(0), soit y=x.

PartieA ; 2.b Démontrer que f est convexe sur [0 ; π/2].

Pour tout réel x : f''(x) = e^{x}[\sin(x)+\cos(x)] + e^{x}[\cos(x)-\sin(x)] = 2e^{x}\cos(x).
Sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], \cos(x)\geqslant0 et e^{x}>0, donc f''(x)\geqslant0 : f est convexe sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].

PartieA ; 2.c En déduire que, pour tout réel x de [0 ; π/2], eˣsin(x) \geq x.

La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente T d'équation y=x au point d'abscisse 0.
Donc, pour tout x\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], f(x)\geqslant x, c'est-à-dire e^{x}\sin(x)\geqslant x.

PartieA ; 3. Justifier que le point d'abscisse π/2 de la courbe de f est un point d'inflexion.

f''(x)=2e^{x}\cos(x) s'annule en changeant de signe en x=\dfrac{\pi}{2} (positive avant, négative après, car \cos change de signe en \frac{\pi}{2}) : le point d'abscisse \dfrac{\pi}{2} est donc un point d'inflexion de la courbe de f.

PartieB : On note I = ∫₀^{π/2} eˣsin(x) dx et J = ∫₀^{π/2} eˣcos(x) dx. En intégrant par parties de deux manières différentes, établir I = 1 + J et I = e^{π/2} - J.

En posant u(x)=e^{x}, v'(x)=\sin(x) (donc u'(x)=e^{x}, v(x)=-\cos(x)), l'intégration par parties donne : \begin{aligned}\displaystyle I &= \left[-\cos(x)e^{x}\right]_0^{\pi/2} + \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x \\ &= 0+1+J \\ &= 1+J\end{aligned}
En posant u(x)=\sin(x), v'(x)=e^{x} (donc u'(x)=\cos(x), v(x)=e^{x}), l'intégration par parties donne : \begin{aligned}\displaystyle I &= \left[\sin(x)e^{x}\right]_0^{\pi/2} - \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x \\ &= e^{\pi/2}-J\end{aligned}
On obtient donc bien I=1+J et I=e^{\pi/2}-J.

PartieB : En déduire que I = (1 + e^{π/2}) / 2.

En additionnant les deux relations : \begin{aligned}2I &= 1+J+e^{\pi/2}-J \\ &= 1+e^{\pi/2}\end{aligned} donc I = \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2}.

PartieB : On note g(x) = x. Calculer l'aire exacte du domaine hachuré entre les courbes de f et g sur [0 ; π/2].

D'après la partie A, f(x)\geqslant g(x) sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], donc l'aire cherchée est \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}(f(x)-x)\,\mathrm{d}x \\ &= I - \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_0^{\pi/2}\end{aligned}
\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2} - \dfrac12\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2} \\ &= \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2} - \dfrac{\pi^{2}}{8}\end{aligned} unités d'aire (\approx1{,}67 u.a.).

PartieA ; 1. On donne la courbe de f, avec la tangente T_A en A(1 ; 2) passant par C(3 ; 0). Déterminer f'(1).

f'(1) est le coefficient directeur de T_A : \dfrac{0-2}{3-1} = -1.

PartieA ; 2. Combien de solutions l'équation f'(x) = 0 admet-elle sur ]0 ; 3] ?

f'(x)=0 correspond aux points où la tangente est horizontale : d'après le graphique, cela se produit 2 fois sur ]0~;~3].

PartieA ; 3. Quel est le signe de f''(0,2) ?

Sur [0~;~0{,}5], la courbe semble concave d'après le graphique, donc f''(0{,}2)<0.

PartieB ; 1. On admet que f(x) = x[2(ln x)^{2} - 3ln x + 2] sur ]0 ; +\infty[. Résoudre 2X^{2} - 3X + 2 = 0 dans \mathbb{R}, et en déduire que la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

\Delta = (-3)^{2}-4\times2\times2 = 9-16 = -7<0 : l'équation 2X^{2}-3X+2=0 n'a pas de solution réelle.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x[2(\ln x)^{2}-3\ln x+2] = 0 \end{aligned} Comme x>0, cela équivaut à 2(\ln x)^{2}-3\ln x+2=0, soit, en posant X=\ln x, à 2X^{2}-3X+2=0, qui n'a pas de solution.
L'équation f(x)=0 n'a donc pas de solution : la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la limite de f en +\infty (on admet que la limite en 0 est 0).

f(x) = x(\ln x)^{2}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right).
\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln x)^{2}=+\infty, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right)=2.
Par produit : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

PartieB ; 3.a On admet que f'(x) = 2(ln x)^{2} + ln x - 1. Montrer que f''(x) = (1/x)(4ln x + 1).

f''(x) = 2\times2\ln x\times\dfrac1x+\dfrac1x = \dfrac{1}{x}(4\ln x+1).

PartieB ; 3.b Étudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[ et préciser l'abscisse exacte du point d'inflexion.

Sur ]0~;~+\infty[, \dfrac1x>0, donc f''(x) est du signe de 4\ln x+1.
\begin{aligned}4\ln x+1 = 0 &\iff \ln x = -\dfrac14 \\ &\iff x = e^{-\dfrac{1}{4}} \end{aligned} 4\ln x+1>0 \iff x>e^{-\dfrac{1}{4}}.
f est donc concave sur \left]0~;~e^{-\dfrac{1}{4}}\right] et convexe sur \left[e^{-\dfrac{1}{4}}~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion d'abscisse exacte e^{-\dfrac{1}{4}}\approx0{,}779.

PartieB ; 3.c Montrer que la courbe de f est au-dessus de la tangente T_B sur ]1 ; +\infty[.

Comme e^{-\dfrac{1}{4}}<1, f est convexe sur [1~;~+\infty[ : sur cet intervalle, la courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier T_B.

PartieC ; 1. Justifier que la tangente T_B (au point d'abscisse e) a pour équation réduite y = 2x - e.

f'(e) = 2(\ln e)^{2}+\ln e-1 = 2+1-1 = 2 et \begin{aligned}f(e) &= e(2\times1-3+2) \\ &= e\times1 \\ &= e\end{aligned}
La tangente en e a pour équation y=f'(e)(x-e)+f(e) = 2(x-e)+e = 2x-e.

PartieC ; 2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale de x ln x entre 1 et e vaut (e^{2} + 1)/4.

On pose u(x)=\ln x et v'(x)=x (donc u'(x)=\dfrac1x et v(x)=\dfrac{x^{2}}{2}).
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^{e}x\ln x\,\mathrm{d}x &= \left[\ln x\times\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^{e} - \displaystyle\int\limits_1^{e}\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{2}}{2} - \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac14 \\ &= \dfrac{e^{2}+1}{4}\end{aligned}

PartieC ; 3. On admet que l'intégrale de x(ln x)^{2} entre 1 et e vaut (e^{2} - 1)/4. En déduire l'aire A du domaine entre la courbe de f, la tangente T_B et les droites x=1 et x=e.

