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A.1Justifier que a = 1.

Le point A(0 ; 1) appartient à la courbe, donc f(0) = 1. Or \begin{aligned}f(0) &= a + \dfrac{b\ln(1)}{1} \\ &= a + 0 \\ &= a\end{aligned} Donc a = 1.

A.2.aEn utilisant le graphique, donner la valeur de f'(0). Justifier.

La tangente T_A passe par A(0 ; 1) et semble également passer par le point de coordonnées (0{,}5 ; 3) (lecture graphique).
Son coefficient directeur est donc \begin{aligned}\dfrac{3-1}{0{,}5-0} &= \dfrac{2}{0{,}5} \\ &= 4\end{aligned}
f'(0) = 4 (coefficient directeur de la tangente en A).

A.2.bEn utilisant le graphique, donner le signe de f''(1). Justifier.

Le graphique montre que la courbe atteint son maximum peu avant x = 1, puis décroît en restant concave (tournée vers le bas) au voisinage de x = 1.
Le signe de f''(1) correspond donc au sens de variation de f' (la pente) à cet endroit, qui diminue juste après le maximum.
f''(1) est négatif.

A.3.aMontrer que, pour tout réel x appartenant à ]-1 ; +\infty[, on a f'(x) = b(1 - ln(x+1))/(x+1)^{2}.

On dérive \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} par la formule du quotient \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} avec u = \ln(x+1) et v = x+1.
u' = \dfrac{1}{x+1} et v' = 1, donc u'v - uv' = \dfrac{1}{x+1} \times (x+1) - \ln(x+1) \times 1 = 1 - \ln(x+1).
Donc f'(x) = b \times \dfrac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^{2}}.

A.3.bEn déduire la valeur de b.

D'après la question 2.a, f'(0) = 4. Or f'(0) = b \times \dfrac{1 - \ln(1)}{1^{2}} = b \times 1 = b. Donc b = 4.

B.1Justifier que la droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de f.

Quand x \to +\infty, on sait que \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} \to 0 (limite usuelle du type \dfrac{\ln(t)}{t} \to 0 quand t \to +\infty).
Donc \begin{aligned}f(x) &= 1 + \dfrac{4\ln(x+1)}{x+1} \to 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned} quand x \to +\infty.
La droite d'équation y = 1 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +\infty.

B.2Résoudre l'inéquation 1 - ln(x+1) > 0 sur ]-1 ; +\infty[.

{1 - \ln(x+1) > 0 \Leftrightarrow \ln(x+1) < 1 \Leftrightarrow x + 1 < e} (la fonction ln étant strictement croissante), soit x < e - 1.
L'ensemble des solutions, en tenant compte du domaine x > -1, est ]-1 ; e-1[.

B.3Dresser le tableau de variation complet de f, en indiquant la valeur exacte de son extremum.

Le signe de f'(x) = \dfrac{4(1-\ln(x+1))}{(x+1)^{2}} est celui de 1-\ln(x+1) (le dénominateur est toujours positif).
D'après la question précédente, f'(x) > 0 sur ]-1 ; e-1[ et f'(x) < 0 sur ]e-1 ; +\infty[ : f est donc croissante puis décroissante, avec un maximum en x = e-1.
\begin{aligned}f(e-1) &= 1 + \dfrac{4\ln(e)}{e} \\ &= 1 + \dfrac{4}{e}\end{aligned} (valeur exacte du maximum).
Aux bornes : \lim_{x \to -1} f(x) = -\infty (admis) et \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 (question B.1).
Tableau : f décroît de -\infty à -1 (exclu), croît de -\infty à 1+\dfrac{4}{e} sur ]-1 ; e-1], puis décroît de 1+\dfrac{4}{e} vers 1 (sans l'atteindre) sur [e-1 ; +\infty[.

B.4Montrer que l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution dans [2 ; +\infty[. En donner une valeur approchée à 10^{-1}.

Sur [2 ; +\infty[ (inclus dans ]e-1 ; +\infty[ puisque e-1 \approx 1{,}72 < 2), f est continue et strictement décroissante.
\begin{aligned}f(2) &= 1 + \dfrac{4\ln(3)}{3} \\ &\approx 2{,}46\end{aligned} et \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.
Comme 1{,}5 est compris entre ces deux valeurs, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution dans [2 ; +\infty[.
À l'aide de la calculatrice, on trouve une valeur approchée de cette solution : x_0 \approx 25,1.

B.5.aMontrer que l'intégrale de ln(x+1)/(x+1) entre 0 et 2 est égale à (\dfrac{1}{2})(ln3)^{2}.

On pose u = \ln(x+1), donc du = \dfrac{1}{x+1}dx ; quand x=0, \begin{aligned}u &= \ln(1) \\ &= 0\end{aligned} et quand x=2, u=\ln(3).
\displaystyle \int\limits_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}dx = \int\limits_0^{\ln(3)} u \, du = \left[\dfrac{u^{2}}{2}\right]_0^{\ln(3)} = \dfrac{(\ln 3)^{2}}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}.

B.5.bEn déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de f, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2.

Sur [0 ; 2], la fonction f est strictement positive (elle vaut 1 en x=0 et reste au-dessus de 2,4 ensuite) : l'aire cherchée est donc \displaystyle \int\limits_0^2 f(x)\,dx.
\begin{aligned}\displaystyle \int\limits_0^2 f(x)\,dx &= \int\limits_0^2 1\,dx + 4\int\limits_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}dx \\ &= [x]_0^2 + 4 \times \dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2} \\ &= 2 + 2(\ln 3)^{2}\end{aligned}
L'aire cherchée est 2 + 2(\ln 3)^{2} unités d'aire, soit environ 4,41 u.a.

A.1.aÀ l'aide du graphique, donner f'(1) (la courbe admet une tangente horizontale au point C d'abscisse 1).

La tangente en C (abscisse 1) est parallèle à l'axe des abscisses, donc de coefficient directeur nul : f'(1) = 0.

A.1.bDonner la solution de l'équation f(x) = 0 sur [0 ; 3] (la courbe coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse \dfrac{1}{2}).

La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'au point A, d'abscisse \dfrac{1}{2} : la solution de f(x)=0 sur [0;3] est \dfrac{1}{2}.

A.2Déterminer f'(\dfrac{1}{2}) (la tangente en A(\dfrac{1}{2} ; 0) passe par B(1 ; e^{2})).

f'\left(\dfrac{1}{2}\right) est le coefficient directeur de la tangente en A, c'est-à-dire de la droite (AB) :
\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{e^{2} - 0}{1 - \frac{1}{2}} = 2e^{2}.

A.3Parmi les courbes C1, C2 et C3, indiquer lesquelles représentent des primitives de f.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent uniquement d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.
C'est le cas de \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, qui ont la même forme décalée verticalement.
\mathcal{C}_3 est décroissante là où f est positive (autour de x = 0,5 à 0,7), ce qui est incompatible avec une primitive de f à cet endroit.
Les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentent des primitives de f.

B.1.aVérifier que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f(x) = e^{2} \times (2x-1)/e^{2x-1} (avec f(x) = (2x-1)e^{-2x+3}).

On remarque que -2x+3 = -(2x-1)+2, donc e^{-2x+3} = e^{-(2x-1)} \times e^{2}.
\begin{aligned}f(x) &= (2x-1) \times e^{-(2x-1)} \times e^{2} \\ &= e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}}\end{aligned}

B.1.bEn déduire la limite de f en +\infty (on pourra poser X = 2x-1).

Quand x \to +\infty, X = 2x-1 \to +\infty, et par croissances comparées \dfrac{X}{e^{X}} \to 0.
Donc \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0, puis f(x) = e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0.

B.2.aMontrer que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f'(x) = (-4x+4)e^{-2x+3}.

En dérivant le produit f(x) = (2x-1)e^{-2x+3} :
f'(x) = 2 \times e^{-2x+3} + (2x-1) \times (-2)e^{-2x+3} = \left(2 - 2(2x-1)\right)e^{-2x+3} = (2-4x+2)e^{-2x+3} = (-4x+4)e^{-2x+3}.

B.2.bConstruire le tableau complet des variations de f sur [0 ; +\infty[.

L'exponentielle étant toujours strictement positive, f'(x) est du signe de (-4x+4), positif avant x=1 et négatif après.
f est donc croissante sur [0;1] puis décroissante sur [1;+\infty[.
\begin{aligned}f(0) &= (0-1)e^{3} \\ &= -e^{3}\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= (2-1)e^{1} \\ &= e\end{aligned}
Tableau : f croît de -e^{3} à e sur [0;1], puis décroît de e vers 0 (sans l'atteindre) sur [1;+\infty[.

