Exponentielle : Tous les exercices

A.1Donner les solutions de l'équation différentielle (E) : y' = -0,035y + 0,91 sur [0 ; +\infty[.

(E) est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme y' = ay + b avec a = -0{,}035 et b = 0{,}91.
La solution constante particulière vérifie 0 = -0{,}035 y_p + 0{,}91, soit \begin{aligned}y_p &= \dfrac{0{,}91}{0{,}035} \\ &= 26\end{aligned}
Les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[ sont les fonctions t \mapsto K e^{-0{,}035t} + 26, où K est une constante réelle.

A.2En déduire que, pour tout réel t de [0 ; +\infty[, T(t) = 26 - 8e^{-0{,}035t}.

D'après la question précédente, T(t) = K e^{-0{,}035t} + 26.
Comme T(0) = 18 : K e^{0} + 26 = 18, soit \begin{aligned}K &= 18 - 26 \\ &= -8\end{aligned}
Donc, pour tout t \in [0 ; +\infty[, T(t) = -8e^{-0{,}035t} + 26 = 26 - 8e^{-0{,}035t}.

A.3Déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra 20^{\circ}C (en heures et minutes, arrondi à la minute).

On résout T(t) = 20 : 26 - 8e^{-0{,}035t} = 20, soit 8e^{-0{,}035t} = 6, soit e^{-0{,}035t} = 0{,}75.
-0{,}035t = \ln(0{,}75), donc \begin{aligned}t &= \dfrac{-\ln(0{,}75)}{0{,}035} \\ &\approx 8{,}22\end{aligned} dizaines de minutes, soit environ 82,2 minutes.
82{,}2 minutes \approx 1 h 22 min.

A.4Si le système ne s'éteignait pas à 20^{\circ}C, la température pourrait-elle dépasser 28^{\circ}C selon ce modèle ?

Pour tout t \geq 0, e^{-0{,}035t} > 0, donc T(t) = 26 - 8e^{-0{,}035t} < 26.
La température modélisée par T reste donc toujours strictement inférieure à 26^{\circ}C, quelle que soit la durée de chauffe.
Non, selon ce modèle, la température de la pièce ne pourra jamais dépasser 28^{\circ}C (elle ne dépasse même jamais 26^{\circ}C).

B.1Montrer que u1 = 19,72.

u_1 = 0{,}965 \times u_0 + 0{,}35 + 0{,}07e^{-0{,}1 \times 0} = 0{,}965 \times 20 + 0{,}35 + 0{,}07 \times 1 = 19{,}3 + 0{,}35 + 0{,}07 = 19,72.

B.2Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un > 10.

Initialisation : u_0 = 20 > 10, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que u_n > 10 pour un entier n donné. Montrons que u_{n+1} > 10.
u_{n+1} = 0{,}965 u_n + 0{,}35 + 0{,}07e^{-0{,}1n}. Comme u_n > 10, on a 0{,}965 u_n > 9{,}65.
De plus, 0{,}07e^{-0{,}1n} > 0 pour tout n (une exponentielle est toujours strictement positive).
Donc u_{n+1} > 9{,}65 + 0{,}35 + 0 = 10 : la propriété est vraie au rang n+1.
Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, on a u_n > 10.

B.3En déduire que la suite (un) est convergente.

La suite (u_n) est décroissante (admis dans l'énoncé) et minorée par 10 (question précédente) : d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) est convergente.

B.4.aJustifier que la limite \ell est solution de l'équation x = 0,965x + 0,35.

Comme (u_n) converge vers \ell, la suite (u_{n+1}) converge aussi vers \ell.
De plus, e^{-0{,}1n} \to 0 quand n \to +\infty.
En passant à la limite dans la relation u_{n+1} = 0{,}965 u_n + 0{,}35 + 0{,}07e^{-0{,}1n}, on obtient \ell = 0{,}965\ell + 0{,}35.

B.4.bDéterminer \ell et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

\ell - 0{,}965\ell = 0{,}35, soit 0{,}035\ell = 0{,}35, soit \ell = \dfrac{0{,}35}{0{,}035} = 10.
Interprétation : si le chauffage ne se remettait jamais en marche, la température de la pièce se rapprocherait indéfiniment de 10^{\circ}C sans jamais l'atteindre.

B.5.aRecopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme Python pour qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le chauffage se remet en marche.

B.5.bDéterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

En calculant successivement les termes de la suite, on obtient u_7 \approx 18{,}14 (encore supérieur à 18) puis u_8 \approx 17{,}90 (inférieur à 18).
Le chauffage se remet donc en marche à partir de n = 8 dizaines de minutes, soit 80 minutes (1 h 20 min) après le début du refroidissement.

A.1Calculer V1 et V2 (V0 = 0, Vn+1 = 0,995 Vn + 6).

V_1 = 0{,}995 \times 0 + 6 = 6 litres.
V_2 = 0{,}995 \times 6 + 6 = 5{,}97 + 6 = 11,97 litres.

A.2Recopier et compléter le programme Python pour qu'il renvoie le volume après n heures.

A.3Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Vn \leq Vn+1 \leq 1200.

Initialisation : V_0 = 0 et V_1 = 6 (question 1), donc V_0 \leq V_1 \leq 1\,200 : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que V_n \leq V_{n+1} \leq 1\,200 pour un entier n donné.
Comme 0{,}995 > 0, on peut multiplier chaque membre : 0{,}995V_n \leq 0{,}995V_{n+1} \leq 0{,}995 \times 1\,200, soit 0{,}995V_n \leq 0{,}995V_{n+1} \leq 1\,194.
En ajoutant 6 partout : 0{,}995V_n + 6 \leq 0{,}995V_{n+1} + 6 \leq 1\,200, c'est-à-dire V_{n+1} \leq V_{n+2} \leq 1\,200 : la propriété est vraie au rang n+1.
Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, V_n \leq V_{n+1} \leq 1\,200.

A.4Justifier que la suite (Vn) converge, et calculer sa limite.

D'après la question précédente, la suite (V_n) est croissante et majorée par 1\,200.
D'après le théorème de convergence monotone, la suite (V_n) converge vers une limite \ell.
La fonction associée à la récurrence, x \mapsto 0{,}995x + 6, est continue (fonction affine), donc \ell est solution de l'équation x = 0{,}995x + 6.
\begin{aligned}0{,}005x = 6 &\Leftrightarrow x = \dfrac{6}{0{,}005} \\ &\Leftrightarrow x = 1\,200\end{aligned}
La suite (V_n) converge donc vers 1 200 : le volume de substance polluante se stabilise autour de 1 200 litres.

B.1.aDéterminer les solutions de l'équation différentielle (E) : y' = -0,005y + 6 sur [0 ; +\infty[.

(E) est de la forme y' = ay + b avec a = -0{,}005 et b = 6. Sa solution particulière constante est \begin{aligned}y_p &= -\dfrac{b}{a} \\ &= \dfrac{6}{0{,}005} \\ &= 1\,200\end{aligned}
Les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[ sont les fonctions t \mapsto Ce^{-0{,}005t} + 1\,200, où C est une constante réelle.

B.1.bMontrer que, pour tout réel t de [0 ; +\infty[, v(t) = 1200(1 - e^{-0,005t}).

Comme v(0) = 0 : Ce^{0} + 1\,200 = 0, donc C = -1\,200.
v(t) = -1\,200e^{-0{,}005t} + 1\,200 = 1\,200\left(1 - e^{-0{,}005t}\right).

B.1.cCalculer la limite de v en +\infty.

Quand t \to +\infty, e^{-0{,}005t} \to 0, donc v(t) \to 1\,200 \times (1-0) = 1 200.

B.1.dDéterminer le sens de variation de la fonction v sur [0 ; +\infty[.

v'(t) = 1\,200 \times 0{,}005 \times e^{-0{,}005t} = 6e^{-0{,}005t}, toujours strictement positif.
La fonction v est donc strictement croissante sur [0 ; +\infty[.

B.2Un taux de substance polluante supérieur à 5 % du volume du bassin (30 000 L) nécessite un nettoyage complet. Le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?

Le seuil critique est 0{,}05 \times 30\,000 = 1 500 litres.
La fonction v est strictement croissante et tend vers 1 200 sans jamais l'atteindre : elle est donc toujours strictement inférieure à 1 200, donc à 1 500.
Non, selon ce modèle, le volume de substance polluante n'atteindra jamais le seuil de 1 500 litres : un nettoyage complet ne sera jamais nécessaire.

B.3Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume dépasse 50 litres (en heure et minute, arrondi à la minute).

On résout v(t) = 50 : 1\,200\left(1-e^{-0{,}005t}\right) = 50, soit \begin{aligned}1 - e^{-0{,}005t} &= \dfrac{50}{1\,200} \\ &= \dfrac{1}{24}\end{aligned}
e^{-0{,}005t} = \dfrac{23}{24}, donc -0{,}005t = \ln\left(\dfrac{23}{24}\right).
t = \dfrac{\ln\left(\frac{23}{24}\right)}{-0{,}005} = 200\ln\left(\dfrac{24}{23}\right) (valeur exacte), soit environ 8,51 heures.
8{,}51 heures \approx 8 h 31 min.

A.1.aÀ l'aide du graphique, donner f'(1) (la courbe admet une tangente horizontale au point C d'abscisse 1).

La tangente en C (abscisse 1) est parallèle à l'axe des abscisses, donc de coefficient directeur nul : f'(1) = 0.