Sur [1~;~e], la courbe est au-dessus de T_B, donc \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[f(x)-(2x-e)]\,\mathrm{d}x \\ &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[2x(\ln x)^{2}-3x\ln x+e]\,\mathrm{d}x\end{aligned}
Par linéarité : \begin{aligned}\mathcal{A} &= 2\times\dfrac{e^{2}-1}{4} - 3\times\dfrac{e^{2}+1}{4} + \left[ex\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{-e^{2}-5}{4}+(e^{2}-e)\end{aligned}
\mathcal{A} = \dfrac{3e^{2}-4e-5}{4} unités d'aire (soit environ 1,57 u.a.).

1.On considère f(x) = x ln(x-2) sur ]2 ; +\infty[, dont la courbe est donnée. Conjecturer le sens de variation, les limites aux bornes et les asymptotes éventuelles.

D'après le graphique, f semble strictement croissante sur ]2~;~+\infty[, avec \lim\limits_{x\to2}f(x)=-\infty (asymptote verticale x=2) et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

2.Résoudre l'équation f(x) = 0 sur ]2 ; +\infty[.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x\ln(x-2) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou \ln(x-2)=0. Comme x>2, x\neq0, donc \begin{aligned}\ln(x-2) = 0 &\iff x-2 = 1 \\ &\iff x = 3 \end{aligned}
L'équation a une unique solution : x=3.

3.Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 2 par valeurs supérieures. Ce résultat confirme-t-il une conjecture de la question 1 ?

\lim\limits_{x\to2^{+}}(x-2)=0^{+}, donc par composition \lim\limits_{x\to2^{+}}\ln(x-2)=-\infty ; et \lim\limits_{x\to2^{+}}x=2, donc par produit \lim\limits_{x\to2^{+}}f(x)=-\infty.
Ce résultat confirme la conjecture de limite en 2 et l'asymptote verticale d'équation x=2.

4.Démontrer que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, f'(x) = ln(x-2) + x/(x-2).

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = 1\times\ln(x-2)+x\times\dfrac{1}{x-2} = \ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2}.

5.aOn pose g(x) = f'(x). Démontrer que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, g'(x) = (x-4)/(x-2)^{2}.

g'(x) = f''(x) = \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1\times(x-2)-x\times1}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x-2}{(x-2)^{2}}-\dfrac{2}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x-4}{(x-2)^{2}}.

5.bOn admet que la limite de g en 2 (à droite) et en +\infty vaut +\infty. En déduire le tableau de variation de g, avec la valeur exacte de son extremum.

(x-2)^{2}>0, donc g'(x) est du signe de x-4 : négatif sur ]2~;~4[, positif sur ]4~;~+\infty[.
g est donc décroissante sur ]2~;~4] puis croissante sur [4~;~+\infty[, avec un minimum \begin{aligned}g(4) &= \ln(2)+\dfrac{4}{2} \\ &= 2+\ln(2)\end{aligned}

5.cEn déduire que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, g(x) > 0.

Le minimum de g est g(4)=2+\ln(2) ; comme \ln(2)>0, {g(4)>2>0} : g(x)>0 pour tout x de ]2~;~+\infty[.

5.dEn déduire le sens de variation de f sur ]2 ; +\infty[.

g=f' est strictement positive sur ]2~;~+\infty[ : f est donc strictement croissante sur cet intervalle.

6.Étudier la convexité de f sur ]2 ; +\infty[ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion.

f'=g est décroissante sur ]2~;~4] (donc f concave) et croissante sur [4~;~+\infty[ (donc f convexe) : f change de convexité en x=4.
\begin{aligned}f(4) &= 4\ln(2) \\ &= \ln(16)\end{aligned} Le point d'inflexion a pour coordonnées (4~;~\ln(16)).

7.Combien de valeurs de x donnent une tangente à la courbe de f de coefficient directeur 3 ?

On cherche f'(x)=3, soit g(x)=3. Or \begin{aligned}g(4) &= 2+\ln(2) \\ &\approx 2{,}7\end{aligned}
Sur ]2~;~4], g est continue et strictement décroissante de +\infty à 2{,}7 : comme 3 est dans cet intervalle, il existe une unique solution \alpha.
Sur [4~;~+\infty[, g est continue et strictement croissante de 2{,}7 à +\infty : il existe de même une unique solution \beta.
Il existe donc exactement deux valeurs de x pour lesquelles la tangente a un coefficient directeur égal à 3.

1.aSoit f(x) = \dfrac{e^x}{x-1} sur ]-\infty~;~1[. Déterminer la limite de f en 1.

e^x\to e>0 et x-1\to0^- (négatif sur l'intervalle) : par quotient, \lim\limits_{x\to1^-}f(x) = -\infty.

1.bEn déduire une interprétation graphique.

La courbe \mathcal{C} admet la droite d'équation x=1 comme asymptote verticale.

2.Déterminer la limite de f en -\infty.

e^x\to0 et x-1\to-\infty : \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = 0 ; la droite y=0 est asymptote horizontale en -\infty.

3.aMontrer que f'(x) = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

f'(x) = \dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

3.bDresser, en justifiant, le tableau de variations de f sur ]-\infty~;~1[.

e^x>0 et (x-1)^2>0 : f'(x) est du signe de x-2, strictement négatif sur ]-\infty~;~1[. f est strictement décroissante, de 0 (limite en -\infty) vers -\infty (limite en 1).

4.aOn admet f''(x) = \dfrac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}. Étudier la convexité de f sur ]-\infty~;~1[.

x^2-4x+5 = (x-2)^2+1 > 0 pour tout réel x, et e^x>0 ; sur ]-\infty~;~1[, (x-1)^3<0.
f''(x)<0 sur tout l'intervalle : f est concave sur ]-\infty~;~1[.

4.bDéterminer l'équation réduite de la tangente T à \mathcal{C} au point d'abscisse 0.

f(0) = -1 et f'(0) = \dfrac{-2\times1}{1} = -2 : T : y = -2x-1.

4.cEn déduire que, pour tout x de ]-\infty~;~1[, e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

f étant concave, sa courbe est sous ses tangentes : f(x)\leqslant-2x-1, soit \dfrac{e^x}{x-1}\leqslant-2x-1.
En multipliant par x-1<0 (le sens change) : e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

5.aJustifier que l'équation f(x)=-2 admet une unique solution \alpha sur ]-\infty~;~1[.

f est continue et strictement décroissante sur ]-\infty~;~1[, et -2 est compris entre \lim\limits_{-\infty}f = 0 et \lim\limits_{1}f = -\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha.

5.bÀ l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-2}.

f(0{,}31)\approx-1{,}98>-2 et f(0{,}32)\approx-2{,}03<-2 : {0{,}31<\alpha<0{,}32}.

1.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = 3x+1-2x\ln(x), deux fois dérivable, de courbe représentative \mathcal{C}_f. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : on écrit f(x) = 3x+1-2x\ln(x). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x)=0, donc \lim\limits_{x\to0^+}f(x) = 0+1-0 = 1.
En +\infty : on factorise, f(x) = x\left(3-2\ln(x)\right)+1. Comme \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty, on a \lim\limits_{x\to+\infty}\left(3-2\ln(x)\right)=-\infty, et donc par produit \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(3-2\ln(x)\right)=-\infty. On en déduit \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)= -\infty.

2.aDémontrer que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f'(x) = 1-2\ln(x).