B.3Justifier que la contrainte du client se traduit par f(\alpha) = 0,15, puis montrer qu'il existe une unique valeur de \alpha dans [1 ; +\infty[ vérifiant cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Le point (\alpha ; f(\alpha)) et son symétrique (\alpha ; -f(\alpha)) par rapport à l'axe des abscisses sont distants verticalement de 2f(\alpha).
Cette distance doit valoir 0,3 cm : \begin{aligned}2f(\alpha) &= 0{,}3 \\ &\Leftrightarrow f(\alpha) = 0{,}15\end{aligned}
Sur [1 ; +\infty[, f est continue et strictement décroissante, de \begin{aligned}f(1) &= e \\ &\approx 2{,}7\end{aligned} vers 0 (sans l'atteindre).
Comme {0 < 0{,}15 < e}, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x) = 0,15 admet une unique solution \alpha dans [1 ; +\infty[.
À la calculatrice, on trouve \alpha \approx 3{,}3.

C.1À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale I de f entre 0,5 et 3,3 est, arrondie au dixième, égale à 3,6.

On pose u(x) = 2x-1 et v'(x) = e^{-2x+3}, donc u'(x) = 2 et v(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}.
\displaystyle I = \left[u(x)v(x)\right]_{0,5}^{3,3} - \int\limits_{0,5}^{3,3} u'(x)v(x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{2}(2x-1)e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} + \int\limits_{0,5}^{3,3} e^{-2x+3}\,dx
Le crochet vaut -\dfrac{1}{2}\left(5{,}6e^{-3,6} - 0\right) = -2{,}8e^{-3,6}.
L'intégrale restante vaut \left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} = -\dfrac{1}{2}e^{-3,6} + \dfrac{1}{2}e^{2}.
I = -2{,}8e^{-3,6} - 0{,}5e^{-3,6} + 0{,}5e^{2} = 0{,}5e^{2} - 3{,}3e^{-3,6} \approx 3,6.

C.2Déterminer le volume du porte-clé en cm^{3}, arrondi au dixième (volume = aire du logo \times épaisseur de 0,2 cm).

Le logo est symétrique par rapport à l'axe des abscisses : son aire est le double de l'aire sous la courbe de f entre 0,5 et 3,3, c'est-à-dire \begin{aligned}2I &\approx 2 \times 3{,}6 \\ &= 7{,}2\end{aligned} cm^{2}.
Volume \approx 7{,}2 \times 0{,}2 = 1,4 cm^{3}.

A.1Donner les variations de F_{2} sur ]0 ; 3].

F_2 est une primitive de f_2, donc ses variations sont données par le signe de f_2. D'après le graphique, F_2 est décroissante sur ]0 ; 0{,}3], croissante sur [0{,}3 ; 2{,}5], puis décroissante sur [2{,}5 ; 3].

A.2Identifier les courbes représentant f_{2}′ et f_{2}″.

f_2 admet un maximum en x \approx 0{,}75 (là où F_2 change de croissante à décroissante) : sa dérivée doit s'y annuler. C'est la courbe 1 qui s'annule vers 0,75 : elle représente f_2'.
Le point A (point d'inflexion de \mathcal{C}_2) est situé vers x \approx 1{,}6 : la dérivée seconde s'y annule. C'est la courbe 2 qui s'annule vers 1,6 : elle représente f_2''.

B.1.aMontrer que f_{1}′(x) = -1 - ln(x)/x^{2}.

f_1 = w + \dfrac{u}{v} avec w(x)=1-x, u(x)=1+\ln x, v(x)=x, donc w'(x)=-1, u'(x)=\dfrac{1}{x}, v'(x)=1.
f_1'(x) = w'(x) + \dfrac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v(x)^{2}} = -1 + \dfrac{1-(1+\ln x)}{x^{2}} = -1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}.

B.1.bDéterminer la limite de f_{1}′(x) en +\infty.

Par croissances comparées, \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{2}} = 0, donc, par somme, \lim\limits_{x \to +\infty} f_1'(x) = -1.

B.2.aJustifier les variations de f_{1}′ et la valeur de l'extremum.

f_1''(x) a le signe de 2\ln x - 1 (car x^{3}>0), positif pour x>e^{\dfrac{1}{2}}.
f_1' est donc décroissante sur ]0 ; e^{\dfrac{1}{2}}] puis croissante sur [e^{\dfrac{1}{2}} ; +\infty[.
f_1'(e^{\dfrac{1}{2}}) = -1-\dfrac{\ln(e^{\dfrac{1}{2}})}{e} = -1-\dfrac{1}{2e} : c'est bien la valeur du minimum du tableau.

B.2.bJustifier la limite de f_{1}′ en 0.

Quand x \to 0^+ : -\ln(x) \to +\infty et x^{2} \to 0^+, donc par quotient puis somme, \lim\limits_{x \to 0^+} f_1'(x) = +\infty.

B.2.cMontrer qu'il existe une unique solution \alpha à f_{1}′(x) = 0, puis que f_{1} admet un maximum.

Sur \left]0 ; e^{\dfrac{1}{2}}\right], f_1' est continue et strictement décroissante, avec \lim\limits_{x\to0^+} f_1'(x) = +\infty > 0 et f_1'(e^{\dfrac{1}{2}}) = -1-\frac{1}{2e} < 0 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f_1'(x)=0 y admet une unique solution.
Sur \left[e^{\dfrac{1}{2}} ; +\infty\right[, f_1' est strictement croissante et tend vers -1, donc reste toujours strictement négative : pas de solution sur cet intervalle.
Il existe donc une unique solution \alpha à f_1'(x)=0 sur ]0;+\infty[, et f_1 admet un maximum en \alpha (signe de f_1' positif puis négatif).

B.2.dCompléter le script Python calculant une valeur approchée de \alpha.

C.1Montrer que H est une primitive de h.

H est de la forme \dfrac{1}{2}u^{2} avec u(x)=1+\ln x, donc u'(x)=\dfrac{1}{x}, et H'(x) = u'(x)u(x) = \dfrac{1}{x}(1+\ln x) = h(x).
H est donc bien une primitive de h sur ]0;+\infty[.

C.2Existe-t-il k tel que la valeur moyenne de fₖ sur [1 ; e] soit nulle ?

La valeur moyenne est \begin{aligned}\displaystyle \mu &= \dfrac{1}{e-1}\int\limits_1^{e} f_k(x)\,dx \\ &= \dfrac{1}{e-1}\int\limits_1^{e}\left(1-x+kh(x)\right)dx \\ &= \dfrac{1}{e-1}\left[x-\dfrac{x^{2}}{2}+kH(x)\right]_1^{e}\end{aligned}
= \dfrac{1}{e-1}\left(\left(e-\dfrac{e^{2}}{2}+k\dfrac{(1+1)^{2}}{2}\right) - \left(1-\dfrac{1}{2}+k\dfrac{(1+0)^{2}}{2}\right)\right) = \dfrac{2e-e^{2}+3k-1}{2(e-1)}.
\begin{aligned}\mu &= 0 \\ &\Leftrightarrow 2e-e^{2}+3k-1 = 0 \\ &\Leftrightarrow k = \dfrac{e^{2}-2e+1}{3} \\ &\Leftrightarrow k = \dfrac{(e-1)^{2}}{3}\end{aligned}
Oui, il existe une unique valeur k = \dfrac{(e-1)^{2}}{3} pour laquelle la valeur moyenne de f_k sur [1;e] est nulle.

PartieA ; 1.a On considère f(x) = eˣsin(x) sur [0 ; π]. Démontrer que f'(x) = eˣ[sin(x) + cos(x)] sur cet intervalle.

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x) = e^{x}[\sin(x)+\cos(x)].

PartieA ; 1.b Justifier que f est strictement croissante sur [0 ; π/2].

Sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], \cos(x)\geqslant0 et \sin(x)\geqslant0, et ils ne s'annulent jamais simultanément (\sin ne s'annule qu'en 0 où \cos(0)=1, \cos ne s'annule qu'en \frac{\pi}{2} où \sin(\frac{\pi}{2})=1) : donc \sin(x)+\cos(x)>0 sur cet intervalle.
Comme e^{x}>0 pour tout réel x, f'(x)>0 comme produit de deux facteurs strictement positifs : f est strictement croissante sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].

PartieA ; 2.a Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 0.

\begin{aligned}f(0) &= e^{0}\sin(0) \\ &= 0\end{aligned} et f'(0) = e^{0}[\sin(0)+\cos(0)] = 1.
La tangente en 0 a pour équation y=f'(0)x+f(0), soit y=x.

PartieA ; 2.b Démontrer que f est convexe sur [0 ; π/2].