A.1.bDonner la solution de l'équation f(x) = 0 sur [0 ; 3] (la courbe coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse \dfrac{1}{2}).

La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'au point A, d'abscisse \dfrac{1}{2} : la solution de f(x)=0 sur [0;3] est \dfrac{1}{2}.

A.2Déterminer f'(\dfrac{1}{2}) (la tangente en A(\dfrac{1}{2} ; 0) passe par B(1 ; e^{2})).

f'\left(\dfrac{1}{2}\right) est le coefficient directeur de la tangente en A, c'est-à-dire de la droite (AB) :
\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{e^{2} - 0}{1 - \frac{1}{2}} = 2e^{2}.

A.3Parmi les courbes C1, C2 et C3, indiquer lesquelles représentent des primitives de f.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent uniquement d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.
C'est le cas de \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, qui ont la même forme décalée verticalement.
\mathcal{C}_3 est décroissante là où f est positive (autour de x = 0,5 à 0,7), ce qui est incompatible avec une primitive de f à cet endroit.
Les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentent des primitives de f.

B.1.aVérifier que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f(x) = e^{2} \times (2x-1)/e^{2x-1} (avec f(x) = (2x-1)e^{-2x+3}).

On remarque que -2x+3 = -(2x-1)+2, donc e^{-2x+3} = e^{-(2x-1)} \times e^{2}.
\begin{aligned}f(x) &= (2x-1) \times e^{-(2x-1)} \times e^{2} \\ &= e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}}\end{aligned}

B.1.bEn déduire la limite de f en +\infty (on pourra poser X = 2x-1).

Quand x \to +\infty, X = 2x-1 \to +\infty, et par croissances comparées \dfrac{X}{e^{X}} \to 0.
Donc \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0, puis f(x) = e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0.

B.2.aMontrer que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f'(x) = (-4x+4)e^{-2x+3}.

En dérivant le produit f(x) = (2x-1)e^{-2x+3} :
f'(x) = 2 \times e^{-2x+3} + (2x-1) \times (-2)e^{-2x+3} = \left(2 - 2(2x-1)\right)e^{-2x+3} = (2-4x+2)e^{-2x+3} = (-4x+4)e^{-2x+3}.

B.2.bConstruire le tableau complet des variations de f sur [0 ; +\infty[.

L'exponentielle étant toujours strictement positive, f'(x) est du signe de (-4x+4), positif avant x=1 et négatif après.
f est donc croissante sur [0;1] puis décroissante sur [1;+\infty[.
\begin{aligned}f(0) &= (0-1)e^{3} \\ &= -e^{3}\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= (2-1)e^{1} \\ &= e\end{aligned}
Tableau : f croît de -e^{3} à e sur [0;1], puis décroît de e vers 0 (sans l'atteindre) sur [1;+\infty[.

B.3Justifier que la contrainte du client se traduit par f(\alpha) = 0,15, puis montrer qu'il existe une unique valeur de \alpha dans [1 ; +\infty[ vérifiant cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Le point (\alpha ; f(\alpha)) et son symétrique (\alpha ; -f(\alpha)) par rapport à l'axe des abscisses sont distants verticalement de 2f(\alpha).
Cette distance doit valoir 0,3 cm : \begin{aligned}2f(\alpha) &= 0{,}3 \\ &\Leftrightarrow f(\alpha) = 0{,}15\end{aligned}
Sur [1 ; +\infty[, f est continue et strictement décroissante, de \begin{aligned}f(1) &= e \\ &\approx 2{,}7\end{aligned} vers 0 (sans l'atteindre).
Comme {0 < 0{,}15 < e}, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x) = 0,15 admet une unique solution \alpha dans [1 ; +\infty[.
À la calculatrice, on trouve \alpha \approx 3{,}3.

C.1À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale I de f entre 0,5 et 3,3 est, arrondie au dixième, égale à 3,6.

On pose u(x) = 2x-1 et v'(x) = e^{-2x+3}, donc u'(x) = 2 et v(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}.
\displaystyle I = \left[u(x)v(x)\right]_{0,5}^{3,3} - \int\limits_{0,5}^{3,3} u'(x)v(x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{2}(2x-1)e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} + \int\limits_{0,5}^{3,3} e^{-2x+3}\,dx
Le crochet vaut -\dfrac{1}{2}\left(5{,}6e^{-3,6} - 0\right) = -2{,}8e^{-3,6}.
L'intégrale restante vaut \left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} = -\dfrac{1}{2}e^{-3,6} + \dfrac{1}{2}e^{2}.
I = -2{,}8e^{-3,6} - 0{,}5e^{-3,6} + 0{,}5e^{2} = 0{,}5e^{2} - 3{,}3e^{-3,6} \approx 3,6.

C.2Déterminer le volume du porte-clé en cm^{3}, arrondi au dixième (volume = aire du logo \times épaisseur de 0,2 cm).

Le logo est symétrique par rapport à l'axe des abscisses : son aire est le double de l'aire sous la courbe de f entre 0,5 et 3,3, c'est-à-dire \begin{aligned}2I &\approx 2 \times 3{,}6 \\ &= 7{,}2\end{aligned} cm^{2}.
Volume \approx 7{,}2 \times 0{,}2 = 1,4 cm^{3}.

A.1Donner les variations de F_{2} sur ]0 ; 3].

F_2 est une primitive de f_2, donc ses variations sont données par le signe de f_2. D'après le graphique, F_2 est décroissante sur ]0 ; 0{,}3], croissante sur [0{,}3 ; 2{,}5], puis décroissante sur [2{,}5 ; 3].

A.2Identifier les courbes représentant f_{2}′ et f_{2}″.

f_2 admet un maximum en x \approx 0{,}75 (là où F_2 change de croissante à décroissante) : sa dérivée doit s'y annuler. C'est la courbe 1 qui s'annule vers 0,75 : elle représente f_2'.
Le point A (point d'inflexion de \mathcal{C}_2) est situé vers x \approx 1{,}6 : la dérivée seconde s'y annule. C'est la courbe 2 qui s'annule vers 1,6 : elle représente f_2''.

B.1.aMontrer que f_{1}′(x) = -1 - ln(x)/x^{2}.

f_1 = w + \dfrac{u}{v} avec w(x)=1-x, u(x)=1+\ln x, v(x)=x, donc w'(x)=-1, u'(x)=\dfrac{1}{x}, v'(x)=1.
f_1'(x) = w'(x) + \dfrac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v(x)^{2}} = -1 + \dfrac{1-(1+\ln x)}{x^{2}} = -1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}.

B.1.bDéterminer la limite de f_{1}′(x) en +\infty.

Par croissances comparées, \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{2}} = 0, donc, par somme, \lim\limits_{x \to +\infty} f_1'(x) = -1.

B.2.aJustifier les variations de f_{1}′ et la valeur de l'extremum.

f_1''(x) a le signe de 2\ln x - 1 (car x^{3}>0), positif pour x>e^{\dfrac{1}{2}}.
f_1' est donc décroissante sur ]0 ; e^{\dfrac{1}{2}}] puis croissante sur [e^{\dfrac{1}{2}} ; +\infty[.
f_1'(e^{\dfrac{1}{2}}) = -1-\dfrac{\ln(e^{\dfrac{1}{2}})}{e} = -1-\dfrac{1}{2e} : c'est bien la valeur du minimum du tableau.

B.2.bJustifier la limite de f_{1}′ en 0.

Quand x \to 0^+ : -\ln(x) \to +\infty et x^{2} \to 0^+, donc par quotient puis somme, \lim\limits_{x \to 0^+} f_1'(x) = +\infty.

B.2.cMontrer qu'il existe une unique solution \alpha à f_{1}′(x) = 0, puis que f_{1} admet un maximum.

Sur \left]0 ; e^{\dfrac{1}{2}}\right], f_1' est continue et strictement décroissante, avec \lim\limits_{x\to0^+} f_1'(x) = +\infty > 0 et f_1'(e^{\dfrac{1}{2}}) = -1-\frac{1}{2e} < 0 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f_1'(x)=0 y admet une unique solution.
Sur \left[e^{\dfrac{1}{2}} ; +\infty\right[, f_1' est strictement croissante et tend vers -1, donc reste toujours strictement négative : pas de solution sur cet intervalle.
Il existe donc une unique solution \alpha à f_1'(x)=0 sur ]0;+\infty[, et f_1 admet un maximum en \alpha (signe de f_1' positif puis négatif).

B.2.dCompléter le script Python calculant une valeur approchée de \alpha.

C.1Montrer que H est une primitive de h.

H est de la forme \dfrac{1}{2}u^{2} avec u(x)=1+\ln x, donc u'(x)=\dfrac{1}{x}, et H'(x) = u'(x)u(x) = \dfrac{1}{x}(1+\ln x) = h(x).
H est donc bien une primitive de h sur ]0;+\infty[.

C.2Existe-t-il k tel que la valeur moyenne de fₖ sur [1 ; e] soit nulle ?