En dérivant chaque terme : f'(x) = 3 - 2\ln(x) - 2x\times\dfrac{1}{x} = 3-2\ln(x)-2 = 1-2\ln(x).

2.bÉtudier le signe de f' puis dresser le tableau de variation de f sur ]0~;~+\infty[, en faisant apparaître les limites et la valeur exacte de l'extremum.

On résout f'(x)>0 \iff 1-2\ln(x)>0 \iff \ln(x)<\dfrac12 \iff x<e^{\frac12} (la fonction exponentielle étant strictement croissante). Donc f' est strictement positive sur \left]0~;~e^{\frac12}\right[ et strictement négative sur \left]e^{\frac12}~;~+\infty\right[.
La fonction f est donc strictement croissante sur \left]0~;~e^{\frac12}\right] puis strictement décroissante sur \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[, avec un maximum en x=e^{\frac12} valant \begin{aligned}f\left(e^{\frac12}\right) &= 3e^{\frac12}+1-2e^{\frac12}\times\dfrac12 \\ &= 3e^{\frac12}+1-e^{\frac12} \\ &= 2e^{\frac12}+1 \\ &\approx 4{,}3\end{aligned}
Le tableau de variation part de la limite 1 en 0, croît jusqu'au maximum 2e^{\frac12}+1 en x=e^{\frac12}, puis décroît vers -\infty.

3.aDémontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[.

La fonction f est dérivable, donc continue, sur ]0~;~+\infty[.
Sur \left]0~;~e^{\frac12}\right], f est strictement croissante et sa valeur minimale y est \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1>0 : f y est donc strictement positive, et l'équation f(x)=0 n'y a pas de solution.
Sur \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[, f est continue et strictement décroissante, passant de la valeur 2e^{\frac12}+1>0 à -\infty : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 y admet une unique solution, notée \alpha.
Donc, la réponse est que f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[, avec \alpha>e^{\frac12}.

3.bEn déduire le signe de f sur ]0~;~+\infty[.

D'après les variations de f et le résultat précédent : f(x)>0 sur ]0~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)<0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

4.Soit F une primitive quelconque de f sur ]0~;~+\infty[. Peut-on affirmer que F est strictement décroissante sur \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[ ?

Non. Par définition d'une primitive, F'=f. Or f est strictement positive sur \left[e^{\frac12}~;~\alpha\right[ (question 3.b), donc F est strictement croissante sur cet intervalle, ce qui contredit l'affirmation proposée : F n'est pas décroissante sur tout \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[.

5.aÉtudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[ et en déduire la position de \mathcal{C}_f par rapport à ses tangentes.

La dérivée seconde vaut f''(x) = -2\times\dfrac{1}{x} = -\dfrac{2}{x}, strictement négative sur ]0~;~+\infty[. La fonction f est donc concave sur cet intervalle, ce qui signifie que la courbe \mathcal{C}_f est située en dessous de chacune de ses tangentes.

5.bDéterminer une équation de la tangente T à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1.

On a \begin{aligned}f(1) &= 3\times1+1-2\times1\times\ln(1) \\ &= 4-0 \\ &= 4\end{aligned} et f'(1) = 1-2\ln(1) = 1.
L'équation de la tangente en un point d'abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a), donc ici y = 1\times(x-1)+4, soit T\,:\ y=x+3.

5.cEn déduire que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, \ln(x) \geqslant 1-\dfrac1x.

Puisque \mathcal{C}_f est sous chacune de ses tangentes (question 5.a), elle est en particulier sous T : pour tout x>0, f(x)\leqslant x+3.
Cette inégalité s'écrit 3x+1-2x\ln(x)\leqslant x+3, soit 2x-2\leqslant2x\ln(x). En divisant par 2x>0 : 1-\dfrac1x\leqslant\ln(x).
Donc, la réponse est que pour tout réel x strictement positif, \ln(x)\geqslant1-\dfrac1x.

1.Soit f définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=x\,e^{-x}, de courbe \mathcal{C}_f. En remarquant que f(x)=\dfrac{x}{e^{x}}, démontrer que \mathcal{C}_f admet une asymptote en +\infty et donner son équation.

Par croissances comparées, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty, donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}=0, c'est-à-dire \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.
Donc, la réponse est : \mathcal{C}_f admet en +\infty une asymptote horizontale d'équation y=0 (l'axe des abscisses).

2.Démontrer que, pour tout x\in[0~;~+\infty[, f'(x)=(1-x)e^{-x}.

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = 1\times e^{-x} + x\times(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}.

3.Dresser le tableau de variations de f sur [0~;~+\infty[, avec les valeurs aux bornes et la valeur exacte de l'extremum.

Pour tout x, e^{-x}>0, donc f'(x) est du signe de (1-x) : f'(x)>0 sur [0~;~1[, f'(1)=0, f'(x)<0 sur ]1~;~+\infty[.
f est donc strictement croissante sur [0~;~1] puis strictement décroissante sur [1~;~+\infty[, avec f(0)=0, f(1)=e^{-1} (maximum) et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0 (question 1).
Tableau : x varie de 0 à 1 à +\infty ; f croît de 0 à e^{-1} puis décroît de e^{-1} à 0.

4.Déterminer, sur [0~;~+\infty[, le nombre de solutions de l'équation f(x)=\dfrac{367}{1000}.

On a e^{-1}\approx0{,}368>0{,}367.
Sur [0~;~1], f est continue et strictement croissante, allant de 0 à e^{-1}>0{,}367 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0{,}367 y admet une unique solution.
Sur [1~;~+\infty[, f est continue et strictement décroissante, allant de e^{-1}>0{,}367 à 0 : elle y admet aussi une unique solution.
Donc, la réponse est : l'équation f(x)=\dfrac{367}{1000} admet exactement deux solutions sur [0~;~+\infty[.

5.On admet que, pour tout x\in[0~;~+\infty[, f''(x)=e^{-x}(x-2). Étudier la convexité de f sur [0~;~+\infty[.

Pour tout x, e^{-x}>0, donc f''(x) est du signe de (x-2) : négatif sur [0~;~2[, nul en 2, positif sur ]2~;~+\infty[.
Donc, la réponse est : f est concave sur [0~;~2] et convexe sur [2~;~+\infty[ ; la courbe \mathcal{C}_f admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

6.aPour a\in[0~;~+\infty[, soit A le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a et T_a la tangente à \mathcal{C}_f en A. Démontrer que T_a a pour équation réduite y=\left[(1-a)e^{-a}\right]x+a^2e^{-a}.

La tangente en A a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a), soit y=(1-a)e^{-a}(x-a)+a\,e^{-a}.
En développant : \begin{aligned}y &= (1-a)e^{-a}x - a(1-a)e^{-a} + a\,e^{-a} \\ &= (1-a)e^{-a}x - a\,e^{-a}+a^2e^{-a}+a\,e^{-a}\end{aligned}
Donc, la réponse est : T_a a pour équation y=\left[(1-a)e^{-a}\right]x+a^2e^{-a}.

6.bT_a coupe l'axe des ordonnées en H_a, d'ordonnée notée g(a). En déduire l'expression de g(a).