Pour tout réel x : f''(x) = e^{x}[\sin(x)+\cos(x)] + e^{x}[\cos(x)-\sin(x)] = 2e^{x}\cos(x).
Sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], \cos(x)\geqslant0 et e^{x}>0, donc f''(x)\geqslant0 : f est convexe sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].

PartieA ; 2.c En déduire que, pour tout réel x de [0 ; π/2], eˣsin(x) \geq x.

La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente T d'équation y=x au point d'abscisse 0.
Donc, pour tout x\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], f(x)\geqslant x, c'est-à-dire e^{x}\sin(x)\geqslant x.

PartieA ; 3. Justifier que le point d'abscisse π/2 de la courbe de f est un point d'inflexion.

f''(x)=2e^{x}\cos(x) s'annule en changeant de signe en x=\dfrac{\pi}{2} (positive avant, négative après, car \cos change de signe en \frac{\pi}{2}) : le point d'abscisse \dfrac{\pi}{2} est donc un point d'inflexion de la courbe de f.

PartieB : On note I = ∫₀^{π/2} eˣsin(x) dx et J = ∫₀^{π/2} eˣcos(x) dx. En intégrant par parties de deux manières différentes, établir I = 1 + J et I = e^{π/2} - J.

En posant u(x)=e^{x}, v'(x)=\sin(x) (donc u'(x)=e^{x}, v(x)=-\cos(x)), l'intégration par parties donne : \begin{aligned}\displaystyle I &= \left[-\cos(x)e^{x}\right]_0^{\pi/2} + \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x \\ &= 0+1+J \\ &= 1+J\end{aligned}
En posant u(x)=\sin(x), v'(x)=e^{x} (donc u'(x)=\cos(x), v(x)=e^{x}), l'intégration par parties donne : \begin{aligned}\displaystyle I &= \left[\sin(x)e^{x}\right]_0^{\pi/2} - \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x \\ &= e^{\pi/2}-J\end{aligned}
On obtient donc bien I=1+J et I=e^{\pi/2}-J.

PartieB : En déduire que I = (1 + e^{π/2}) / 2.

En additionnant les deux relations : \begin{aligned}2I &= 1+J+e^{\pi/2}-J \\ &= 1+e^{\pi/2}\end{aligned} donc I = \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2}.

PartieB : On note g(x) = x. Calculer l'aire exacte du domaine hachuré entre les courbes de f et g sur [0 ; π/2].

D'après la partie A, f(x)\geqslant g(x) sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], donc l'aire cherchée est \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}(f(x)-x)\,\mathrm{d}x \\ &= I - \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_0^{\pi/2}\end{aligned}
\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2} - \dfrac12\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2} \\ &= \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2} - \dfrac{\pi^{2}}{8}\end{aligned} unités d'aire (\approx1{,}67 u.a.).

1.aOn considère g(x) = e^{\sqrt{x}} sur ]0 ; +\infty[, et f(x) = e^{\sqrt{x}} / (2\sqrt{x}). Montrer que g'(x) = f(x).

g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme composée de fonctions dérivables : g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times e^{\sqrt{x}} = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = f(x).

1.bCalculer f'(x) et montrer que f'(x) = e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) / (4x\sqrt{x}).

f est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur ]0~;~+\infty[. En dérivant f=\dfrac{g}{2\sqrt{x}} (avec g'=f) : f'(x) = \dfrac{f(x)\times2\sqrt{x} - g(x)\times\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x} = \dfrac{e^{\sqrt{x}} - \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x}.
En réduisant au même dénominateur : f'(x) = \dfrac{\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x} = \dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}.

2.aDéterminer la limite de f en 0.

\lim\limits_{x\to0}e^{\sqrt{x}}=1 et \lim\limits_{x\to0}2\sqrt{x}=0^{+}, avec f(x)>0 : donc \lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty.

2.bInterpréter graphiquement ce résultat.

La courbe \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=0.

3.aDéterminer la limite de f en +\infty.

Par croissances comparées, \lim\limits_{u\to+\infty}\dfrac{e^{u}}{u}=+\infty ; en posant u=\sqrt{x} (qui tend vers +\infty quand x\to+\infty), par composition, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

3.bÉtudier le sens de variation de f sur ]0 ; +\infty[ et dresser son tableau de variation.

Pour tout x>0, e^{\sqrt{x}}>0 et 4x\sqrt{x}>0, donc f'(x) est du signe de \sqrt{x}-1.
\begin{aligned}\sqrt{x}-1 \geqslant 0 &\iff x \geqslant 1 \end{aligned} f est donc décroissante sur ]0~;~1] et croissante sur [1~;~+\infty[, avec un minimum f(1)=\dfrac{e}{2}.

3.cMontrer que l'équation f(x) = 2 admet une unique solution sur [1 ; +\infty[, avec une valeur approchée à 10^{-1} près.

Sur [1~;~+\infty[, f est continue et strictement croissante, de \begin{aligned}f(1) &= \dfrac{e}{2} \\ &\approx 1{,}36\end{aligned} à +\infty.
Comme 2\in\left[\dfrac{e}{2}~;~+\infty\right[, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=2 admet une unique solution \alpha sur [1~;~+\infty[.
À la calculatrice, \alpha\approx4{,}6.

4.aOn pose I = ∫₁^{2} f(x) dx. Calculer I.

D'après la question 1.a, g est une primitive de f sur ]0~;~+\infty[.
\begin{aligned}I &= \left[g(x)\right]_1^{2} \\ &= \left[e^{\sqrt{x}}\right]_1^{2} \\ &= e^{\sqrt2}-e\end{aligned}

4.bInterpréter graphiquement ce résultat.

f étant positive, I=e^{\sqrt2}-e représente l'aire du domaine compris entre la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=2, en unités d'aire.

5.aOn admet que f''(x) = e^{\sqrt{x}}(x - 3\sqrt{x} + 3) / (8x^2\sqrt{x}). En posant X = \sqrt{x}, montrer que x - 3\sqrt{x} + 3 > 0 sur ]0 ; +\infty[.

En posant X=\sqrt{x}, l'expression devient X^{2}-3X+3, un polynôme du second degré de discriminant \Delta = 9-12 = -3 < 0.
Comme \Delta<0 et que le coefficient dominant est positif, X^{2}-3X+3>0 pour tout réel X, donc x-3\sqrt{x}+3>0 pour tout x>0.

5.bÉtudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[.

Pour tout x>0 : e^{\sqrt{x}}>0, x-3\sqrt{x}+3>0 (question précédente) et 8x^{2}\sqrt{x}>0, donc f''(x)>0 : f est convexe sur ]0~;~+\infty[.

PartieA ; 1. On considère f(x) = 1/(a+e^{-bx}) sur [0 ; +\infty[, avec a, b > 0. Par lecture graphique (points A(0 ; 0,5), B(10 ; 1) sur la courbe), donner une valeur approchée de f(10).

Par lecture graphique, f(10) \approx 0{,}9.

PartieA ; 2. On admet que la limite de f en +\infty est 1. Interpréter graphiquement.

La courbe \mathcal{C}_f admet une asymptote horizontale d'équation y=1 en +\infty.

PartieA ; 3. Justifier que a = 1.

f(0) = \dfrac{1}{a+1}, et le point A(0~;~0{,}5) appartient à la courbe, donc \begin{aligned}\dfrac{1}{a+1} = 0{,}5 &\iff a+1 = 2 \\ &\iff a = 1 \end{aligned}

PartieA ; 4. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

\begin{aligned}m &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\ &= \dfrac{1-0{,}5}{10-0} \\ &= \dfrac{0{,}5}{10} \\ &= 0{,}05\end{aligned}

PartieA ; 5.a Déterminer l'expression de f'(x) en fonction de x et b.

f est de la forme \dfrac{1}{1+e^{-bx}}, de dérivée -\dfrac{-be^{-bx}}{(1+e^{-bx})^{2}} = \dfrac{be^{-bx}}{(1+e^{-bx})^{2}}.

PartieA ; 5.b En déduire la valeur de b.

(AB) étant tangente à \mathcal{C}_f en 0, son coefficient directeur est f'(0) = \dfrac{b}{(1+1)^{2}} = \dfrac{b}{4}.
\begin{aligned}\dfrac{b}{4} = 0{,}05 &\iff b = 0{,}2 \end{aligned}

PartieB ; 1. On admet que f(x) = 1/(1+e^{-0,2x}) sur [0 ; +\infty[. Déterminer la limite de f en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-0,2x}=0 (par composition), donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1.