La valeur moyenne est \begin{aligned}\displaystyle \mu &= \dfrac{1}{e-1}\int\limits_1^{e} f_k(x)\,dx \\ &= \dfrac{1}{e-1}\int\limits_1^{e}\left(1-x+kh(x)\right)dx \\ &= \dfrac{1}{e-1}\left[x-\dfrac{x^{2}}{2}+kH(x)\right]_1^{e}\end{aligned}
= \dfrac{1}{e-1}\left(\left(e-\dfrac{e^{2}}{2}+k\dfrac{(1+1)^{2}}{2}\right) - \left(1-\dfrac{1}{2}+k\dfrac{(1+0)^{2}}{2}\right)\right) = \dfrac{2e-e^{2}+3k-1}{2(e-1)}.
\begin{aligned}\mu &= 0 \\ &\Leftrightarrow 2e-e^{2}+3k-1 = 0 \\ &\Leftrightarrow k = \dfrac{e^{2}-2e+1}{3} \\ &\Leftrightarrow k = \dfrac{(e-1)^{2}}{3}\end{aligned}
Oui, il existe une unique valeur k = \dfrac{(e-1)^{2}}{3} pour laquelle la valeur moyenne de f_k sur [1;e] est nulle.

1.Montrer que, pour tout x, f'(x) = (-2x + 6)e^{-0,5x}.

f(x)=(4x-4)e^{-0{,}5x}+5 est de la forme uv+5 avec u(x)=4x-4, v(x)=e^{-0{,}5x}, donc u'(x)=4, v'(x)=-0{,}5e^{-0{,}5x}.
f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = 4e^{-0{,}5x} + (4x-4)\times(-0{,}5)e^{-0{,}5x} = \left[4-0{,}5(4x-4)\right]e^{-0{,}5x} = \left[4-2x+2\right]e^{-0{,}5x} = (-2x+6)e^{-0{,}5x}.

2.Étudier le signe de f'(x) puis en déduire les variations de f.

e^{-0{,}5x}>0 pour tout x, donc f'(x) est du signe de -2x+6, qui s'annule en x=3 et est positif pour x<3.
f est croissante sur ]-\infty;3] et décroissante sur [3;+\infty[, avec un maximum f(3)=8e^{-1{,}5}+5.

3.La courbe admet-elle des points à tangente horizontale ?

La tangente est horizontale lorsque f'(x)=0, soit uniquement en x=3.
\begin{aligned}f(3) &= (4\times3-4)e^{-0{,}5\times3}+5 \\ &= 8e^{-1{,}5}+5\end{aligned}
Oui, \mathcal{C}_f admet un unique point à tangente horizontale, de coordonnées \left(3\,;\,8e^{-1{,}5}+5\right).

PartieA ; 1. Les courbes C_{1} et C_{2} représentent deux fonctions définies et dérivables sur \mathbb{R}, l'une étant la dérivée de l'autre ; C_{1} coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1), C_{2} le coupe en (0 ; 2) et coupe l'axe des abscisses en (-2 ; 0) et (1 ; 0). Associer à g et g' leur courbe.

La fonction représentée par \mathcal{C}_1 est décroissante sur ]-\infty~;~-2] et [1~;~+\infty[, croissante sur [-2~;~1].
La fonction représentée par \mathcal{C}_2 est négative sur ]-\infty~;~-2] et [1~;~+\infty[, positive sur [-2~;~1] : ce sont exactement les intervalles où la fonction de \mathcal{C}_1 croît ou décroît.
Le signe de la dérivée déterminant les variations, \mathcal{C}_1 représente g et \mathcal{C}_2 représente g'.

PartieA ; 2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est y = 2x + 1.

La tangente en 0 a pour équation y=g'(0)x+g(0).
\mathcal{C}_1 coupe l'axe des ordonnées en (0~;~1) donc g(0)=1 ; \mathcal{C}_2 le coupe en (0~;~2) donc g'(0)=2.
L'équation de la tangente est donc y=2x+1.

PartieB ; 1. On considère l'équation différentielle (E) : y + y' = (2x+3)e^{-x}. Montrer que f_0(x) = (x^2+3x)e^{-x} est une solution particulière de (E).

f_0 est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables : f_0'(x) = (2x+3)e^{-x} + (x^{2}+3x)(-e^{-x}) = (2x+3-x^{2}-3x)e^{-x} = (-x^{2}-x+3)e^{-x}.
f_0(x)+f_0'(x) = (x^{2}+3x)e^{-x} + (-x^{2}-x+3)e^{-x} = (2x+3)e^{-x} : f_0 vérifie bien (E).

PartieB ; 2. Résoudre l'équation différentielle (E_{0}) : y + y' = 0.

(E_0) équivaut à y'=-y : ses solutions sont les fonctions x\longmapsto Ce^{-x}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieB ; 3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).

(E) est de la forme y'=ay+f avec f_0 solution particulière : ses solutions sont les fonctions x\longmapsto Ce^{-x}+f_0(x) = (x^{2}+3x+C)e^{-x}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieB ; 4. On admet que g est solution de (E). Déterminer l'expression de g.

Il existe C\in\mathbb{R} tel que g(x)=(x^{2}+3x+C)e^{-x}. Comme g(0)=1 : \begin{aligned}1 &= (0+0+C)e^{0} \\ &= C\end{aligned}
g(x) = (x^{2}+3x+1)e^{-x}.

PartieB ; 5. Déterminer les solutions de (E) dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Une courbe admet exactement deux points d'inflexion si et seulement si sa dérivée seconde s'annule exactement deux fois en changeant de signe.
Soit f(x)=(x^{2}+3x+C)e^{-x} une solution de (E) : f'(x) = (-x^{2}-x+3-C)e^{-x} et f''(x) = (x^{2}-x-4+C)e^{-x}.
L'exponentielle étant strictement positive, f''(x) est du signe de x^{2}-x-4+C, dont le discriminant est \begin{aligned}\Delta &= 1-4(-4+C) \\ &= 17-4C\end{aligned}
Ce polynôme change deux fois de signe si et seulement si \Delta>0, soit C<\dfrac{17}{4}.
Les solutions cherchées sont les fonctions x\longmapsto(x^{2}+3x+C)e^{-x} avec C<\dfrac{17}{4}.

PartieC ; 1. On considère f(x) = (x^{2}+3x+2)e^{-x} sur \mathbb{R}. Démontrer que la limite de f en +\infty est égale à 0.

f(x) = \dfrac{x^{2}}{e^{x}}+3\dfrac{x}{e^{x}}+\dfrac{2}{e^{x}}.
Par croissances comparées, pour tout entier n non nul, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{x}}=0 ; donc, par somme, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.

PartieC ; 2.a Vérifier que, pour tout réel x, f'(x) = (-x^{2} - x + 1)e^{-x}.

f'(x) = (2x+3)e^{-x}+(x^{2}+3x+2)(-e^{-x}) = (2x+3-x^{2}-3x-2)e^{-x} = (-x^{2}-x+1)e^{-x}.

PartieC ; 2.b Déterminer le signe de f' sur \mathbb{R} puis en déduire les variations de f.

L'exponentielle étant strictement positive, f'(x) est du signe de -x^{2}-x+1, de discriminant \Delta=1+4=5>0.
Ses racines sont x_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2} et x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2} ; le coefficient dominant étant négatif, -x^2-x+1 est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
f est décroissante sur ]-\infty~;~x_1] et sur [x_2~;~+\infty[, croissante sur [x_1~;~x_2].

PartieC ; 3. Expliquer pourquoi f est positive sur [0 ; +\infty[.

L'exponentielle étant strictement positive, f(x) est du signe de x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1), de racines -2 et -1.
Le coefficient dominant étant positif, ce polynôme est positif sur ]-1~;~+\infty[, donc en particulier sur [0~;~+\infty[ : f est positive sur [0~;~+\infty[.

PartieC ; 4. On admet que F(x) = (-x^{2} - 5x - 7)e^{-x} est une primitive de f. Pour \alpha réel positif, déterminer l'aire A(\alpha) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites x = 0 et x = \alpha.

f étant positive sur [0~;~\alpha], l'aire cherchée est \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A}(\alpha) &= \displaystyle\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= F(\alpha)-F(0)\end{aligned}
\begin{aligned}F(0) &= (0-0-7)e^{0} \\ &= -7\end{aligned} donc \mathcal{A}(\alpha) = (-\alpha^{2}-5\alpha-7)e^{-\alpha}+7 unités d'aire.

1.aSoit f(x) = \dfrac{e^x}{x-1} sur ]-\infty~;~1[. Déterminer la limite de f en 1.

e^x\to e>0 et x-1\to0^- (négatif sur l'intervalle) : par quotient, \lim\limits_{x\to1^-}f(x) = -\infty.

1.bEn déduire une interprétation graphique.

La courbe \mathcal{C} admet la droite d'équation x=1 comme asymptote verticale.

2.Déterminer la limite de f en -\infty.

e^x\to0 et x-1\to-\infty : \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = 0 ; la droite y=0 est asymptote horizontale en -\infty.

3.aMontrer que f'(x) = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

f'(x) = \dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

3.bDresser, en justifiant, le tableau de variations de f sur ]-\infty~;~1[.

e^x>0 et (x-1)^2>0 : f'(x) est du signe de x-2, strictement négatif sur ]-\infty~;~1[. f est strictement décroissante, de 0 (limite en -\infty) vers -\infty (limite en 1).

4.aOn admet f''(x) = \dfrac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}. Étudier la convexité de f sur ]-\infty~;~1[.

x^2-4x+5 = (x-2)^2+1 > 0 pour tout réel x, et e^x>0 ; sur ]-\infty~;~1[, (x-1)^3<0.
f''(x)<0 sur tout l'intervalle : f est concave sur ]-\infty~;~1[.