L'ordonnée de H_a s'obtient en prenant x=0 dans l'équation de T_a : \begin{aligned}g(a) &= \left[(1-a)e^{-a}\right]\times0+a^2e^{-a} \\ &= a^2e^{-a}\end{aligned}

6.cDémontrer que g(a) est maximum lorsque A est le point d'inflexion de \mathcal{C}_f.

On étudie la fonction g définie sur [0~;~+\infty[ par g(x)=x^2e^{-x} : g'(x) = 2x\,e^{-x}+x^2\times(-e^{-x}) = -x(x-2)e^{-x}.
Pour x>0, e^{-x}>0 et -x<0, donc g'(x) est du signe de -(x-2) : positif sur [0~;~2[, nul en 2, négatif sur ]2~;~+\infty[.
g est donc croissante puis décroissante sur [0~;~+\infty[ : elle admet un maximum unique en x=2.
Or x=2 est exactement l'abscisse du point d'inflexion de \mathcal{C}_f (question 5). Donc, la réponse est : g(a) est maximum lorsque A est le point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_f.

1.Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant. Affirmation : la suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1} est bornée.

Vraie. Pour tout entier naturel n, {n+1\geqslant1>0}, donc \dfrac{1}{n+1}\leqslant1, d'où -1\leqslant-\dfrac{1}{n+1} et \dfrac{1}{n+1}\leqslant1.
De plus, pour tout entier naturel n, {-1\leqslant(-1)^n\leqslant1}, donc, en divisant par n+1>0 : {-\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+1}}.
En combinant les deux encadrements : {-1\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant1}. Donc, la réponse est que la suite u est bornée par -1 et 1.

2.Affirmation : toute suite bornée est convergente.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=(-1)^n est bornée par -1 et 1, mais elle prend alternativement les valeurs -1 et 1 : elle n'admet pas de limite, donc elle ne converge pas. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

3.Affirmation : toute suite croissante tend vers +\infty.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N}^* par u_n=-\dfrac{1}{n} est croissante (car \dfrac{1}{n} décroît) mais elle converge vers 0 et non vers +\infty. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

4.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right). Affirmation : f est convexe sur l'intervalle [-3~;~1].

Fausse. Étudier la convexité de f revient à étudier le signe de f''. On pose u(x)=x^2+2x+2 (strictement positif sur \mathbb{R} car de discriminant négatif), avec u'(x)=2x+2 ; f=\ln(u) est dérivable sur \mathbb{R} comme composée de fonctions dérivables, et f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}.
En dérivant à nouveau f'=\dfrac{v}{w} avec v(x)=2x+2, w(x)=x^2+2x+2, v'(x)=2, w'(x)=2x+2 : f''(x)=\dfrac{v'w-w'v}{w^2}=\dfrac{2(x^2+2x+2)-(2x+2)^2}{w^2}.
Au numérateur : \begin{aligned}2x^2+4x+4-\left(4x^2+8x+4\right) &= -2x^2-4x \\ &= -2x(x+2)\end{aligned} Comme w^2>0, f''(x) est du signe de -2x(x+2), trinôme de coefficient dominant négatif, de racines -2 et 0 : il est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
f''(x)>0 sur ]-2~;~0[ et f''(x)<0 sur ]-\infty~;~-2[\cup]0~;~+\infty[ : f est donc convexe sur [-2~;~0] et concave ailleurs. Sur [-3~;~1], f n'est pas concave ni convexe partout (elle est concave près de -3 et de 1) : elle n'est donc pas convexe sur tout l'intervalle [-3~;~1].

5.On considère la fonction Python mystere ci-dessous, qui prend en paramètre une liste L de nombres (len(L) renvoie le nombre d'éléments de L).

5.(suite) Affirmation : l'exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

Vraie. La variable M est initialisée avec le premier élément de la liste, puis à chaque étape, si un élément de la liste dépasse la valeur courante de M, M est remplacé par cet élément. L'algorithme calcule donc le maximum des éléments de la liste, qui vaut ici 7 (le plus grand des termes 2,3,7,0,6,3,2,0,5).

PartieA ; 1. Sur un graphique (non reproduit ici) sont tracées les courbes représentatives \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 d'une fonction f et de sa dérivée f', toutes deux définies sur ]3~;~+\infty[ : \mathcal{C}_1 part de -\infty au voisinage de 3 et croît ensuite jusqu'à +\infty ; \mathcal{C}_2 part de valeurs élevées au voisinage de 3 et décroît en restant positive. Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente, en justifiant.

Si \mathcal{C}_1 représentait la dérivée f', celle-ci serait toujours négative puis positive selon la lecture du graphique ; or la fonction représentée par \mathcal{C}_2 n'est pas décroissante puis croissante : elle est toujours décroissante. Il y a donc une contradiction.
\mathcal{C}_2 reste positive sur tout l'intervalle ]3~;~+\infty[, ce qui est cohérent avec une fonction f strictement croissante sur cet intervalle (comme le montre \mathcal{C}_1) : une fonction croissante a une dérivée positive.
Donc, la réponse est que \mathcal{C}_2 représente la fonction dérivée f', et \mathcal{C}_1 représente la fonction f.

PartieA ; 2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation f(x)=3.

Par lecture graphique de la courbe \mathcal{C}_1, on lit approximativement f(5{,}6)\approx3. Donc, la réponse est que l'équation f(x)=3 admet une solution proche de x=5{,}6.

PartieA ; 3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction f.

La courbe \mathcal{C}_1 « tourne le dos » à l'axe des abscisses de façon décroissante sur tout l'intervalle observé : elle est située sous chacune de ses tangentes. Donc, la réponse est que la fonction f semble concave sur ]3~;~+\infty[.

PartieB ; 1. Justifier que la quantité \ln(x^2-x-6) est bien définie pour les valeurs de x de l'intervalle I=\,]3~;~+\infty[.

Le trinôme x^2-x-6 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= (-1)^2-4\times1\times(-6) \\ &= 1+24 \\ &= 25 \\ &= 5^2\end{aligned}
Ses racines sont donc \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{1+5}{2} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{1-5}{2} \\ &= -2\end{aligned}
Un trinôme du second degré est du signe de son coefficient dominant (ici positif, a=1) à l'extérieur de ses racines, et du signe opposé entre ses racines : x^2-x-6>0 pour x\in\,]-\infty~;~-2[\,\cup\,]3~;~+\infty[.
Donc, la réponse est que x^2-x-6>0 sur I=\,]3~;~+\infty[, et donc \ln(x^2-x-6) y est bien défini.

PartieB ; 2. On admet que f(x)=\ln(x^2-x-6) sur I. Calculer les limites de f aux deux bornes de I, puis en déduire une équation d'une asymptote à la courbe de f.

Limite en +\infty : pour x>3, on factorise x^2-x-6 = x^2\left(1-\dfrac1x-\dfrac{6}{x^2}\right). Comme \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x &= \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{6}{x^2} \\ &= 0\end{aligned} on a \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac1x-\dfrac{6}{x^2}\right)=1.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty, on obtient \lim\limits_{x\to+\infty}x^2-x-6=+\infty, puis par composition avec la fonction logarithme, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Limite en 3 : en écrivant x^2-x-6=(x+2)(x-3), on a \begin{aligned}\lim\limits_{x\to3^+}(x+2)(x-3) &= 5\times0^+ \\ &= 0^+\end{aligned} donc par composition avec la fonction logarithme, \lim\limits_{x\to3^+}f(x)=-\infty.
Donc, la réponse est que la droite d'équation x=3 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

PartieB ; 3.a Calculer f'(x) pour tout x\in I.