PartieB ; 2. Étudier les variations de f sur [0 ; +\infty[.

f'(x) = \dfrac{0{,}2e^{-0,2x}}{(1+e^{-0,2x})^{2}} (même calcul que ci-dessus avec b=0{,}2).
Pour tout x\geqslant0, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs : f'(x)>0, donc f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 3. Montrer qu'il existe un unique réel \alpha positif tel que f(\alpha) = 0,97.

f(0)=\dfrac12 et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1 : f est continue et strictement croissante sur [0~;~+\infty[, à valeurs dans \left[\dfrac12~;~1\right[.
Comme 0{,}97\in\left[\dfrac12~;~1\right[, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0{,}97 admet une unique solution \alpha sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 4. À l'aide de la calculatrice, encadrer \alpha par deux entiers consécutifs et interpréter.

À la calculatrice, \alpha\approx17{,}4, donc \alpha\in\,]17~;~18[.

PartieC ; 1. Montrer que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f(x) = e^{0,2x} / (1 + e^{0,2x}).

En multipliant numérateur et dénominateur de f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}} par e^{0,2x} : f(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{e^{0,2x}+1}.

PartieC ; 2. En déduire une primitive de f sur [0 ; +\infty[.

En écrivant \begin{aligned}f(t) &= \dfrac{1}{0{,}2}\times\dfrac{0{,}2e^{0,2t}}{1+e^{0,2t}} \\ &= 5\times\dfrac{0{,}2e^{0,2t}}{1+e^{0,2t}}\end{aligned} on reconnaît une forme \dfrac{u'}{u} (avec u(t)=1+e^{0,2t}>0), de primitive \ln(u).
Une primitive de f est donc F(t) = 5\ln(1+e^{0,2t}).

PartieC ; 3. Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 40] (valeur exacte puis approchée au millième).

\begin{aligned}\displaystyle I &= \dfrac{1}{40}\displaystyle\int\limits_0^{40}f(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \dfrac{1}{40}\left[5\ln(1+e^{0,2t})\right]_0^{40} \\ &= \dfrac{5}{40}\left(\ln(e^{8}+1)-\ln(2)\right)\end{aligned}
I = \dfrac18\ln\left(\dfrac{e^{8}+1}{2}\right) \approx 0,913.

PartieA ; 1. On donne la courbe de f, avec la tangente T_A en A(1 ; 2) passant par C(3 ; 0). Déterminer f'(1).

f'(1) est le coefficient directeur de T_A : \dfrac{0-2}{3-1} = -1.

PartieA ; 2. Combien de solutions l'équation f'(x) = 0 admet-elle sur ]0 ; 3] ?

f'(x)=0 correspond aux points où la tangente est horizontale : d'après le graphique, cela se produit 2 fois sur ]0~;~3].

PartieA ; 3. Quel est le signe de f''(0,2) ?

Sur [0~;~0{,}5], la courbe semble concave d'après le graphique, donc f''(0{,}2)<0.

PartieB ; 1. On admet que f(x) = x[2(ln x)^{2} - 3ln x + 2] sur ]0 ; +\infty[. Résoudre 2X^{2} - 3X + 2 = 0 dans \mathbb{R}, et en déduire que la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

\Delta = (-3)^{2}-4\times2\times2 = 9-16 = -7<0 : l'équation 2X^{2}-3X+2=0 n'a pas de solution réelle.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x[2(\ln x)^{2}-3\ln x+2] = 0 \end{aligned} Comme x>0, cela équivaut à 2(\ln x)^{2}-3\ln x+2=0, soit, en posant X=\ln x, à 2X^{2}-3X+2=0, qui n'a pas de solution.
L'équation f(x)=0 n'a donc pas de solution : la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la limite de f en +\infty (on admet que la limite en 0 est 0).

f(x) = x(\ln x)^{2}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right).
\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln x)^{2}=+\infty, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right)=2.
Par produit : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

PartieB ; 3.a On admet que f'(x) = 2(ln x)^{2} + ln x - 1. Montrer que f''(x) = (1/x)(4ln x + 1).

f''(x) = 2\times2\ln x\times\dfrac1x+\dfrac1x = \dfrac{1}{x}(4\ln x+1).

PartieB ; 3.b Étudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[ et préciser l'abscisse exacte du point d'inflexion.

Sur ]0~;~+\infty[, \dfrac1x>0, donc f''(x) est du signe de 4\ln x+1.
\begin{aligned}4\ln x+1 = 0 &\iff \ln x = -\dfrac14 \\ &\iff x = e^{-\dfrac{1}{4}} \end{aligned} 4\ln x+1>0 \iff x>e^{-\dfrac{1}{4}}.
f est donc concave sur \left]0~;~e^{-\dfrac{1}{4}}\right] et convexe sur \left[e^{-\dfrac{1}{4}}~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion d'abscisse exacte e^{-\dfrac{1}{4}}\approx0{,}779.

PartieB ; 3.c Montrer que la courbe de f est au-dessus de la tangente T_B sur ]1 ; +\infty[.

Comme e^{-\dfrac{1}{4}}<1, f est convexe sur [1~;~+\infty[ : sur cet intervalle, la courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier T_B.

PartieC ; 1. Justifier que la tangente T_B (au point d'abscisse e) a pour équation réduite y = 2x - e.

f'(e) = 2(\ln e)^{2}+\ln e-1 = 2+1-1 = 2 et \begin{aligned}f(e) &= e(2\times1-3+2) \\ &= e\times1 \\ &= e\end{aligned}
La tangente en e a pour équation y=f'(e)(x-e)+f(e) = 2(x-e)+e = 2x-e.

PartieC ; 2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale de x ln x entre 1 et e vaut (e^{2} + 1)/4.

On pose u(x)=\ln x et v'(x)=x (donc u'(x)=\dfrac1x et v(x)=\dfrac{x^{2}}{2}).
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^{e}x\ln x\,\mathrm{d}x &= \left[\ln x\times\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^{e} - \displaystyle\int\limits_1^{e}\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{2}}{2} - \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac14 \\ &= \dfrac{e^{2}+1}{4}\end{aligned}

PartieC ; 3. On admet que l'intégrale de x(ln x)^{2} entre 1 et e vaut (e^{2} - 1)/4. En déduire l'aire A du domaine entre la courbe de f, la tangente T_B et les droites x=1 et x=e.

Sur [1~;~e], la courbe est au-dessus de T_B, donc \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[f(x)-(2x-e)]\,\mathrm{d}x \\ &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[2x(\ln x)^{2}-3x\ln x+e]\,\mathrm{d}x\end{aligned}
Par linéarité : \begin{aligned}\mathcal{A} &= 2\times\dfrac{e^{2}-1}{4} - 3\times\dfrac{e^{2}+1}{4} + \left[ex\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{-e^{2}-5}{4}+(e^{2}-e)\end{aligned}
\mathcal{A} = \dfrac{3e^{2}-4e-5}{4} unités d'aire (soit environ 1,57 u.a.).

PartieA ; 1. D'après le graphique (courbe de d, la distance parcourue par un chariot en zone de freinage), au bout de combien de temps le chariot a-t-il parcouru 15 m ?

Par lecture graphique, d(2)\approx15 : le chariot a parcouru 15 m au bout de 2 secondes.

PartieA ; 2. Quelle longueur minimale prévoir pour la zone de freinage ?

L'asymptote horizontale \Delta de la courbe est proche de y=23 : une zone de 23 mètres semble suffisante.

PartieA ; 3. Que vaut d'(4,7) ? Interpréter.

Le coefficient directeur de la tangente T (passant par (0~;~16{,}5) et (4{,}7~;~21)) vaut \dfrac{21-16{,}5}{4{,}7} \approx 0{,}96 : d'(4{,}7)\approx0{,}96 m/s, c'est la vitesse instantanée du chariot à t=4{,}7 s.

PartieB ; 1.a On modélise la vitesse v, solution de (E) : y' + 0,6y = e^{-0,6t}, avec v(0)=12. Résoudre (E') : y' + 0,6y = 0.

Les solutions de (E') sont les fonctions t\longmapsto Ke^{-0,6t}, avec K\in\mathbb{R}.

PartieB ; 1.b Soit g(t) = te^{-0,6t}. Vérifier que g est solution de (E).

g'(t) = e^{-0,6t}-0{,}6te^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-0{,}6t).
g'(t)+0{,}6g(t) = e^{-0,6t}(1-0{,}6t)+0{,}6te^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-0{,}6t+0{,}6t) = e^{-0,6t}.
g est bien solution de (E).

PartieB ; 1.c En déduire les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[.

Les solutions de (E) sont les fonctions t\longmapsto e^{-0,6t}(t+K), avec K\in\mathbb{R}.