4.bDéterminer l'équation réduite de la tangente T à \mathcal{C} au point d'abscisse 0.

f(0) = -1 et f'(0) = \dfrac{-2\times1}{1} = -2 : T : y = -2x-1.

4.cEn déduire que, pour tout x de ]-\infty~;~1[, e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

f étant concave, sa courbe est sous ses tangentes : f(x)\leqslant-2x-1, soit \dfrac{e^x}{x-1}\leqslant-2x-1.
En multipliant par x-1<0 (le sens change) : e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

5.aJustifier que l'équation f(x)=-2 admet une unique solution \alpha sur ]-\infty~;~1[.

f est continue et strictement décroissante sur ]-\infty~;~1[, et -2 est compris entre \lim\limits_{-\infty}f = 0 et \lim\limits_{1}f = -\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha.

5.bÀ l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-2}.

f(0{,}31)\approx-1{,}98>-2 et f(0{,}32)\approx-2{,}03<-2 : {0{,}31<\alpha<0{,}32}.

Unbiologiste modélise l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'individus) par la fonction f définie sur [0~;~+\infty[ par f(t) = e^3-e^{-0{,}5t^2+t+2}, où t désigne le temps en heures. Affirmation 1 : « La population de bactéries augmente en permanence ». Vrai ou faux ?

f est dérivable sur [0~;~+\infty[ comme composée de fonctions dérivables. En posant g(t)=-0{,}5t^2+t+2, donc g'(t)=-t+1, on obtient f'(t) = -g'(t)\,e^{g(t)} = (t-1)\,e^{-0{,}5t^2+t+2}.
L'exponentielle étant strictement positive, f'(t) est du signe de (t-1) : f'(t)<0 sur [0~;~1[ et f'(t)>0 sur ]1~;~+\infty[. La fonction f est donc strictement décroissante sur [0~;~1].
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse : durant la première heure, la population diminue strictement.

Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera 21 000 bactéries ». Vrai ou faux ?

Pour tout t\geqslant0, e^{-0{,}5t^2+t+2}>0, donc -e^{-0{,}5t^2+t+2}<0, d'où f(t) = e^3-e^{-0{,}5t^2+t+2} < e^3.
Or e^3\approx20{,}086 (au millième près), donc f(t) reste toujours strictement inférieur à environ 20{,}086 milliers d'individus, soit 20 086 bactéries.
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse : la population ne dépassera jamais 20 086 bactéries, donc a fortiori jamais 21 000.

Affirmation 3 : « La population de bactéries atteindra un effectif de 10 000 individus à deux reprises au cours du temps ». Vrai ou faux ?

Un effectif de 10 000 bactéries correspond à f(t)=10 (population exprimée en milliers). D'après l'étude de variations précédente, f est strictement décroissante sur [0~;~1] puis strictement croissante sur [1~;~+\infty[.
On calcule les valeurs utiles : \begin{aligned}f(0) &= e^3-e^2 \\ &\approx 12{,}696\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= e^3-e^{2{,}5} \\ &\approx 7{,}903\end{aligned} De plus, \lim\limits_{t\to+\infty}\left(-0{,}5t^2+t+2\right) = -\infty (le terme en t^2 l'emporte), donc par composition \lim\limits_{t\to+\infty}e^{-0{,}5t^2+t+2}=0, puis \begin{aligned}\lim\limits_{t\to+\infty}f(t) &= e^3 \\ &\approx 20{,}086\end{aligned}
Sur [0~;~1] : f est continue et strictement décroissante, et 10 est compris strictement entre f(1)\approx7{,}903 et f(0)\approx12{,}696, donc par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(t)=10 admet une unique solution sur cet intervalle.
Sur [1~;~+\infty[ : f est continue et strictement croissante, et 10 est compris strictement entre f(1)\approx7{,}903 et \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)\approx20{,}086, donc l'équation f(t)=10 admet là aussi une unique solution.
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : l'équation f(t)=10 admet exactement deux solutions sur [0~;~+\infty[, donc la population atteindra bien 10 000 individus à deux reprises.

1.Affirmation : la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x-x est convexe. Vrai ou faux ?

f est deux fois dérivable sur \mathbb{R}, avec f'(x)=e^x-1 puis f''(x)=e^x. Comme e^x>0 pour tout réel x, f'' est positive sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : f est convexe sur \mathbb{R}.

2.Affirmation : l'équation (2e^x-6)(e^x+2)=0 admet \ln(3) comme unique solution réelle. Vrai ou faux ?

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul : 2e^x-6=0 ou e^x+2=0.
Comme e^x>0 pour tout x, on a {e^x+2>2>0} : cette équation n'a donc aucune solution.
L'autre équation donne \begin{aligned}2e^x = 6 &\iff e^x = 3 \\ &\iff x = \ln(3) \end{aligned} (par stricte croissance de la fonction exponentielle, cette solution est unique).
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie.

3.Affirmation : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=0. Vrai ou faux ?

On factorise par le terme dominant de chaque membre : \begin{aligned}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x} &= \dfrac{e^{2x}\left(1-e^{-2x}\right)}{e^x\left(1-xe^{-x}\right)} \\ &= e^x\times\dfrac{1-e^{-2x}}{1-xe^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0 donc le numérateur de la fraction tend vers 1 ; et xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0 par croissances comparées, donc le dénominateur tend aussi vers 1.
Le quotient tend donc vers 1, et comme \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, on obtient \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=+\infty.
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (la limite vaut +\infty, pas 0).

4.Affirmation : avec f(x)=(6x+5)e^{3x} et F(x)=(2x+1)e^{3x}+4 sur \mathbb{R}, F est la primitive de f qui vaut 5 en x=0. Vrai ou faux ?

F est dérivable sur \mathbb{R} comme produit et somme de fonctions dérivables : F'(x) = 2e^{3x}+3(2x+1)e^{3x} = e^{3x}\big(2+6x+3\big) = (6x+5)e^{3x} = f(x).
De plus \begin{aligned}F(0) &= (2\times0+1)e^{0}+4 \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : F est bien la primitive de f sur \mathbb{R} valant 5 en 0.

5.On considère une fonction Python mystere(L) qui parcourt une liste L, cumule la somme S de ses éléments, puis renvoie S divisée par la longueur de L (la moyenne des éléments). Affirmation : mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50. Vrai ou faux ?

La somme des dix éléments de la liste vaut 1+9+9+5+0+3+6+12+0+5=50, et la fonction renvoie cette somme divisée par la longueur de la liste (ici 10), soit \dfrac{50}{10}=5. Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (le résultat renvoyé vaut 5, pas 50).

PartieA ; 1. Le plan est muni d'un repère orthogonal. On donne les représentations graphiques d'une fonction f deux fois dérivable sur \mathbb{R}, de sa dérivée f' et de sa dérivée seconde f'', notées \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3. Identifier, en justifiant, quelle courbe correspond à quelle fonction.

La courbe \mathcal{C}_2 reste strictement positive sur \mathbb{R} : si elle représentait une dérivée, la fonction associée serait strictement croissante partout, ce qu'aucune des deux autres courbes ne vérifie. \mathcal{C}_2 représente donc f elle-même, qui est strictement croissante.
La dérivée d'une fonction strictement croissante est positive : c'est donc \mathcal{C}_3, seule courbe restant positive et cohérente avec cette croissance, qui représente f'.
Par élimination, \mathcal{C}_1 représente f'' : on vérifie que f' (courbe \mathcal{C}_3) croît puis décroît à partir de l'abscisse 4, ce qui correspond bien au changement de signe de \mathcal{C}_1 autour de cette valeur.

PartieA ; 2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_2 au point d'abscisse 4.

Ce coefficient directeur vaut f'(4), c'est-à-dire l'ordonnée du point d'abscisse 4 sur la courbe \mathcal{C}_3 (courbe de f'), soit environ 3 par lecture graphique.

PartieA ; 3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_1.

Les points d'inflexion de \mathcal{C}_1 (courbe de f'') correspondent aux changements de sens de variation visibles sur le graphique, soit environ aux abscisses 3, 4 et 5.

PartieB : Soit k un réel strictement positif et g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=\dfrac{4}{1+e^{-kx}}. 1. Déterminer les limites de g en +\infty et en -\infty.

Comme k>0, quand x\to-\infty, -kx\to+\infty donc e^{-kx}\to+\infty par composition ; par somme 1+e^{-kx}\to+\infty, donc, par quotient, g(x)\to0.
Quand x\to+\infty, -kx\to-\infty donc e^{-kx}\to0 par composition ; par somme 1+e^{-kx}\to1, donc, par quotient, g(x)\to4.
Donc, la réponse est \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0 et \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=4.

PartieB ; 2. Montrer que g'(0)=k.

g est dérivable sur \mathbb{R} comme composée et quotient de fonctions dérivables ne s'annulant pas. En écrivant g=\dfrac{4}{u} avec u(x)=1+e^{-kx}, on a u'(x)=-ke^{-kx}, donc g'=-\dfrac{4u'}{u^2}, soit g'(x)=\dfrac{4ke^{-kx}}{\left(1+e^{-kx}\right)^2}.
En x=0 : g'(0)=\dfrac{4k\,e^{0}}{(1+e^{0})^2}=\dfrac{4k}{2^2}=\dfrac{4k}{4}=k. Donc, la réponse est g'(0)=k.

PartieB ; 3. Sachant qu'un logiciel de calcul formel donne g''(x)=-4e^{kx}\left(e^{kx}-1\right)\dfrac{k^2}{\left(e^{kx}+1\right)^3}, prouver que la courbe de g admet un point d'inflexion à l'abscisse 0.