La fonction x\mapsto x^2-x-6 est dérivable et strictement positive sur I (question B.1), donc f=\ln(x^2-x-6) est dérivable sur I comme composée de fonctions dérivables, et f'(x) = \dfrac{(x^2-x-6)'}{x^2-x-6} = \dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.
Donc, la réponse est f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.

PartieB ; 3.b Étudier le sens de variation de f sur I, puis dresser son tableau de variations en y faisant figurer les limites aux bornes de I.

Sur I, le dénominateur x^2-x-6 est strictement positif (question B.1), donc f'(x) est du signe du numérateur 2x-1.
Pour tout x>3, on a 2x-1>2\times3-1=5>0, donc f'(x)>0 sur tout l'intervalle I.
Donc, la réponse est que f est strictement croissante sur I, de -\infty (limite en 3) à +\infty (limite en +\infty).

PartieB ; 4.a Justifier que l'équation f(x)=3 admet une unique solution \alpha sur l'intervalle ]5~;~6[.

La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur I, donc en particulier sur [5~;~6].
f(5) = \ln(5^2-5-6) = \ln(14) \approx 2{,}64 < 3 et f(6) = \ln(6^2-6-6) = \ln(24) \approx 3{,}18 > 3.
Comme 3 est une valeur intermédiaire entre f(5) et f(6), d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x)=3 admet une unique solution \alpha sur ]5~;~6[.
Donc, la réponse est que l'équation f(x)=3 admet bien une unique solution \alpha\in\,]5~;~6[.

PartieB ; 4.b Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.

La calculatrice donne f(5{,}63)\approx2{,}999<3 et f(5{,}64)\approx3{,}004>3.
Donc, la réponse est {5{,}63<\alpha<5{,}64}.

PartieB ; 5.a Justifier que f''(x) = \dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.

La fonction f'=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6} est un quotient de fonctions dérivables sur I dont le dénominateur ne s'annule pas : elle est donc dérivable sur I, et pour tout x\in I, f''(x) = \dfrac{2\times(x^2-x-6)-(2x-1)\times(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}.
On développe le numérateur : \begin{aligned}2(x^2-x-6)-(2x-1)^2 &= 2x^2-2x-12-(4x^2-4x+1) \\ &= 2x^2-2x-12-4x^2+4x-1 \\ &= -2x^2+2x-13\end{aligned}
Donc, la réponse est f''(x) = \dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.

PartieB ; 5.b Étudier la convexité de f sur I.

Le dénominateur (x^2-x-6)^2 est strictement positif sur I, donc f''(x) est du signe du numérateur -2x^2+2x-13.
Le discriminant de ce trinôme vaut \Delta = 2^2-4\times(-2)\times(-13) = 4-104=-100<0 : il n'a donc pas de racine réelle et garde un signe constant, celui de son coefficient dominant a=-2<0 : il est donc strictement négatif pour tout réel x.
Donc, la réponse est que f''(x)<0 pour tout x\in I : la fonction f est concave sur I.

Pourchaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; aucune justification n'est demandée sur la copie, mais nous la donnons ici. 1. La courbe représentative de f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1} admet pour asymptote la droite d'équation : a. x=-2 ; b. y=-1 ; c. y=-2 ; d. y=0.

Pour x\neq0, en factorisant par x^2 au numérateur et au dénominateur : \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{x^2\left(-2+\frac3x-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} \\ &= \dfrac{-2+\frac3x-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\end{aligned} Quand x\to+\infty, \frac3x\to0, \frac{1}{x^2}\to0, donc f(x)\to\dfrac{-2}{1}=-2. La droite d'équation y=-2 est donc asymptote horizontale à la courbe de f en +\infty. Réponse c.

2.Soit f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\,\text{e}^{x^2}. La primitive F de f sur \mathbb{R} qui vérifie F(0)=1 est définie par : a. F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2} ; b. F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2} ; c. F(x)=\left(1+2x^2\right)\text{e}^{x^2} ; d. F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}+\dfrac12.

On remarque que f(x)=x\,\text{e}^{x^2} = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{x^2}, qui est de la forme \dfrac12 u'(x)\text{e}^{u(x)} avec u(x)=x^2 et u'(x)=2x. Les primitives de u'\text{e}^{u} sont les fonctions \text{e}^{u}+k (k\in\mathbb{R}), donc les primitives de f sont les fonctions x\mapsto\dfrac12\text{e}^{x^2}+k. La condition F(0)=1 donne \dfrac12\times\text{e}^0+k=1 \iff \dfrac12+k=1 \iff k=\dfrac12. Donc F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}+\dfrac12. Réponse d.

3.On donne la représentation graphique de la fonction dérivée f' d'une fonction f définie sur \mathbb{R} : la courbe de f' part de valeurs négatives en 0, croise l'axe des abscisses en x=2, atteint un maximum aux alentours de x=3, puis redescend en restant positive. On peut affirmer que la fonction f est : a. concave sur ]0~;~+\infty[ ; b. convexe sur ]0~;~+\infty[ ; c. convexe sur [0~;~2] ; d. convexe sur [2~;~+\infty[.

f est convexe sur un intervalle exactement lorsque sa dérivée f' y est croissante. D'après la représentation graphique, la courbe de f' est croissante de x=0 jusqu'à son maximum (situé vers x=3), donc en particulier sur tout l'intervalle [0~;~2], inclus dans [0~;~3]. Donc f est convexe sur [0~;~2]. Réponse c.

4.Parmi les primitives de f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2 : a. toutes sont croissantes sur \mathbb{R} ; b. toutes sont décroissantes sur \mathbb{R} ; c. certaines sont croissantes sur \mathbb{R} et d'autres décroissantes sur \mathbb{R} ; d. toutes sont croissantes sur ]-\infty~;~0] et décroissantes sur [0~;~+\infty[.

Pour tout réel x, \text{e}^{-x^2}>0, donc f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2>2>0 : la fonction f est strictement positive sur \mathbb{R}. Or, si F est une primitive de f, alors F'=f. Comme f est strictement positive sur \mathbb{R} tout entier, toute primitive F de f est strictement croissante sur \mathbb{R}. Réponse a.

5.La limite en +\infty de f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2+1} est égale à : a. \dfrac23 ; b. +\infty ; c. -\infty ; d. 0.

On écrit \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{2\ln x}{3x^2+1} \\ &= \dfrac{2}{3}\times\dfrac{\frac{\ln x}{x^2}}{1+\frac{1}{3x^2}}\end{aligned} (en factorisant x^2 au dénominateur). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{3x^2}\right)=1. Donc \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) &= \dfrac23\times\dfrac{0}{1} \\ &= 0\end{aligned} Réponse d.

6.L'équation \text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0 admet dans \mathbb{R} : a. trois solutions ; b. deux solutions ; c. une seule solution ; d. aucune solution.