PartieB ; 1.d En déduire que v(t) = (12 + t)e^{-0,6t}.

v est de cette forme et vérifie v(0)=12 : \begin{aligned}e^{0}(0+K) = 12 &\iff K = 12 \end{aligned} donc v(t)=(12+t)e^{-0,6t}.

PartieB ; 2.a Montrer que v'(t) = (-6,2 - 0,6t)e^{-0,6t}.

v vérifie (E) : v'(t)+0{,}6v(t)=e^{-0,6t}, donc v'(t) = e^{-0,6t}-0{,}6(12+t)e^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-7{,}2-0{,}6t) = e^{-0,6t}(-6{,}2-0{,}6t).

PartieB ; 2.b En admettant que v(t) = 12e^{-0,6t} + t/e^{0,6t}, déterminer la limite de v en +\infty.

\lim\limits_{t\to+\infty}12e^{-0,6t}=0, et par croissances comparées \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t}{e^{0,6t}}=0 : par somme, \lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=0 (le chariot finit par s'arrêter).

PartieB ; 2.c Étudier le sens de variation de v sur [0 ; +\infty[ et dresser son tableau de variation.

e^{-0,6t}>0 pour tout t, donc v'(t) est du signe de -6{,}2-0{,}6t, qui est strictement négatif pour tout t\geqslant0.
v est donc strictement décroissante sur [0~;~+\infty[, de v(0)=12 vers 0.

PartieB ; 2.d Montrer que l'équation v(t) = 1 admet une unique solution \alpha, avec une valeur approchée au dixième.

v est continue (dérivable) et strictement décroissante sur [0~;~+\infty[, de 12 à 0 ; comme 1\in\,]0~;~12], d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation v(t)=1 admet une unique solution \alpha.
À la calculatrice : v(4)\approx1{,}5, v(5)\approx0{,}85 (donc {4<\alpha<5}) ; v(4{,}6)\approx1{,}05, v(4{,}7)\approx0{,}995 : \alpha\approx4{,}7.

PartieB ; 3. Déterminer, en justifiant, au bout de combien de temps le système d'arrêt se déclenche (vitesse \leq 1 m/s).

D'après la question précédente, v(t)=1 pour \begin{aligned}t &= \alpha \\ &\approx 4{,}7\end{aligned} s, et v étant décroissante, v(t)\leqslant1 pour t\geqslant\alpha : le système se déclenche au bout d'environ 4,7 secondes.

PartieC ; 1. On admet que d(t) = ∫₀ᵗ v(x) dx. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que d(t) = e^{-0,6t}(-(\dfrac{5}{3})t - \dfrac{205}{9}) + \dfrac{205}{9}.

On pose u(x)=12+x et v'(x)=e^{-0,6x} (donc u'(x)=1 et v(x)=-\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}).
\begin{aligned}\displaystyle d(t) &= \left[-(12+x)\times\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}\right]_0^t + \displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}\,\mathrm{d}x \\ &= \left[-(12+x)\times\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x} - \dfrac{1}{0,36}e^{-0,6x}\right]_0^t\end{aligned}
En simplifiant (\frac{1}{0,6}=\frac53 et \frac{1}{0,36}=\frac{25}{9}) : d(t) = e^{-0,6t}\left(-\dfrac53t-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9}.

PartieC ; 2. Déterminer, au centième près, la distance parcourue par le chariot avant le déclenchement du dispositif d'arrêt.

Le dispositif se déclenche à t\approx4{,}7 s : d(4{,}7) = e^{-0,6\times4,7}\left(-\dfrac53\times4{,}7-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9} \approx 20,95 m.

Ondonne E = {1,...,7} et F = {0,...,9}. Affirmation 1 : il y a plus de 3-uplets d'éléments distincts de E que de combinaisons à 4 éléments de F. Vraie ou fausse ?

Les 3-uplets d'éléments distincts de E (ordre compté, sans répétition) : \begin{aligned}\dfrac{7!}{4!} &= 7\times6\times5 \\ &= 210\end{aligned}
Les combinaisons à 4 éléments de F : \begin{aligned}\dbinom{10}{4} &= \dfrac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2} \\ &= 210\end{aligned}
Les deux quantités sont égales (210 = 210), pas l'une supérieure à l'autre : l'affirmation est fausse.

Onreprésente la fonction carré f et un carré ABCD de côté 3. Affirmation 2 : la zone hachurée (sous la courbe de f entre 0 et 3) et le carré ABCD ont la même aire. Vraie ou fausse ?

L'aire du carré ABCD est 3^{2}=9 unités d'aire.
L'aire sous la courbe (f positive) est \begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^3x^{2}\,\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^3 \\ &= 9\end{aligned} unités d'aire.
Les deux aires sont égales : l'affirmation est vraie.

Onconsidère J, l'intégrale de x ln(x) entre 1 et 2. Affirmation 3 : une intégration par parties donne J = \dfrac{7}{11}. Vraie ou fausse ?

On pose u(x)=\dfrac12x^{2} et v(x)=\ln(x) (donc u'(x)=x et v'(x)=\dfrac1x).
\begin{aligned}\displaystyle J &= \left[\dfrac12x^{2}\ln(x)\right]_1^{2} - \displaystyle\int\limits_1^2\dfrac12x\,\mathrm{d}x \\ &= 2\ln(2) - \dfrac12\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^2 \\ &= 2\ln(2)-\dfrac34 \\ &\approx 0{,}636\end{aligned}
Or \dfrac{7}{11}\approx0{,}6364 : J\neq\dfrac{7}{11} (l'écart est réel bien que très faible). L'affirmation est fausse.

Onconsidère (E) : y' = 2y - e^{x}. Affirmation 4 : f(x) = e^{x} + e^{2x} est solution de (E). Vraie ou fausse ?

f'(x) = e^{x}+2e^{2x}.
2f(x)-e^{x} = 2(e^{x}+e^{2x})-e^{x} = e^{x}+2e^{2x} = f'(x).
f vérifie bien (E) : l'affirmation est vraie.

Soitx \in [0 ; 1[. On pose u_n = (x-1)e^n + \cos(n). Affirmation 5 : la suite (u_n) diverge vers -\infty. Vraie ou fausse ?

x\in[0~;~1[, donc x-1\in[-1~;~0[ est strictement négatif.
\lim\limits_{n\to+\infty}e^{n}=+\infty et (x-1)<0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}(x-1)e^{n}=-\infty, puis \lim\limits_{n\to+\infty}[(x-1)e^{n}+1]=-\infty.
Comme \cos(n)\leqslant1 pour tout n : u_n\leqslant(x-1)e^{n}+1, donc par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty. L'affirmation est vraie.

PartieA ; 1. Une fonction f est représentée par une courbe \mathcal{C} sur [0~;~+\infty[, avec une tangente T au point A d'abscisse \dfrac52. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de f sur [0~;~5].

Par lecture graphique, f croît de f(0)=-5{,}5 jusqu'à un maximum d'environ 2{,}4 atteint en x=1{,}5, puis décroît jusqu'à environ 0{,}35 en x=5.

PartieA ; 2. Que semble présenter la courbe \mathcal{C} au point A ?

La courbe semble traverser sa tangente au point A : elle semble y admettre un point d'inflexion.

PartieA ; 3. Deux courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentent f' et f''. Associer chaque fonction à sa courbe, en justifiant.

f est croissante sur [0~;~1{,}5[ puis décroissante : f' est positive puis négative, ce qui correspond à la courbe \mathcal{C}_2.
f est concave sur [0~;~2{,}5[ puis convexe : f'' est négative puis positive, ce qui correspond à la courbe \mathcal{C}_1.

PartieA ; 4. La courbe \mathcal{C}_3 peut-elle représenter une primitive de f sur [0~;~+\infty[ ?

Une primitive F de f vérifie F'=f ; comme f est négative sur [0~;~0{,}5[ puis positive, F devrait être décroissante puis croissante. Or la courbe \mathcal{C}_3 fait exactement l'inverse : elle ne peut pas représenter une primitive de f.

PartieB ; 1.a On considère désormais f(x) = (4x-2)e^{-x+1} sur [0~;~+\infty[. Montrer que f'(x) = (-4x+6)e^{-x+1}.

f'(x) = 4e^{-x+1}+(4x-2)\times(-e^{-x+1}) = (4-4x+2)e^{-x+1} = (-4x+6)e^{-x+1}.

PartieB ; 1.b En déduire le tableau complet des variations de f sur [0~;~+\infty[ (on admet que la limite en +\infty vaut 0).

e^{-x+1}>0, donc f'(x) est du signe de -4x+6 : positif pour x<\dfrac32, négatif au-delà.
f croît de \begin{aligned}f(0) &= -2e \\ &\approx -5{,}44\end{aligned} jusqu'à son maximum \begin{aligned}f\left(\dfrac32\right) &= 4e^{-\dfrac{1}{2}} \\ &\approx 2{,}43\end{aligned} puis décroît vers 0 en +\infty : en cohérence avec la lecture graphique de la partie A.