La courbe admet un point d'inflexion en un réel où g'' s'annule en changeant de signe : il faut donc étudier le signe de g''(x).
Le facteur \dfrac{4k^2e^{kx}}{\left(e^{kx}+1\right)^3} est strictement positif pour tout réel x (exponentielle positive, k^2>0). Le signe de g''(x) est donc celui de -\left(e^{kx}-1\right)=1-e^{kx}.
Or 1-e^{kx}>0 \iff e^{kx}<1 \iff kx<0 \iff x<0 (car k>0). Donc g''(x) est strictement positive sur ]-\infty~;~0[, nulle en 0, et strictement négative sur ]0~;~+\infty[ : g'' change bien de signe en 0.
Donc, la réponse est que la courbe de g admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.

1.aL'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne J(2 ; 0 ; 1), K(1 ; 2 ; 1) et L(-2 ; -2 ; -2). Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{JL}\begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{JK}\cdot\overrightarrow{JL} &= (-1)\times(-4)+2\times(-2)+0\times(-3) \\ &= 4-4+0 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs \overrightarrow{JK} et \overrightarrow{JL} sont orthogonaux, donc le triangle JKL est rectangle en J.

1.bCalculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL (en cm^{2}).

\begin{aligned}JK &= \left\|\overrightarrow{JK}\right\| \\ &= \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\ &= \sqrt5\end{aligned} et \begin{aligned}JL &= \left\|\overrightarrow{JL}\right\| \\ &= \sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2} \\ &= \sqrt{29}\end{aligned}
Le triangle étant rectangle en J, son aire vaut \mathcal{A} = \dfrac{JK\times JL}{2} = \dfrac{\sqrt5\times\sqrt{29}}{2} = \dfrac{\sqrt{145}}{2} cm^{2}.

1.cDéterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle géométrique \widehat{JKL}.

Le triangle JKL étant rectangle en J, on utilise SOH-CAH-TOA dans le triangle rectangle JKL : \begin{aligned}\tan\left(\widehat{JKL}\right) &= \dfrac{JL}{JK} \\ &= \dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}\end{aligned}
Donc, \widehat{JKL} = \arctan\left(\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}\right)\approx 67,5^{\circ}.

2.aDémontrer que le vecteur \vec n de coordonnées \begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ -10\end{pmatrix} est normal au plan (JKL).

\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{JK} &= 6\times(-1)+3\times2+(-10)\times0 \\ &= -6+6+0 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{JL} &= 6\times(-4)+3\times(-2)+(-10)\times(-3) \\ &= -24-6+30 \\ &= 0\end{aligned}
\vec n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (JKL), donc \vec n est normal au plan (JKL).

2.bEn déduire une équation cartésienne du plan (JKL).

Le plan (JKL), de vecteur normal \vec n\begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ -10\end{pmatrix}, a une équation de la forme 6x+3y-10z+d=0.
Comme J(2 ; 0 ; 1) appartient au plan : \begin{aligned}6\times2+3\times0-10\times1+d = 0 &\iff 12-10+d = 0 \\ &\iff d = -2 \end{aligned}
Donc, une équation cartésienne du plan (JKL) est 6x+3y-10z-2=0.

3.aOn note T le point de coordonnées (10 ; 9 ; -6). Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta orthogonale au plan (JKL) et passant par T.

La droite \Delta, orthogonale au plan (JKL), admet \vec n\begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ -10\end{pmatrix} comme vecteur directeur ; elle passe par T(10 ; 9 ; -6). Une représentation paramétrique est donc : \begin{cases}x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

3.bDéterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de T sur le plan (JKL).

H est l'unique point d'intersection de \Delta et du plan (JKL). On remplace les coordonnées paramétriques dans l'équation du plan : 6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0.
En développant : \begin{aligned}60+36t+27+9t+60+100t-2 = 0 &\iff 145t+145 = 0 \\ &\iff t = -1 \end{aligned}
En remplaçant t=-1 : \begin{aligned}x &= 10+6\times(-1) \\ &= 4\end{aligned} \begin{aligned}y &= 9+3\times(-1) \\ &= 6\end{aligned} \begin{aligned}z &= -6-10\times(-1) \\ &= 4\end{aligned}
Donc, H a pour coordonnées (4 ; 6 ; 4).

3.cSachant que le volume d'un tétraèdre est donné par V=\dfrac13\mathcal{B}\times h, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur correspondante, calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT (en cm^{3}).

On prend pour base le triangle JKL, d'aire \mathcal{B}=\dfrac{\sqrt{145}}{2} cm^{2} (question 1.b), et pour hauteur la longueur TH, puisque H est le projeté orthogonal de T sur le plan (JKL).
\overrightarrow{TH}\begin{pmatrix}-6 \\ -3 \\ 10\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}TH &= \sqrt{(-6)^2+(-3)^2+10^2} \\ &= \sqrt{145}\end{aligned}
\begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac{\sqrt{145}}{2}\times\sqrt{145} \\ &= \dfrac{145}{6}\end{aligned}
Donc, le volume du tétraèdre JKLT vaut \dfrac{145}{6} cm^{3}.

PartieA ; 1. Soit p la fonction définie sur [-3~;~4] par p(x) = x^3-3x^2+5x+1. Étudier les variations de p sur [-3~;~4].

p est dérivable sur [-3~;~4], avec p'(x) = 3x^2-6x+5, un trinôme du second degré de discriminant \Delta = (-6)^2-4\times3\times5 = 36-60=-24<0.
Comme \Delta<0 et que le coefficient dominant (3) est positif, p'(x)>0 pour tout x de [-3~;~4] : p est strictement croissante sur [-3~;~4].

PartieA ; 2. Justifier que l'équation p(x)=0 admet, sur [-3~;~4], une unique solution notée \alpha.

p(-3)=-68 et p(4)=37. p est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [-3~;~4], à valeurs entre -68 et 37 ; comme 0 appartient à cet intervalle, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation p(x)=0 admet une unique solution \alpha dans [-3~;~4].

PartieA ; 3. Donner une valeur approchée de \alpha au dixième près.

À la calculatrice, p(-0{,}2)\approx-0{,}13<0 et p(-0{,}1)\approx0{,}47>0 : donc, \alpha\approx-0{,}2 au dixième près.

PartieA ; 4. Donner le tableau de signes de p sur [-3~;~4].

p étant strictement croissante et s'annulant uniquement en \alpha\approx-0{,}2 : p(x)<0 sur [-3~;~\alpha[, p(\alpha)=0, et p(x)>0 sur ]\alpha~;~4].

PartieB ; 1.a Soit f la fonction définie sur [-3~;~4] par f(x) = \dfrac{e^x}{1+x^2}, de courbe \mathcal{C}_f. Déterminer f'(x).

f est dérivable sur [-3~;~4] (car 1+x^2\neq0), et par la formule de dérivation d'un quotient : f'(x) = \dfrac{e^x(1+x^2)-e^x\times2x}{(1+x^2)^2} = \dfrac{e^x\left(x^2-2x+1\right)}{(1+x^2)^2} = \dfrac{(x-1)^2\,e^x}{(1+x^2)^2}.

PartieB ; 1.b Justifier que \mathcal{C}_f admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

f'(x)=0 \iff (x-1)^2e^x=0 \iff (x-1)^2=0 (car e^x\neq0) \iff x=1.
Donc, f'(1)=0 : la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 est horizontale, d'équation \begin{aligned}y &= f(1) \\ &= \dfrac{e}{2}\end{aligned}

PartieB ; 2.a Des concepteurs utilisent \mathcal{C}_f comme profil d'un toboggan, en estimant que le profil assure de bonnes sensations s'il possède au moins deux points d'inflexion. D'après le graphique fourni, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?

Graphiquement, la courbe \mathcal{C}_f semble convexe sur [-3~;~0], concave sur [0~;~1], puis de nouveau convexe sur [1~;~4] : elle change donc deux fois de convexité, aux abscisses 0 et 1. Le toboggan semble assurer de bonnes sensations.

PartieB ; 2.b On admet que, pour tout x de [-3~;~4], f''(x) = \dfrac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}, où p est la fonction de la partie A. Confirmer, en justifiant, si le toboggan assure de bonnes sensations.

Sur [-3~;~4], (1+x^2)^3>0 et e^x>0, donc f''(x) est du signe de p(x)(x-1).
D'après le tableau de signes de p (partie A, question 4) : p(x)<0 sur [-3~;~\alpha[ et p(x)>0 sur ]\alpha~;~4] ; par ailleurs x-1<0 sur [-3~;~1[ et x-1>0 sur ]1~;~4].
En croisant les signes : p(x)(x-1) est positif sur [-3~;~\alpha[, négatif sur ]\alpha~;~1[, puis positif sur ]1~;~4] : f'' change donc bien de signe en x=\alpha et en x=1.
\mathcal{C}_f admet donc bien deux points d'inflexion (aux abscisses \alpha et 1) : le toboggan assure de bonnes sensations, ce qui confirme la lecture graphique.

PartieA ; 1. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x) = e^x-x. Déterminer les limites de h en -\infty et en +\infty.