On pose X=\text{e}^x (avec X>0 nécessairement). Comme \text{e}^{2x}=\left(\text{e}^x\right)^2=X^2, l'équation devient X^2+X-12=0. Le discriminant vaut \begin{aligned}\Delta &= 1^2-4\times1\times(-12) \\ &= 1+48 \\ &= 49 \\ &= 7^2\end{aligned} donc les solutions sont \begin{aligned}X &= \dfrac{-1-7}{2} \\ &= -4\end{aligned} et \begin{aligned}X &= \dfrac{-1+7}{2} \\ &= 3\end{aligned} Comme X=\text{e}^x>0, seule la solution X=3 est acceptable, ce qui donne \text{e}^x=3 \iff x=\ln(3). L'équation admet donc une unique solution dans \mathbb{R}. Réponse c.

1.a.On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0~;~+\infty[ par f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x). Déterminer \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) et interpréter graphiquement ce résultat.

Quand x tend vers 0, on a \displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0 et \displaystyle\lim_{x \to 0} -6x = 0, tandis que \displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty, donc \displaystyle\lim_{x \to 0} 4\ln(x) = -\infty.
Par somme de limites, on obtient \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty.
Graphiquement, cela signifie que la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe \mathcal{C}_f.

1.b.Déterminer \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x).

Pour x>0, on factorise : x^2 - 6x = x^2\left(1-\dfrac{6}{x}\right).
Or \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6}{x} = 0, donc \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{6}{x}\right) = 1, et comme \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty, par produit de limites \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\left(1-\dfrac{6}{x}\right) = +\infty.
De plus \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 4\ln(x) = +\infty, donc, par somme de limites, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.

2.a.Déterminer f'(x) pour tout réel x de ]0~;~+\infty[.

La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et f'(x) = 2x - 6 + \dfrac{4}{x} = \dfrac{2x^2-6x+4}{x}.

2.b.Étudier le signe de f'(x) sur ]0~;~+\infty[ et en déduire le tableau de variations de f.

Comme x>0 sur l'intervalle d'étude, le signe de f'(x) = \dfrac{2x^2-6x+4}{x} est celui du numérateur 2x^2-6x+4, c'est-à-dire celui de x^2-3x+2 (même signe, car on divise par 2>0).
Ce trinôme a pour racines évidentes 1 et 2 (leur somme vaut 3 et leur produit 2, ce qui correspond bien aux coefficients), donc x^2-3x+2 = (x-1)(x-2).
Un trinôme du second degré de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur : f'(x)<0 sur ]1~;~2[ et f'(x)>0 sur ]0~;~1[\cup]2~;~+\infty[, avec f'(1)=f'(2)=0.
La fonction f est donc strictement croissante sur ]0~;~1], strictement décroissante sur [1~;~2], puis strictement croissante sur [2~;~+\infty[.
On calcule les valeurs aux bornes : \begin{aligned}f(1) &= 1-6+4\ln(1) \\ &= 1-6+0 \\ &= -5\end{aligned} et \begin{aligned}f(2) &= 4-12+4\ln(2) \\ &= 4\ln(2)-8 \\ &\approx -5{,}23\end{aligned}
Le tableau de variations de f sur ]0~;~+\infty[ part donc de -\infty (limite en 0), croît jusqu'à -5 en x=1, décroît jusqu'à 4\ln(2)-8 en x=2, puis croît vers +\infty (limite en +\infty).

3.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle [4~;~5].

On calcule les images des bornes : \begin{aligned}f(4) &= 16-24+4\ln(4) \\ &= -8+8\ln(2) \\ &\approx -2{,}45\end{aligned} et \begin{aligned}f(5) &= 25-30+4\ln(5) \\ &= 4\ln(5)-5 \\ &\approx 1{,}44\end{aligned}
Ainsi f(4)<0<f(5). Or, d'après la question précédente, l'intervalle [4~;~5] est inclus dans [2~;~+\infty[, sur lequel f est continue (car dérivable) et strictement croissante.
Donc, d'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle [4~;~5].

4.a.On admet que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f''(x) = \dfrac{2x^2-4}{x^2}. Étudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[ et préciser les coordonnées exactes des éventuels points d'inflexion de \mathcal{C}_f.

Comme x>0, le dénominateur x^2 est strictement positif, donc le signe de f''(x) est celui du numérateur 2x^2-4.
On résout \begin{aligned}2x^2-4 = 0 &\iff x^2 = 2 \\ &\iff x = \sqrt{2} \end{aligned} ou x=-\sqrt{2} ; seule la solution x=\sqrt{2} appartient à ]0~;~+\infty[.
Le trinôme 2x^2-4 est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur, donc, restreint à ]0~;~+\infty[ : f''(x)<0 sur ]0~;~\sqrt{2}[ et f''(x)>0 sur ]\sqrt{2}~;~+\infty[.
Donc f est concave sur ]0~;~\sqrt{2}] et convexe sur [\sqrt{2}~;~+\infty[.
Comme f'' s'annule en x=\sqrt{2} en changeant de signe, la courbe \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion, d'abscisse \sqrt{2}.
Son ordonnée vaut \begin{aligned}f(\sqrt{2}) &= 2 - 6\sqrt{2} + 4\ln(\sqrt{2}) \\ &= 2-6\sqrt{2}+4\times\dfrac12\ln(2) \\ &= 2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\end{aligned}
Donc, le point d'inflexion de \mathcal{C}_f a pour coordonnées exactes \left(\sqrt{2}~;~2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right).

4.b.On note A le point de coordonnées \left(\sqrt{2}~;~f(\sqrt{2})\right). Soit t un réel strictement positif tel que t\ne\sqrt{2} et M le point de coordonnées (t~;~f(t)). En utilisant la question 4.a., indiquer, selon la valeur de t, les positions relatives du segment [AM] et de la courbe \mathcal{C}_f.

Le segment [AM] est une corde de la courbe \mathcal{C}_f joignant le point d'inflexion A au point M.
Si t \in ]0~;~\sqrt{2}[, les points A et M sont tous deux situés sur la partie de \mathcal{C}_f où f est concave : une corde d'une courbe concave est toujours située en dessous de la courbe, donc le segment [AM] est en dessous de \mathcal{C}_f.
Si t \in ]\sqrt{2}~;~+\infty[, les points A et M sont tous deux situés sur la partie de \mathcal{C}_f où f est convexe : une corde d'une courbe convexe est toujours située au-dessus de la courbe, donc le segment [AM] est au-dessus de \mathcal{C}_f.

Soit\left(u_n\right) la suite définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}. 1.a Calculer les termes u_1, u_2 et u_3, sous forme de fractions irréductibles.

u_1 = \dfrac{u_0}{1+u_0} = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}.
u_2 = \dfrac{u_1}{1+u_1} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}.
u_3 = \dfrac{u_2}{1+u_2} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{4}.

1.bRecopier et compléter les lignes 3 et 6 du script Python ci-dessous pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des valeurs de u_0 à u_k.

2.On admet que, pour tout entier naturel n, u_n est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_n\right).