PartieB ; 1.c Étudier la convexité de f et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.

f''(x) = -4e^{-x+1}+(-4x+6)\times(-e^{-x+1}) = (4x-10)e^{-x+1}, du signe de 4x-10.
f est donc concave sur \left[0~;~\dfrac52\right] et convexe sur \left[\dfrac52~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion à l'abscisse \dfrac52 (le point A).

PartieB ; 2.a Soit F(x) = (ax+b)e^{-x+1}. Déterminer a et b pour que F soit une primitive de f sur [0~;~+\infty[.

F'(x) = ae^{-x+1}-(ax+b)e^{-x+1} = (-ax+a-b)e^{-x+1}.
F'=f impose, par identification (car e^{-x+1}>0) : -a=4 et a-b=-2, soit a=-4 et b=-2.

PartieB ; 2.b En déduire la valeur exacte, puis approchée à 10^{-2} près, de \displaystyle I = \displaystyle\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{8}f(x)\,\mathrm{d}x.

I = \Big[(-4x-2)e^{-x+1}\Big]_{\dfrac{3}{2}}^{8} = -34e^{-7}+8e^{-\dfrac{1}{2}} \approx 4,82.

PartieB ; 3.a Le profil d'une piste de trottinette est donné par la courbe de f sur \left[\dfrac32~;~8\right] (unité : le mètre). Donner, au cm près, la hauteur du point de départ D.

La hauteur du départ vaut f\left(\dfrac32\right) = 4e^{-\dfrac{1}{2}} \approx 2,43 m.

PartieB ; 3.b Une artiste couvre 75 % du mur de profil ; une bombe de 150 mL couvre 0,8 m^{2}. Combien de bombes faut-il ?

L'aire du mur vaut I\approx4{,}82 m^{2} ; 75 % de cette surface représente 0{,}75\times4{,}82 \approx 3{,}62 m^{2}.
\dfrac{3{,}62}{0{,}8} \approx 4{,}5 : il faudra 5 bombes de peinture.

Affirmation 1. Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0. Vraie ou fausse ?

Une telle suite converge vers une limite \ell\geqslant0, mais pas nécessairement 0 : par exemple, la suite u_n = 1+\dfrac1n est décroissante, minorée par 0, et converge vers 1. L'affirmation est fausse.

Affirmation 2. Si, pour tout entier n, u_n\leqslant\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}, alors \lim u_n = -\infty. Vraie ou fausse ?

\dfrac{-9^n+3^n}{7^n} = -\left(\dfrac97\right)^n\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right) ; comme \left(\dfrac97\right)^n\to+\infty et 1-\left(\dfrac13\right)^n\to1, le majorant tend vers -\infty.
Par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = -\infty. L'affirmation est vraie.

Affirmation 3. La fonction Python terme(N) initialise U=1 puis effectue U=U+i pour i dans range(N). L'appel terme(4) renvoie 7. Vraie ou fausse ?

Les valeurs successives de U sont : 1+0=1, puis 1+1=2, puis 2+2=4, puis 4+3=7. L'affirmation est vraie.

Affirmation 4. Prix A : 1 000 € par jour pendant 15 jours. Prix B : 1 € le 1er jour, la somme double chaque jour pendant 15 jours. Le prix A vaut plus que le prix B. Vraie ou fausse ?

Prix A : 1\,000\times15 = 15\,000 €.
Prix B : somme des 15 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2, soit \begin{aligned}\dfrac{1-2^{15}}{1-2} &= 2^{15}-1 \\ &= 32\,767\end{aligned} €.
32\,767 > 15\,000 : l'affirmation est fausse, le prix B est nettement plus avantageux.

Affirmation 5. La suite \displaystyle v_n = \displaystyle\int\limits_1^{n}\ln(x)\,\mathrm{d}x (pour n\geqslant1) est croissante. Vraie ou fausse ?

Par la relation de Chasles : \displaystyle v_{n+1}-v_n = \displaystyle\int\limits_n^{n+1}\ln(x)\,\mathrm{d}x.
Sur [n~;~n+1]\subset[1~;~+\infty[, \ln(x)\geqslant0 : cette intégrale est positive, donc v_{n+1}\geqslant v_n. L'affirmation est vraie.

PartieA ; 1.a Soit f(x) = x-2+\dfrac12\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : x-2\to-2 et \ln(x)\to-\infty, donc \lim\limits_{x\to0^+}f(x) = -\infty. En +\infty : les deux termes tendent vers +\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

PartieA ; 1.b Montrer que f'(x) = \dfrac{2x+1}{2x}.

f'(x) = 1+\dfrac12\times\dfrac1x = \dfrac{2x+1}{2x}.

PartieA ; 1.c Étudier le sens de variation de f sur ]0~;~+\infty[.

Pour x>0, numérateur et dénominateur de f'(x) sont strictement positifs : f'(x)>0, donc f est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[.

PartieA ; 1.d Étudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[.

f''(x) = -\dfrac{1}{2x^2} < 0 : f est concave sur ]0~;~+\infty[.

PartieA ; 2.a Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha, appartenant à [1~;~2].

f est continue et strictement croissante, de -\infty à +\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha.
f(1) = -1 < 0 et f(2) = \dfrac{\ln2}{2} > 0 : donc \alpha\in[1~;~2].

PartieA ; 2.b Déterminer le signe de f(x) sur ]0~;~+\infty[.

f étant strictement croissante et s'annulant en \alpha : f(x)<0 sur ]0~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieA ; 2.c Montrer que \ln(\alpha) = 2(2-\alpha).

\begin{aligned}f(\alpha) = 0 &\iff \alpha-2+\dfrac12\ln(\alpha) = 0 \\ &\iff \dfrac12\ln(\alpha) = 2-\alpha \\ &\iff \ln(\alpha) = 2(2-\alpha) \end{aligned}

PartieB ; 1. Soit g(x) = -\dfrac78x^2+x-\dfrac14x^2\ln(x) sur ]0~;~1]. Calculer g'(x) et vérifier que g'(x) = xf\left(\dfrac1x\right).

g'(x) = -\dfrac74x+1-\dfrac14\left(2x\ln(x)+x\right) = 1-2x-\dfrac{x\ln(x)}{2}.
En factorisant par x : g'(x) = x\left(\dfrac1x-2-\dfrac{\ln(x)}{2}\right) = x\left(\dfrac1x-2+\dfrac12\ln\left(\dfrac1x\right)\right) = xf\left(\dfrac1x\right).

PartieB ; 2.a Justifier que, pour x\in\left]0~;~\dfrac1\alpha\right[, f\left(\dfrac1x\right)>0.

Si 0<x<\dfrac1\alpha, alors \dfrac1x>\alpha, et f est strictement positive sur ]\alpha~;~+\infty[ : donc f\left(\dfrac1x\right)>0.

PartieB ; 2.b En déduire le tableau de variations de g sur ]0~;~1].

g'(x) = xf\left(\dfrac1x\right) est du signe de f\left(\dfrac1x\right) (car x>0) : g est croissante sur \left]0~;~\dfrac1\alpha\right] puis décroissante sur \left[\dfrac1\alpha~;~1\right], avec un maximum en \dfrac1\alpha.

PartieC ; 1.a Justifier la position relative de \mathcal{C}_g et de la parabole \mathcal{P} d'équation y = -\dfrac78x^2+x sur ]0~;~1].

\begin{aligned}g(x)-\left(-\dfrac78x^2+x\right) &= -\dfrac14x^2\ln(x) \\ &\geqslant 0\end{aligned} sur ]0~;~1] (car \ln(x)\leqslant0) : \mathcal{C}_g est au-dessus de \mathcal{P}.

PartieC ; 1.b Démontrer que \displaystyle \displaystyle\int\limits_{1/\alpha}^{1}x^2\ln(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}.

Par intégration par parties avec u(x)=\ln(x) et v'(x)=x^2 : \begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_{1/\alpha}^{1}x^2\ln(x)\,\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{x^3}{3}\ln(x)-\dfrac{x^3}{9}\right]_{1/\alpha}^{1} \\ &= -\dfrac19-\dfrac{1}{3\alpha^3}\left(-\ln(\alpha)-\dfrac13\right)\end{aligned}
En remplaçant \ln(\alpha) par 2(2-\alpha) : = -\dfrac19+\dfrac{4}{3\alpha^3}-\dfrac{2}{3\alpha^2}+\dfrac{1}{9\alpha^3} = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}.