En -\infty : \lim\limits_{x\to-\infty}e^x = 0 et \lim\limits_{x\to-\infty}(-x) = +\infty, donc par somme de limites, \lim\limits_{x\to-\infty}h(x) = +\infty.
En +\infty : pour x\neq0, on écrit h(x) = x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right) = +\infty.
Par produit de limites (avec \lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty), \lim\limits_{x\to+\infty}h(x) = +\infty.

PartieA ; 2. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variation.

h est dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables, avec h'(x) = e^x-1.
h'(x) > 0 \iff e^x>1 \iff e^x>e^0 \iff x>0, et de même h'(x)<0 \iff x<0, puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
h est donc strictement décroissante sur ]-\infty~;~0] puis strictement croissante sur [0~;~+\infty[, avec un minimum en x=0 valant \begin{aligned}h(0) &= e^0-0 \\ &= 1\end{aligned}
Tableau de variation : h décroît de +\infty à h(0)=1 sur ]-\infty~;~0], puis croît de 1 à +\infty sur [0~;~+\infty[.

PartieA ; 3. En déduire que, si a et b sont deux réels tels que 0<a<b, alors h(a)-h(b)<0.

D'après la question précédente, h est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.
Si 0<a<b, alors par stricte croissance de h sur cet intervalle, h(a)<h(b), ce qui équivaut à h(a)-h(b)<0.

PartieB ; 1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x, de courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente T à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 0.

Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y = f(0)+f'(0)(x-0).
Comme f'=f pour la fonction exponentielle, f(0)=f'(0)=e^0=1.
Donc, une équation de T est y = 1+1\times x, soit y=x+1.

PartieB ; 2. On s'intéresse à l'écart, au voisinage de 0, entre T et \mathcal{C}_f, aux points d'abscisse \dfrac{1}{n} (avec n entier naturel non nul). Cet écart est la différence des ordonnées des points de T et \mathcal{C}_f de même abscisse. On pose, pour tout entier naturel non nul n, u_n = \exp\left(\dfrac1n\right)-\dfrac1n-1. Déterminer la limite de la suite (u_n).

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n = 0, donc par composition, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}\exp\left(\dfrac1n\right) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}
Donc, par somme de limites, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}u_n &= 1-0-1 \\ &= 0\end{aligned}

PartieB ; 3.a Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, u_{n+1}-u_n = h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac1n\right), où h est la fonction de la partie A.

u_{n+1}-u_n = \left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-1\right]-\left[\exp\left(\dfrac1n\right)-\dfrac1n-1\right].
En développant, les termes constants -1 et +1 s'éliminent : u_{n+1}-u_n = \exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-\exp\left(\dfrac1n\right)+\dfrac1n.
En regroupant : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}\right]-\left[\exp\left(\dfrac1n\right)-\dfrac1n\right] \\ &= h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac1n\right)\end{aligned} puisque h(x)=e^x-x.

PartieB ; 3.b En déduire le sens de variation de la suite (u_n).

Pour tout entier naturel non nul n, on a {0<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac1n}.
D'après la question 3 de la partie A (avec a=\dfrac{1}{n+1} et b=\dfrac1n), on a donc h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac1n\right)<0.
D'après la question précédente, cela signifie que u_{n+1}-u_n<0 pour tout entier naturel non nul n : la suite (u_n) est donc strictement décroissante.

PartieB ; 4. Un tableau de valeurs approchées à 10^{-9} près donne : u_1\approx0{,}718281828 ; u_2\approx0{,}148721271 ; u_3\approx0{,}062279092 ; u_4\approx0{,}034025417 ; u_5\approx0{,}021402758 ; u_6\approx0{,}014693746 ; u_7\approx0{,}010707852 ; u_8\approx0{,}008148453 ; u_9\approx0{,}006407958 ; u_{10}\approx0{,}005170918. Donner la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle l'écart entre T et \mathcal{C}_f semble être inférieur à 10^{-2}.

La suite (u_n) étant strictement décroissante (question 3.b), on cherche dans le tableau le premier terme strictement inférieur à 10^{-2}=0{,}01.
On lit u_7\approx0{,}010707852>0{,}01, tandis que u_8\approx0{,}008148453<0{,}01.
Donc, la plus petite valeur de n pour laquelle l'écart entre T et \mathcal{C}_f semble inférieur à 10^{-2} est n=8.

1.Soit f la fonction dérivable sur \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}. Quelle est l'expression de f'(x) : a. \text{e}^{-x} ; b. x\text{e}^{-x} ; c. (1-x)\text{e}^{-x} ; d. (1+x)\text{e}^{-x} ?

En écrivant f(x) = x\text{e}^{-x} (produit de x par \text{e}^{-x}), la formule de dérivation d'un produit donne, pour tout réel x : f'(x) = 1\times\text{e}^{-x} + x\times\left(-\text{e}^{-x}\right) = (1-x)\,\text{e}^{-x}.
Réponse c.

2.Soit f une fonction deux fois dérivable sur [-3~;~1], dont on donne la courbe représentative de la fonction dérivée seconde f'' : celle-ci est positive sur [-3~;~-1], s'annule en x=-1, puis est négative sur [-1~;~1]. Que peut-on affirmer : a. f convexe sur [-1~;~1] ; b. f concave sur [-2~;~0] ; c. f' décroissante sur [-2~;~0] ; d. f' admet un maximum en x=-1 ?

Comme f'' est positive sur [-3~;~-1], la fonction f' est croissante sur cet intervalle ; comme f'' est négative sur [-1~;~1], la fonction f' est décroissante sur cet intervalle.
La fonction f' est donc croissante puis décroissante, avec un changement de sens de variation en x=-1 : f' admet donc un maximum local en x=-1.
Réponse d.

3.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}. Si F est une primitive de f sur \mathbb{R}, laquelle des expressions suivantes convient : a. F(x) = -\dfrac16\left(x^3+1\right)\text{e}^{-x^2} ; b. F(x) = -\dfrac14x^4\text{e}^{-x^2} ; c. F(x) = -\dfrac12\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2} ; d. F(x) = x^2(3-2x^2)\text{e}^{-x^2} ?

Pour identifier la bonne primitive, on dérive chaque candidate et on compare le résultat à f(x)=x^3\text{e}^{-x^2}. Testons la proposition c : F(x) = -\dfrac12\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2}.
En utilisant la formule de dérivation d'un produit, avec u(x)=-\dfrac12(x^2+1) et v(x)=\text{e}^{-x^2}, on a u'(x)=-x et v'(x)=-2x\,\text{e}^{-x^2} : F'(x) = -x\,\text{e}^{-x^2} + \left(-\dfrac12(x^2+1)\right)\times\left(-2x\,\text{e}^{-x^2}\right) = -x\,\text{e}^{-x^2} + x(x^2+1)\text{e}^{-x^2}.
En factorisant : F'(x) = \text{e}^{-x^2}\left(-x+x^3+x\right) = x^3\,\text{e}^{-x^2} = f(x). La proposition c convient bien.
Réponse c.

4.Que vaut \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1} : a. -1 ; b. 1 ; c. +\infty ; d. n'existe pas ?

Pour lever l'indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant \text{e}^x (non nul) : \begin{aligned}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1} &= \dfrac{\text{e}^x\left(1+\text{e}^{-x}\right)}{\text{e}^x\left(1-\text{e}^{-x}\right)} \\ &= \dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x} = 0, donc par limite de quotient, \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}} &= \dfrac{1+0}{1-0} \\ &= 1\end{aligned}
Réponse b.

5.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^{2x+1}. La seule primitive F sur \mathbb{R} de f telle que F(0)=1 est : a. x\longmapsto2\text{e}^{2x+1}-2\text{e}+1 ; b. x\longmapsto2\text{e}^{2x+1}-\text{e} ; c. x\longmapsto\dfrac12\text{e}^{2x+1}-\dfrac12\text{e}+1 ; d. x\longmapsto\text{e}^{x^2+x} ?

La fonction f est continue sur \mathbb{R}, donc elle admet des primitives sur \mathbb{R}. En remarquant que f(x) = \dfrac12\times2\,\text{e}^{2x+1} est de la forme u'(x)\text{e}^{u(x)} avec u(x)=2x+1, une primitive générale de f s'écrit F(x) = \dfrac12\text{e}^{2x+1}+k, avec k une constante réelle.
La condition F(0)=1 donne \dfrac12\text{e}^{1}+k=1, soit k=1-\dfrac12\text{e}.
On obtient donc F(x) = \dfrac12\text{e}^{2x+1}+1-\dfrac12\text{e}.
Réponse c.

6.Une fonction f est définie et deux fois dérivable sur [-2~;~4] ; on donne sa courbe représentative, qui laisse apparaître un profil concave sur [-2~;~1] puis convexe sur [1~;~4], avec un point d'inflexion en x=1. Parmi quatre courbes proposées, laquelle représente la fonction dérivée seconde f'' de f ?

Comme f est concave sur [-2~;~1], on a f''(x)\leqslant0 sur cet intervalle ; comme f est convexe sur [1~;~4], on a f''(x)\geqslant0 sur cet intervalle. La fonction f'' change donc de signe (de négatif à positif) en s'annulant en x=1.
Parmi les quatre courbes proposées, une seule est négative sur [-2~;~1], s'annule en changeant de signe en x=1, puis devient positive sur [1~;~4].
Réponse a.

PartieA : On considère les fonctions f et g définies sur [0~;~+\infty[ par f(x) = 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) et g(x) = (-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x}-2{,}2. On admet que f et g sont dérivables sur [0~;~+\infty[, de dérivées respectives f' et g'. On donne le tableau de variations complet de f : croissante sur [0~;~6{,}85] de f(0)=0 à f(6{,}85), puis décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[ vers -\infty. 1.a Justifier la limite de f en +\infty.