On étudie le signe de u_{n+1}-u_n pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\ &= \dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n} \\ &= \dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1+u_n} \\ &= \dfrac{-u_n^2}{1+u_n}\end{aligned}
Comme u_n est strictement positif pour tout n, on a u_n^2>0 et 1+u_n>0, donc \dfrac{-u_n^2}{1+u_n}<0, c'est-à-dire u_{n+1}-u_n<0 pour tout entier naturel n.
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) est strictement décroissante.

3.En déduire que la suite \left(u_n\right) converge.

La suite \left(u_n\right) est strictement décroissante (question précédente) et minorée par 0 (car u_n est strictement positif pour tout n, donc en particulier u_n\geqslant0). Donc, la réponse est que, d'après le théorème de la limite monotone, la suite \left(u_n\right) converge vers une limite réelle \ell, avec \ell\geqslant0.

4.Déterminer la valeur de la limite de la suite \left(u_n\right).

Soit f la fonction définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{x}{1+x}. On a alors u_{n+1}=f\left(u_n\right) pour tout entier naturel n.
La fonction f est continue sur [0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. La limite \ell de la suite \left(u_n\right) vérifie donc l'égalité f(\ell)=\ell.
On résout cette équation : \begin{aligned}\dfrac{\ell}{1+\ell} = \ell &\iff \ell = \ell(1+\ell) \\ &\iff \ell = \ell + \ell^2 \\ &\iff \ell^2 = 0 \\ &\iff \ell = 0 \end{aligned}
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) converge vers 0.

5.aConjecturer une expression de u_n en fonction de n.

D'après les premiers termes calculés à la question 1.a (u_0=1, u_1=\dfrac{1}{2}, u_2=\dfrac{1}{3}, u_3=\dfrac{1}{4}), on peut conjecturer que, pour tout entier naturel n, u_n = \dfrac{1}{n+1}.

5.bDémontrer par récurrence la conjecture précédente.

Notons P_n la proposition : u_n = \dfrac{1}{n+1}.
Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}\dfrac{1}{0+1} &= 1 \\ &= u_0\end{aligned} donc P_0 est vraie.
Hérédité : supposons que P_n soit vraie pour un entier naturel n fixé, c'est-à-dire u_n=\dfrac{1}{n+1}. Montrons que P_{n+1} est alors vraie.
On a \begin{aligned}u_{n+1} &= \dfrac{u_n}{1+u_n} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\ &= \dfrac{1}{n+2} \\ &= \dfrac{1}{(n+1)+1}\end{aligned} La relation est donc vraie au rang n+1, ce qui montre que P_{n+1} est vraie.
Comme P_0 est vraie, et que pour tout entier naturel n, P_n vraie entraîne P_{n+1} vraie, on peut conclure, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel n, P_n est vraie, c'est-à-dire u_n=\dfrac{1}{n+1}.

Onconsidère un cube ABCDEFGH. I est le milieu de [EF], J le milieu de [BC] et K le milieu de [AE]. On munit l'espace du repère orthonormé \left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right), dans lequel A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1), I(0,5 ; 0 ; 1), J(1 ; 0,5 ; 0) et K(0 ; 0 ; 0,5). 1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ?

\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}0,5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{KH}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0,5\end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont proportionnelles selon aucun facteur commun), donc, la réponse est que les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

2.Montrer que les vecteurs \overrightarrow{IJ}, \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{AC} sont coplanaires.

\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0,5 \\ 0,5 \\ -1\end{pmatrix}, \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
On constate que 2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC}.
Le vecteur \overrightarrow{AC} est donc une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AE} : ces trois vecteurs sont donc coplanaires.

3.On considère le plan \mathcal{P} d'équation x+3y-2z+2=0 et les droites d_1 et d_2 de représentations paramétriques d_1 : x=3+t,\ y=8-2t,\ z=-2+3t et d_2 : x=4+t,\ y=1+t,\ z=8+2t (t\in\mathbb{R}). Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ?

d_1 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} et d_2 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc, la réponse est que les droites d_1 et d_2 ne sont pas parallèles.

4.Montrer que la droite d_2 est parallèle au plan \mathcal{P}.

Le plan \mathcal{P} admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}, et d_2 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u_2} &= 1\times1+3\times1+(-2)\times2 \\ &= 1+3-4 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur directeur de d_2 est donc orthogonal au vecteur normal de \mathcal{P} : la droite d_2 est parallèle au plan \mathcal{P}.

5.Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan \mathcal{P}.

\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}4-5 \\ 0-3 \\ 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}, qui est l'opposé du vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix} de \mathcal{P} : \overrightarrow{ML} est donc lui aussi normal au plan \mathcal{P}, ce qui montre que la droite (ML) est perpendiculaire à \mathcal{P}.
D'autre part, les coordonnées de L vérifient l'équation de \mathcal{P} : \begin{aligned}4+3\times0-2\times3+2 &= 4-6+2 \\ &= 0\end{aligned} donc L appartient à \mathcal{P}.
Le point L appartient au plan \mathcal{P} et la droite (ML) lui est perpendiculaire : donc, la réponse est que L est bien le projeté orthogonal de M sur le plan \mathcal{P}.

1.Une influenceuse compte u_0=1\,000 abonnés en 2020. Chaque année, elle perd 10\,\% de ses abonnés puis en gagne 250 nouveaux. On note u_n le nombre d'abonnés en l'année (2020+n). Calculer u_1.

Perdre 10\,\% revient à multiplier par 0{,}9. Donc u_1 = 1\,000\times0{,}9 + 250 = 900+250 = 1 150 abonnés.

2.Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250.

Multiplier par 0{,}9 traduit la perte de 10\,\% des abonnés d'une année sur l'autre.
On ajoute ensuite chaque année 250 nouveaux abonnés, donc pour tout entier naturel n : u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250.

3.Une fonction Python suite(n) initialise u = 1000, puis répète n fois u = 0.9*u + 250, avant de renvoyer u. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la valeur renvoyée par l'appel suite(10).

La fonction calcule u_{10}, c'est-à-dire le nombre d'abonnés estimé en l'année 2030 ; la calculatrice donne u_{10}\approx 1 977 abonnés.

4.aMontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, u_n \leqslant 2\,500.

Initialisation : \begin{aligned}u_0 &= 1\,000 \\ &\leqslant 2\,500\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que pour un entier n donné, u_n \leqslant 2\,500. Comme 0{,}9>0, la multiplication conserve l'ordre : \begin{aligned}0{,}9u_n &\leqslant 0{,}9\times2\,500 \\ &= 2\,250\end{aligned} puis en ajoutant 250 aux deux membres, 0{,}9u_n+250 \leqslant 2\,500, soit u_{n+1} \leqslant 2\,500 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n \leqslant 2\,500.

4.bDémontrer que la suite (u_n) est croissante.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= 0{,}9u_n+250-u_n \\ &= -0{,}1u_n+250\end{aligned}
Or, d'après la question précédente, u_n \leqslant 2\,500, donc 0{,}1u_n \leqslant 250, soit -0{,}1u_n+250 \geqslant 0.
On a donc u_{n+1}-u_n \geqslant 0 pour tout entier naturel n : la suite (u_n) est croissante.

4.cDéduire des deux questions précédentes que la suite (u_n) est convergente.