PartieC ; 2. En déduire l'expression, en fonction de \alpha, de l'aire \mathcal{A} du domaine compris entre \mathcal{C}_g, \mathcal{P}, et les droites x=\dfrac1\alpha et x=1.

\begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_{1/\alpha}^{1}\left(-\dfrac14x^2\ln(x)\right)\mathrm{d}x \\ &= -\dfrac14\times\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3} \\ &= \dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3} \\ &\approx 0{,}07\end{aligned} unité d'aire.

QCM ; 1. Quelle est la fonction f, solution de y'=-3y+7 sur \mathbb{R} vérifiant f(0)=1 ? A. f(x)=e^{-3x} B. f(x)=-\dfrac43e^{-3x}+\dfrac73 C. f(x)=e^{-3x}+\dfrac73 D. f(x)=-\dfrac{10}{3}e^{-3x}-\dfrac73

Les solutions de y'=-3y sont les fonctions x\longmapsto Ke^{-3x} (K\in\mathbb{R}) ; une solution constante \alpha de y'=-3y+7 vérifie 0=-3\alpha+7, soit \alpha=\dfrac73.
Les solutions de y'=-3y+7 sont donc x\longmapsto Ke^{-3x}+\dfrac73. La condition f(0)=1 donne \begin{aligned}K+\dfrac73 = 1 &\iff K = -\dfrac43 \end{aligned} Réponse B.

QCM ; 2. La courbe d'une fonction f positive sur [0~;~+\infty[ est donnée dans le sujet, quadrillée en carreaux d'aire 1. Un encadrement de \displaystyle I=\displaystyle\int\limits_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x est proposé parmi : A. {0\leqslant I\leqslant4} B. {1\leqslant I\leqslant5} C. {5\leqslant I\leqslant10} D. {10\leqslant I\leqslant15}.

La courbe étant positive sur [1~;~5], I est l'aire sous la courbe entre les droites x=1 et x=5 ; en comptant les carreaux du quadrillage, cette aire est comprise entre 5 et 10 unités d'aire : réponse C.

QCM ; 3. Soit g(x)=x^2\ln(x^2+4) définie sur \mathbb{R}. Que vaut \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^2 g'(x)\,\mathrm{d}x à 10^{-1} près ? A. 4,9 B. 8,3 C. 1,7 D. 7,5

g est une primitive de g', donc \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^2 g'(x)\,\mathrm{d}x = g(2)-g(0) = 4\ln(8) - 0 = 4\ln(8).
4\ln(8) = 4\ln(2^3) = 12\ln(2) \approx 8,3 : réponse B.

QCM ; 4. Une professeure veut former un groupe de 5 élèves parmi 31. Combien de groupes différents peut-elle former ? A. 31^5 B. 31\times30\times29\times28\times27 C. 31+30+29+28+27 D. \dbinom{31}{5}

Un groupe est un choix de 5 élèves parmi 31 sans ordre ni répétition : le nombre de possibilités est \dbinom{31}{5} : réponse D.

QCM ; 5. Parmi ces 31 élèves : 10 font physique-chimie, 20 font SES, 1 fait LLCE espagnol. Combien de groupes de 5 élèves comportant exactement 3 élèves de SES peut-on former ? A. \dbinom{20}{3}\times\dbinom{11}{2} B. \dbinom{20}{3}+\dbinom{11}{2} C. \dbinom{20}{3} D. 20^3\times11^2

Il faut choisir 3 élèves parmi les 20 faisant SES, soit \dbinom{20}{3} façons, puis 2 élèves parmi les 31-20=11 élèves ne faisant pas SES, soit \dbinom{11}{2} façons ; les deux choix étant indépendants, le nombre total de groupes est \dbinom{20}{3}\times\dbinom{11}{2} : réponse A.

1.On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{1+2^n}{3+5^n}. Quel est son comportement : diverge vers +\infty, converge vers \dfrac25, converge vers 0, ou converge vers \dfrac13 ?

En factorisant numérateur et dénominateur par 5^n : \begin{aligned}u_n &= \dfrac{5^n\left(\frac{1}{5^n}+\left(\frac25\right)^n\right)}{5^n\left(\frac{3}{5^n}+1\right)} \\ &= \dfrac{\left(\frac25\right)^n+\frac{1}{5^n}}{1+\frac{3}{5^n}}\end{aligned}
Les suites géométriques de raisons \dfrac25 et \dfrac15, toutes deux strictement comprises entre -1 et 1, convergent vers 0 : par limite de somme puis de quotient, u_n converge vers \dfrac{0+0}{1+0}=0.
Réponse : la suite converge vers 0.

2.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x^2\ln(x). Quelle est l'expression de f'(x) ?

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
f'(x) = 2x\times\ln(x) + x^2\times\dfrac1x = 2x\ln(x)+x = x\big(2\ln(x)+1\big).
Réponse : f'(x) = x(2\ln(x)+1).

3.Une fonction h, continue sur \mathbb{R}, admet le tableau de variations suivant : h décroît de +\infty (en -\infty) jusqu'à -\infty... en réalité h croît de -\infty vers +\infty, en s'annulant en x=1. On note H la primitive de h sur \mathbb{R} qui s'annule en 0. Que peut-on affirmer : H positive sur ]-\infty~;~0], H croissante sur ]-\infty~;~1], H négative sur ]-\infty~;~1], ou H croissante sur \mathbb{R} ?

h est strictement croissante sur \mathbb{R} et s'annule en 1, donc h(x)<0 pour tout x<1.
H étant une primitive de h, on a H'=h : ainsi H'(x)<0 sur ]-\infty~;~1[, donc H est strictement décroissante sur cet intervalle.
Pour tout x\leqslant 0, x et 0 appartiennent à ]-\infty~;~1[ où H décroît, donc {x\leqslant 0 \implies H(x)\geqslant H(0)}. Or H(0)=0 par définition de H, donc H(x)\geqslant 0 sur ]-\infty~;~0].
Réponse : H est positive sur ]-\infty~;~0].

4.Soit a<b deux réels et f une fonction définie, continue et strictement croissante sur [a~;~b], qui s'annule en un réel \alpha. Parmi quatre fonctions Python proposées (méthode de dichotomie), laquelle donne bien une valeur approchée de \alpha à 0{,}001 près ?

Le programme correct doit recalculer le milieu m=\dfrac{a+b}{2} à chaque tour de boucle (et non une seule fois avant la boucle), avec un test d'arrêt \og tant que l'écart dépasse 0{,}001 \fg{} correctement écrit.
Comme f est strictement croissante sur [a~;~b] et s'annule en \alpha, on a f(a)<0 et f(b)>0. Si f(m)<0, alors \alpha se trouve entre m et b : il faut donc remplacer a par m (et garder b) pour l'itération suivante ; sinon, on remplace b par m.
Seule la version qui recalcule m à l'intérieur de la boucle, avec la condition while abs(b-a) >= 0.001, et l'affectation a = m quand f(m)<0, respecte ce principe.
Réponse : le programme qui recalcule m dans la boucle et affecte a=m lorsque f(m)<0.

5.Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, dont 7 bleues et 3 vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. Quelle expression donne la probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes ?

Chaque tirage est une épreuve à deux issues (\og verte \fg{} ou pas), de probabilité de succès p=\dfrac{3}{10}, répétée n=3 fois de façon identique et indépendante (tirages avec remise).
En notant X le nombre de boules vertes obtenues, X suit la loi binomiale \mathcal{B}\left(3~;~\dfrac{3}{10}\right).
\begin{aligned}P(X=2) &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\left(\dfrac{7}{10}\right)^{1} \\ &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\end{aligned}
Réponse : \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2.

1.On pose f(x)=xe^x sur \mathbb{R}. Parmi F(x)=\dfrac{x^2}{2}e^x, F(x)=(x-1)e^x, F(x)=(x+1)e^x et F(x)=\dfrac2xe^{x^2}, laquelle est une primitive de f sur \mathbb{R} ?

Testons F(x)=(x-1)e^x, dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, avec u(x)=x-1 et v(x)=e^x, donc u'(x)=1 et v'(x)=e^x.
F'=u'v+uv' donc F'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x) pour tout réel x.
Donc, la réponse est F(x)=(x-1)e^x.

2.La courbe \mathcal{C} d'une fonction f deux fois dérivable sur ]0~;~+\infty[ admet un maximum en x=3 et un unique point d'inflexion d'abscisse 5. Que peut-on affirmer parmi : f et f' de même signe sur ]0~;~5[ ; f et f' de même signe sur ]5~;~+\infty[ ; f' et f'' de même signe sur ]0~;~5[ ; f et f'' de même signe sur ]5~;~+\infty[ ?