Pour tout x>0, f(x) = 0{,}06x^2\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right).
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{13{,}7}{x} = 0, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right) = -1 ; de plus \lim\limits_{x\to+\infty}0{,}06x^2 = +\infty.
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

1.bJustifier les variations de la fonction f affichées dans le tableau.

f est une fonction polynôme, donc dérivable sur [0~;~+\infty[, avec f'(x) = 0{,}06\times(-2x+13{,}7) = -0{,}12x+0{,}822.
f'(x) > 0 \iff -0{,}12x+0{,}822 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}822}{0{,}12} = 6{,}85, et de même f'(x) < 0 \iff x > 6{,}85.
Donc, f est croissante sur [0~;~6{,}85] et décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[, conformément au tableau donné.

1.cRésoudre l'équation f(x)=0.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) = 0 \\ &\iff -x^2+13{,}7x = 0 \\ &\iff x(13{,}7-x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou x=13{,}7.
Donc, l'ensemble des solutions est S=\{0~;~13{,}7\}.

2.aDéterminer la limite de g en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2) = -\infty et \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{0,2x} = +\infty (limite usuelle de la fonction exponentielle).
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x} = -\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = -\infty.

2.bDémontrer que, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

g est un produit de deux fonctions dérivables sur [0~;~+\infty[ : x\mapsto-0{,}15x+2{,}2, de dérivée -0{,}15, et x\mapsto\text{e}^{0,2x}, de dérivée x\mapsto0{,}2\text{e}^{0,2x} (la constante -2{,}2 ayant une dérivée nulle).
g'(x) = -0{,}15\,\text{e}^{0,2x} + (-0{,}15x+2{,}2)\times0{,}2\,\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}\left(-0{,}15-0{,}03x+0{,}44\right) = \text{e}^{0,2x}(-0{,}03x+0{,}29).
Donc, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

2.cÉtudier les variations de g sur [0~;~+\infty[ et donner une valeur approchée à 10^{-2} près de son maximum.

Pour tout x\geqslant0, \text{e}^{0,2x} > 0, donc g'(x) est du signe de -0{,}03x+0{,}29.
-0{,}03x+0{,}29 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}29}{0{,}03} = \dfrac{29}{3}, et de même g'(x) < 0 \iff x > \dfrac{29}{3}.
Donc, g est croissante sur \left[0~;~\dfrac{29}{3}\right] et décroissante sur \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[ : g admet donc un maximum en \dfrac{29}{3}.
g\left(\dfrac{29}{3}\right) = \left(-0{,}15\times\dfrac{29}{3}+2{,}2\right)\text{e}^{0,2\times\frac{29}{3}}-2{,}2 \approx 2{,}98 (arrondi au centième).

2.dMontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution non nulle sur [0~;~+\infty[ et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.

On remarque déjà que g(0) = (0+2{,}2)\text{e}^0-2{,}2 = 2{,}2-2{,}2 = 0 : x=0 est donc une solution évidente.
Sur l'intervalle \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[, la fonction g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98 vers -\infty.
Comme 0 appartient à l'intervalle \left]-\infty~;~2{,}98\right[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle, avec \alpha\neq0 puisque {\alpha>\dfrac{29}{3}>0}.
À la calculatrice, on obtient \alpha\approx13{,}72 (arrondi au centième).

PartieB : On admet que 13{,}7 annule f et est une approximation de la valeur qui annule g. Pour x représentant, en dizaine de yards, la distance horizontale parcourue par une balle de golf après la frappe (avec 0<x<13{,}7), f(x) (ou g(x), selon le modèle choisi) représente la hauteur correspondante de la balle, dans la même unité. L'angle de décollage est l'angle d tel que \tan(d) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; l'angle d'atterrissage est l'angle a tel que \tan(a) est l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7. Première modélisation (fonction f) ; 1.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle ?

D'après la Partie A, le maximum de f sur [0~;~+\infty[ est atteint en x=6{,}85, avec \begin{aligned}f(6{,}85) &= 0{,}06\left(-6{,}85^2+13{,}7\times6{,}85\right) \\ &= 2{,}81535\end{aligned}
Cette hauteur est exprimée en dizaine de yards, donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut 28{,}1535 yards, soit environ 28,2 yards.

1.bVérifier que f'(0) = 0{,}822.

D'après la question 1.b de la Partie A, f'(x) = -0{,}12x+0{,}822, donc f'(0) = 0{,}822.

1.cDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est f'(0) = 0{,}822, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}822.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni dans l'énoncé), d = \arctan(0{,}822) \approx 39{,}4^{\circ} (arrondi au dixième).

1.dQuelle propriété graphique de la courbe de f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux, selon ce modèle ?

La courbe de f est un arc de parabole, symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=6{,}85 (l'abscisse de son sommet, qui est le milieu de l'intervalle [0~;~13{,}7]). Cette symétrie échange les points d'abscisses 0 et 13{,}7 et transforme donc la tangente en 0 en la tangente en 13{,}7 (à une réflexion près), ce qui justifie que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.

Seconde modélisation (fonction g) ; 2.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle selon ce modèle ? (On précise que g'(0)=0{,}29 et g'(13{,}7)\approx-1{,}87.)

D'après la question 2.c de la Partie A, le maximum de g sur [0~;~+\infty[ vaut g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98, exprimé en dizaine de yards.
Donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut environ 29,8 yards selon ce modèle.

2.bDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est g'(0) = 0{,}29, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}29.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni), d = \arctan(0{,}29) \approx 16{,}2^{\circ} (arrondi au dixième).

2.cJustifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle selon ce modèle.

L'angle d'atterrissage a vérifie \tan(a) = -g'(13{,}7), l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7.
Comme g'(13{,}7)\approx-1{,}87, on a \tan(a) \approx 1{,}87, d'où \begin{aligned}a &= \arctan(1{,}87) \\ &\approx 61{,}9\end{aligned}^{\circ}, soit 62^{\circ} arrondi à l'unité.

PartieC : Des observations sur des joueurs professionnels donnent, en moyenne : angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}, distance horizontale au point de chute 137 yards (soit 13{,}7 dizaines de yards, cohérent avec les deux modèles). Quel modèle, parmi les deux étudiés, semble le plus adapté pour décrire la frappe d'un joueur professionnel ? Justifier.

Comparons les deux modèles aux observations professionnelles (angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}) :
Avec le modèle f : angle de décollage \approx39{,}4^{\circ} (net écart avec 24^{\circ}, surestimation), hauteur maximale \approx28{,}2 yards (sous-estimation), angles de décollage et d'atterrissage égaux entre eux (alors que les observations donnent 24^{\circ} et 52^{\circ}, très différents).
Avec le modèle g : angle de décollage \approx16{,}2^{\circ} (sous-estimation, mais ordre de grandeur plus proche que f), hauteur maximale \approx29{,}8 yards (sous-estimation, mais plus proche de 32 que le modèle f), angle d'atterrissage \approx62^{\circ} (surestimation, mais du même ordre que 52^{\circ}, et surtout nettement supérieur à l'angle de décollage comme dans les observations).
Le modèle g reproduit qualitativement le fait que l'angle d'atterrissage est bien plus grand que l'angle de décollage (comportement observé chez les professionnels), ce que le modèle f, de par sa symétrie, est structurellement incapable de reproduire.
Donc, même si aucun des deux modèles ne redonne exactement les valeurs observées, le modèle g semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

1.On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}. Peut-on affirmer qu'elle diverge vers +\infty, qu'elle diverge vers -\infty, qu'elle n'a pas de limite, ou qu'elle converge ?

Pour tout entier naturel n, on a {-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1}. Comme {n+1 \geqslant 1 > 0}, en divisant par n+1 : {-\dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}}.
Or \lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}\right) = 0 et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0, donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 0.
La suite (u_n) admet donc une limite finie : elle converge.

2.On considère deux suites (v_n) et (w_n) liées par w_n = \text{e}^{-2v_n}+2. Soit a un réel strictement positif, avec v_0=\ln(a). Que vaut w_0 : \dfrac{1}{a^2}+2, \dfrac{1}{a^2+2}, -2a+2, ou \dfrac{1}{-2a}+2 ?

On remplace v_0 par \ln(a) dans l'expression de w_0 : w_0 = \text{e}^{-2v_0}+2 = \text{e}^{-2\ln(a)}+2.
Or \text{e}^{-2\ln(a)} = \text{e}^{\ln\left(a^{-2}\right)} = a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} (car a>0), donc w_0 = \dfrac{1}{a^2}+2.
Donc, la réponse est w_0 = \dfrac{1}{a^2}+2.

3.On sait que la suite (v_n) de la question précédente est croissante. Peut-on affirmer que (w_n) est décroissante et majorée par 3, décroissante et minorée par 2, croissante et majorée par 3, ou croissante et minorée par 2 ?