La suite (u_n) est croissante et majorée par 2\,500 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite inférieure ou égale à 2\,500.

5.aOn pose v_n = u_n - 2\,500 pour tout entier naturel n. Montrer que (v_n) est géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme v_0=-1\,500.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-2\,500 \\ &= 0{,}9u_n+250-2\,500 \\ &= 0{,}9u_n-2\,250 \\ &= 0{,}9(u_n-2\,500) \\ &= 0{,}9v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=0{,}9v_n, vraie pour tout entier naturel n, montre que (v_n) est géométrique de raison 0{,}9.
Son premier terme vaut v_0 = u_0 - 2\,500 = 1\,000-2\,500 = -1\,500.

5.bExprimer v_n en fonction de n, puis montrer que u_n = 2\,500 - 1\,500\times0{,}9^{n}.

Comme (v_n) est géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme v_0=-1\,500, pour tout entier naturel n : v_n = -1\,500\times0{,}9^{n}.
Or v_n = u_n - 2\,500, donc \begin{aligned}u_n &= v_n + 2\,500 \\ &= 2\,500 - 1\,500\times0{,}9^{n}\end{aligned}

5.cDéterminer la limite de la suite (u_n) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Comme {0<0{,}9<1}, on a \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}9^{n} = 0, donc par produit puis somme de limites, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n = 2\,500.
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le nombre d'abonnés de l'influenceuse se stabilise autour de 2 500 au fil des années.

6.Écrire un programme qui détermine en quelle année le nombre d'abonnés dépassera 2 200, puis donner cette année.

Onconsidère un cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé \left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right), et le point M défini par \overrightarrow{BM} = \dfrac13\overrightarrow{BH}. 1. Donner, par lecture graphique, les coordonnées des points B, D, E, G et H.

Dans ce repère : B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).

2.aQuelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.

Les segments [EG], [GD] et [ED] sont chacun la diagonale d'une face carrée de côté 1 du cube, donc \begin{aligned}EG &= GD \\ &= ED \\ &= \sqrt2\end{aligned} (diagonale d'un carré de côté 1) : le triangle EGD est équilatéral, de côté \sqrt2.

2.bOn admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c vaut \dfrac{\sqrt3}{4}c^{2}. Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à \dfrac{\sqrt3}{2}.

Avec c=\sqrt2, l'aire du triangle EGD vaut \begin{aligned}\dfrac{\sqrt3}{4}\times\left(\sqrt2\right)^{2} &= \dfrac{\sqrt3}{4}\times2 \\ &= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

3.Démontrer que les coordonnées de M sont \left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac13\right).

\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} (coordonnées de H moins celles de B), donc \overrightarrow{BM} = \dfrac13\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-\frac13 \\ \frac13 \\ \frac13\end{pmatrix}.
Comme \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}x_M-1 \\ y_M \\ z_M\end{pmatrix}, on obtient \begin{aligned}x_M &= 1-\dfrac13 \\ &= \dfrac23\end{aligned} y_M=\dfrac13 et z_M=\dfrac13.
Donc, la réponse est que M a pour coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac13\right).

4.aJustifier que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} est normal au plan (EGD).

\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} (coordonnées de G moins celles de E), donc \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{EG} &= -1+1+0 \\ &= 0\end{aligned}
\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} (coordonnées de D moins celles de E), donc \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{ED} &= 0+1-1 \\ &= 0\end{aligned}
\overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGD) : c'est donc un vecteur normal à ce plan.

4.bEn déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est -x+y+z-1=0.

Un plan de vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} admet une équation de la forme -x+y+z+d=0, avec d réel à déterminer.
Le point E(0 ; 0 ; 1) appartient au plan (EGD), donc ses coordonnées vérifient cette équation : \begin{aligned}-0+0+1+d = 0 &\iff d = -1 \end{aligned}
Donc, la réponse est que le plan (EGD) a pour équation -x+y+z-1=0.

4.cSoit \mathcal{D} la droite orthogonale au plan (EGD) passant par M. Montrer qu'une représentation paramétrique de \mathcal{D} est x=\dfrac23-t,\ y=\dfrac13+t,\ z=\dfrac13+t, avec t\in\mathbb{R}.

La droite \mathcal{D} est orthogonale au plan (EGD), elle est donc dirigée par le vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} de ce plan ; elle passe de plus par M\left(\frac23~;~\frac13~;~\frac13\right).
Un point P(x~;~y~;~z) appartient à \mathcal{D} si, et seulement si, \overrightarrow{MP} = t\overrightarrow{n} pour un certain réel t, c'est-à-dire x-\dfrac23=-t, y-\dfrac13=t et z-\dfrac13=t.
Donc, la réponse est que \mathcal{D} admet pour représentation paramétrique x=\dfrac23-t, y=\dfrac13+t, z=\dfrac13+t, avec t\in\mathbb{R}.

5.aSoit K le pied de la hauteur issue de M dans la pyramide GEDM. Démontrer que les coordonnées de K sont \left(\dfrac13~;~\dfrac23~;~\dfrac23\right).

La droite \mathcal{D} passe par M et est perpendiculaire au plan (EGD) : c'est donc la hauteur de la pyramide GEDM issue de M, et son pied K est le point d'intersection de \mathcal{D} avec le plan (EGD).
Les coordonnées de K vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de \mathcal{D} et l'équation du plan (EGD) : en substituant x=\frac23-t, y=\frac13+t, z=\frac13+t dans -x+y+z-1=0, on obtient \begin{aligned}-\left(\frac23-t\right)+\frac13+t+\frac13+t-1 = 0 &\iff 3t = 1 \\ &\iff t = \dfrac13 \end{aligned}
En remplaçant t par \dfrac13 : \begin{aligned}x &= \dfrac23-\dfrac13 \\ &= \dfrac13\end{aligned} \begin{aligned}y &= \dfrac13+\dfrac13 \\ &= \dfrac23\end{aligned} et \begin{aligned}z &= \dfrac13+\dfrac13 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
Donc, la réponse est que K a pour coordonnées \left(\dfrac13~;~\dfrac23~;~\dfrac23\right).

5.bEn déduire le volume de la pyramide GEDM. On rappelle que le volume d'une pyramide est V=\dfrac{b\times h}{3}, où b est l'aire d'une base et h la hauteur associée.

\overrightarrow{KM}\begin{pmatrix}\frac13 \\ -\frac13 \\ -\frac13\end{pmatrix} (coordonnées de M moins celles de K), donc \begin{aligned}KM^{2} &= \dfrac19+\dfrac19+\dfrac19 \\ &= \dfrac13\end{aligned} d'où \begin{aligned}KM &= \sqrt{\dfrac13} \\ &= \dfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned}
K est le pied de la hauteur issue de M pour la base EGD, donc \begin{aligned}h &= KM \\ &= \dfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned} et \begin{aligned}b &= \mathcal{A}(\text{EGD}) \\ &= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned} (question 2.b).
Le volume de la pyramide GEDM vaut donc \begin{aligned}V &= \dfrac{\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt3}{3}}{3} \\ &= \dfrac{\frac{3}{6}}{3} \\ &= \dfrac16\end{aligned}
Donc, la réponse est que la pyramide GEDM a un volume égal à \dfrac16.