Comme (v_n) est croissante, pour tout entier naturel n : v_n \leqslant v_{n+1}, donc -2v_n \geqslant -2v_{n+1} (multiplication par -2, qui renverse le sens de l'inégalité).
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R}, cette inégalité entraîne \text{e}^{-2v_n} \geqslant \text{e}^{-2v_{n+1}}, puis, en ajoutant 2 des deux côtés : \text{e}^{-2v_n}+2 \geqslant \text{e}^{-2v_{n+1}}+2, soit w_n \geqslant w_{n+1}.
La suite (w_n) est donc décroissante.
Par ailleurs, pour tout réel \beta, \text{e}^{\beta} > 0, donc w_n = \text{e}^{-2v_n}+2 > 2 pour tout entier naturel n : la suite (w_n) est minorée par 2.
Donc, la réponse est : la suite (w_n) est décroissante et minorée par 2.

4.On considère la suite (a_n) définie par a_0=2 et, pour tout entier naturel n, a_{n+1}=\dfrac13a_n+\dfrac83. Pour tout entier naturel n, laquelle de ces expressions donne a_n : 4\times\left(\dfrac13\right)^n-2, -\dfrac{2}{3^n}+4, 4-\left(\dfrac13\right)^n, ou 2\times\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac{8n}{3} ?

Cherchons le réel \ell tel que la suite constante égale à \ell soit solution de la relation de récurrence : \begin{aligned}\ell = \dfrac13\ell+\dfrac83 &\iff \dfrac23\ell = \dfrac83 \\ &\iff \ell = 4 \end{aligned}
Posons alors, pour tout entier naturel n, b_n = a_n-4. On a \begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}-4 \\ &= \dfrac13a_n+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13(b_n+4)+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13b_n+\dfrac43+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13b_n+4-4 \\ &= \dfrac13b_n\end{aligned}
La suite (b_n) est donc géométrique de raison \dfrac13 et de premier terme \begin{aligned}b_0 &= a_0-4 \\ &= 2-4 \\ &= -2\end{aligned}
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}b_n &= b_0\times\left(\dfrac13\right)^n \\ &= -2\times\left(\dfrac13\right)^n \\ &= -\dfrac{2}{3^n}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}a_n &= b_n+4 \\ &= -\dfrac{2}{3^n}+4\end{aligned}

5.On considère une suite (b_n) telle que, pour tout entier naturel n, b_{n+1} = b_n+\ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right). Peut-on affirmer que cette suite est croissante, décroissante, non monotone, ou que son sens de variation dépend de b_0 ?

Pour tout entier naturel n : b_{n+1}-b_n = \ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right).
Or, quel que soit le réel b_n, on a (b_n)^2 \geqslant 0, donc (b_n)^2+3 \geqslant 3.
Comme 3 > 2, on en déduit (b_n)^2+3 > 2, donc {0 < \dfrac{2}{(b_n)^2+3} < 1}.
La fonction logarithme népérien étant strictement négative sur ]0~;~1[, on a \ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right) < 0, donc b_{n+1}-b_n < 0.
Cette inégalité est vraie pour tout entier naturel n, quel que soit le premier terme b_0 : donc, la réponse est que la suite (b_n) est décroissante.

6.On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}, de courbe représentative \mathcal{C}_g dans un repère orthogonal. La courbe \mathcal{C}_g admet-elle une asymptote verticale et une asymptote horizontale, une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale, aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale, ou aucune des deux ?

Au voisinage de 0 (avec x>0) : \lim\limits_{x\to0}\text{e}^x = 1 et \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}x = 0^+, donc, par quotient de limites, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}g(x) = +\infty : la courbe \mathcal{C}_g admet donc l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Au voisinage de +\infty : par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty (l'exponentielle l'emporte sur x). La courbe \mathcal{C}_g ne présente donc aucune asymptote horizontale en +\infty.
Donc, la réponse est : la courbe \mathcal{C}_g admet une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

7.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\,\text{e}^{x^2+1}, et F une primitive de f sur \mathbb{R}. Laquelle de ces expressions donne F(x) pour tout réel x : \dfrac12x^2\text{e}^{x^2+1}, \left(1+2x^2\right)\text{e}^{x^2+1}, \text{e}^{x^2+1}, ou \dfrac12\text{e}^{x^2+1} ?

Posons u(x) = x^2+1, de dérivée u'(x) = 2x. On peut alors écrire f(x) = x\,\text{e}^{x^2+1} = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{u(x)} = \dfrac12u'(x)\text{e}^{u(x)}.
Or une primitive de u'\text{e}^{u} est \text{e}^{u}, donc une primitive de \dfrac12u'\text{e}^u est \dfrac12\text{e}^u, c'est-à-dire \dfrac12\text{e}^{x^2+1}.
Vérification directe : si F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}, alors F'(x) = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{x^2+1} = x\,\text{e}^{x^2+1} = f(x), ce qui confirme le résultat.
Donc, la réponse est F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}.

1.a.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^3e^x et la suite (u_n) définie par u_0=-1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n). Calculer u_1 puis u_2 (valeurs exactes puis approchées à 10^{-3} près).

\begin{aligned}u_1 &= f(u_0) \\ &= f(-1) \\ &= (-1)^3e^{-1} \\ &= -e^{-1} \\ &= -\dfrac{1}{e} \\ &\approx -0{,}368\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= f(u_1) \\ &= \left(-e^{-1}\right)^3 \times e^{-e^{-1}} \\ &= -e^{-3}\times e^{-e^{-1}} \\ &= -e^{-3-e^{-1}} \\ &\approx -0{,}034\end{aligned}

1.b.Le code Python ci-dessous définit une fonction fonc(n) qui, partant de u=-1, applique n fois de suite l'instruction u = u3*exp(u) avant de renvoyer u. Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc(2), arrondie à 10^{-3} près.

La boucle applique deux fois la relation u_{n+1}=f(u_n) à partir de u_0=-1, donc fonc(2) renvoie la valeur de u_2, soit environ -0,034.

2.a.Démontrer que, pour tout réel x, f'(x) = x^2e^x(x+3).

La fonction f(x)=x^3e^x est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables. En dérivant ce produit, on obtient f'(x) = 3x^2\times e^x + x^3\times e^x = x^2e^x(3+x), ce qui est bien le résultat annoncé.

2.b.Justifier le tableau de variations de f sur \mathbb{R} (minimum en x=-3, limites 0 en -\infty et +\infty en +\infty).

Pour tout réel x, x^2 \geqslant 0 et e^x>0, donc le signe de f'(x) = x^2e^x(x+3) est celui de (x+3), sauf en x=0 où f'(x)=0 car x^2=0.
On a x+3<0 \iff x<-3 : donc f'(x)<0 sur ]-\infty~;~-3[, et f y est strictement décroissante.
On a x+3>0 \iff x>-3 : donc f'(x)>0 sur ]-3~;~+\infty[ (sauf au point isolé x=0 où f' s'annule sans changer de signe), et f y est strictement croissante.
La fonction f admet donc un minimum en x=-3, qui vaut \begin{aligned}f(-3) &= (-3)^3\times e^{-3} \\ &= -27e^{-3} \\ &= -\dfrac{27}{e^3} \\ &\approx -1{,}344\end{aligned}
Par ailleurs, \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^3 = +\infty et \displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty, donc, par produit de limites, \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty.
Ceci justifie bien le tableau de variations donné dans l'énoncé.

2.c.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}.

Initialisation : on a u_0=-1 et \begin{aligned}u_1 &= -e^{-1} \\ &\approx -0{,}368\end{aligned} On vérifie bien {-1 \leqslant -1 \leqslant -0{,}368 \leqslant 0}, donc l'encadrement est vrai au rang 0.
Hérédité : supposons que, pour un entier naturel n fixé, on ait {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}.
D'après la question 2.b., la fonction f est strictement croissante sur ]-3~;~+\infty[, donc en particulier sur [-1~;~0], qui contient tous les termes encadrés par hypothèse de récurrence.
En appliquant f, qui est croissante sur cet intervalle, à chaque membre de l'inégalité {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}, on obtient {f(-1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(0)}, c'est-à-dire {u_1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant f(0)}.
Or \begin{aligned}f(0) &= 0^3\times e^0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}u_1 &= -e^{-1} \\ &\approx -0{,}368 \\ &\geqslant -1\end{aligned} donc on obtient bien {-1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 0} : la relation est vraie au rang n+1.
Conclusion : l'encadrement est vrai au rang 0 et il est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}.

2.d.En déduire que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_n \leqslant u_{n+1} : la suite (u_n) est donc croissante.
Toujours d'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_{n+1} \leqslant 0, donc u_n \leqslant 0 (en particulier pour \begin{aligned}u_0 &= -1 \\ &\le 0\end{aligned}) : la suite (u_n) est majorée par 0.
Donc, d'après le théorème de la limite monotone, la suite (u_n), croissante et majorée, est convergente vers une limite \ell vérifiant \ell \leqslant 0.

2.e.On note \ell la limite de (u_n), solution de l'équation f(x)=x. Déterminer \ell, sachant que l'équation x^2e^x-1=0 n'admet pas de solution dans ]-1~;~0[.

D'après la question 2.c., tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle [-1~;~0], donc \ell \in [-1~;~0].
On résout l'équation f(x)=x sur cet intervalle : \begin{aligned}x^3e^x = x &\iff x^3e^x-x = 0 \\ &\iff x\left(x^2e^x-1\right) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou x^2e^x-1=0.
Or, par hypothèse, l'équation x^2e^x-1=0 n'a pas de solution dans ]-1~;~0[, donc, sur l'intervalle [-1~;~0], la seule solution possible de f(x)=x est x=0 (qui appartient bien à [-1~;~0]).
Donc, \begin{aligned}\ell &= \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \\ &= 0\end{aligned}