Par lecture graphique de \mathcal{C}, f(x)<0 sur ]0~;~1[ et f(x)>0 sur ]1~;~+\infty[.
Le maximum étant atteint en x=3, f'(x)>0 sur ]0~;~3[ et f'(x)<0 sur ]3~;~+\infty[.
Le seul point d'inflexion étant d'abscisse 5, et la courbe étant concave puis convexe, f''(x)<0 sur ]0~;~5[ et f''(x)>0 sur ]5~;~+\infty[.
Sur ]5~;~+\infty[, f(x)>0 et f''(x)>0 : ces deux fonctions sont donc de même signe sur cet intervalle.
Donc, la réponse est « f et f'' sont de même signe sur ]5~;~+\infty[ ».

3.Soit g définie sur [0~;~+\infty[ par g(t)=\dfrac{a}{b+e^{-t}}, avec g(0)=2 et \lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=3. Déterminer a et b parmi les couples (2~;~3), \left(4~;~\dfrac43\right), (4~;~1) et (6~;~2).

\begin{aligned}g(0) &= \dfrac{a}{b+e^0} \\ &= \dfrac{a}{b+1} \\ &= 2\end{aligned} donc \begin{aligned}a &= 2(b+1) \\ &= 2b+2\end{aligned}
Comme \lim\limits_{t\to+\infty}(-t)=-\infty et \lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0, on a par composition \lim\limits_{t\to+\infty}e^{-t}=0, donc \lim\limits_{t\to+\infty}(b+e^{-t})=b et, par quotient, \lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=\dfrac{a}{b}.
Donc \dfrac{a}{b}=3, soit a=3b. En combinant avec a=2b+2 : 3b=2b+2, donc b=2, puis \begin{aligned}a &= 3\times2 \\ &= 6\end{aligned}
Donc, la réponse est a=6 et b=2.

4.Alice tire au hasard une urne parmi A (2 boules vertes, 2 rouges) et B (3 boules vertes, 1 rouge), puis une boule dans cette urne, et obtient une boule verte. Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi l'urne B, parmi \dfrac38, \dfrac12, \dfrac35 et \dfrac58 ?

Notons A et B le choix de chaque urne, et V l'évènement « la boule tirée est verte ». On a \begin{aligned}P(A) &= P(B) \\ &= \dfrac12\end{aligned} \begin{aligned}P_A(V) &= \dfrac24 \\ &= \dfrac12\end{aligned} et P_B(V)=\dfrac34.
\begin{aligned}P(V\cap B) &= P(B)\times P_B(V) \\ &= \dfrac12\times\dfrac34 \\ &= \dfrac38\end{aligned}
Comme A et B forment une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne \begin{aligned}P(V) &= P(V\cap A)+P(V\cap B) \\ &= \dfrac12\times\dfrac12+\dfrac38 \\ &= \dfrac14+\dfrac38 \\ &= \dfrac28+\dfrac38 \\ &= \dfrac58\end{aligned}
On cherche \begin{aligned}P_V(B) &= \dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\ &= \dfrac{\frac38}{\frac58} \\ &= \dfrac38\times\dfrac85 \\ &= \dfrac35\end{aligned}
Donc, la réponse est \dfrac35.

5.On pose S=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac{1}{100}. Parmi quatre scripts Python (a, b, c, d) proposés pour calculer S, lequel convient ?

1.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = 3x+1-2x\ln(x), deux fois dérivable, de courbe représentative \mathcal{C}_f. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : on écrit f(x) = 3x+1-2x\ln(x). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x)=0, donc \lim\limits_{x\to0^+}f(x) = 0+1-0 = 1.
En +\infty : on factorise, f(x) = x\left(3-2\ln(x)\right)+1. Comme \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty, on a \lim\limits_{x\to+\infty}\left(3-2\ln(x)\right)=-\infty, et donc par produit \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(3-2\ln(x)\right)=-\infty. On en déduit \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)= -\infty.

2.aDémontrer que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f'(x) = 1-2\ln(x).

En dérivant chaque terme : f'(x) = 3 - 2\ln(x) - 2x\times\dfrac{1}{x} = 3-2\ln(x)-2 = 1-2\ln(x).

2.bÉtudier le signe de f' puis dresser le tableau de variation de f sur ]0~;~+\infty[, en faisant apparaître les limites et la valeur exacte de l'extremum.

On résout f'(x)>0 \iff 1-2\ln(x)>0 \iff \ln(x)<\dfrac12 \iff x<e^{\frac12} (la fonction exponentielle étant strictement croissante). Donc f' est strictement positive sur \left]0~;~e^{\frac12}\right[ et strictement négative sur \left]e^{\frac12}~;~+\infty\right[.
La fonction f est donc strictement croissante sur \left]0~;~e^{\frac12}\right] puis strictement décroissante sur \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[, avec un maximum en x=e^{\frac12} valant \begin{aligned}f\left(e^{\frac12}\right) &= 3e^{\frac12}+1-2e^{\frac12}\times\dfrac12 \\ &= 3e^{\frac12}+1-e^{\frac12} \\ &= 2e^{\frac12}+1 \\ &\approx 4{,}3\end{aligned}
Le tableau de variation part de la limite 1 en 0, croît jusqu'au maximum 2e^{\frac12}+1 en x=e^{\frac12}, puis décroît vers -\infty.

3.aDémontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[.

La fonction f est dérivable, donc continue, sur ]0~;~+\infty[.
Sur \left]0~;~e^{\frac12}\right], f est strictement croissante et sa valeur minimale y est \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1>0 : f y est donc strictement positive, et l'équation f(x)=0 n'y a pas de solution.
Sur \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[, f est continue et strictement décroissante, passant de la valeur 2e^{\frac12}+1>0 à -\infty : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 y admet une unique solution, notée \alpha.
Donc, la réponse est que f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[, avec \alpha>e^{\frac12}.

3.bEn déduire le signe de f sur ]0~;~+\infty[.

D'après les variations de f et le résultat précédent : f(x)>0 sur ]0~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)<0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

4.Soit F une primitive quelconque de f sur ]0~;~+\infty[. Peut-on affirmer que F est strictement décroissante sur \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[ ?

Non. Par définition d'une primitive, F'=f. Or f est strictement positive sur \left[e^{\frac12}~;~\alpha\right[ (question 3.b), donc F est strictement croissante sur cet intervalle, ce qui contredit l'affirmation proposée : F n'est pas décroissante sur tout \left[e^{\frac12}~;~+\infty\right[.

5.aÉtudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[ et en déduire la position de \mathcal{C}_f par rapport à ses tangentes.

La dérivée seconde vaut f''(x) = -2\times\dfrac{1}{x} = -\dfrac{2}{x}, strictement négative sur ]0~;~+\infty[. La fonction f est donc concave sur cet intervalle, ce qui signifie que la courbe \mathcal{C}_f est située en dessous de chacune de ses tangentes.

5.bDéterminer une équation de la tangente T à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1.

On a \begin{aligned}f(1) &= 3\times1+1-2\times1\times\ln(1) \\ &= 4-0 \\ &= 4\end{aligned} et f'(1) = 1-2\ln(1) = 1.
L'équation de la tangente en un point d'abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a), donc ici y = 1\times(x-1)+4, soit T\,:\ y=x+3.

5.cEn déduire que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, \ln(x) \geqslant 1-\dfrac1x.

Puisque \mathcal{C}_f est sous chacune de ses tangentes (question 5.a), elle est en particulier sous T : pour tout x>0, f(x)\leqslant x+3.
Cette inégalité s'écrit 3x+1-2x\ln(x)\leqslant x+3, soit 2x-2\leqslant2x\ln(x). En divisant par 2x>0 : 1-\dfrac1x\leqslant\ln(x).
Donc, la réponse est que pour tout réel x strictement positif, \ln(x)\geqslant1-\dfrac1x.

1.Affirmation : la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x-x est convexe. Vrai ou faux ?

f est deux fois dérivable sur \mathbb{R}, avec f'(x)=e^x-1 puis f''(x)=e^x. Comme e^x>0 pour tout réel x, f'' est positive sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : f est convexe sur \mathbb{R}.

2.Affirmation : l'équation (2e^x-6)(e^x+2)=0 admet \ln(3) comme unique solution réelle. Vrai ou faux ?

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul : 2e^x-6=0 ou e^x+2=0.
Comme e^x>0 pour tout x, on a {e^x+2>2>0} : cette équation n'a donc aucune solution.
L'autre équation donne \begin{aligned}2e^x = 6 &\iff e^x = 3 \\ &\iff x = \ln(3) \end{aligned} (par stricte croissance de la fonction exponentielle, cette solution est unique).
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie.

3.Affirmation : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=0. Vrai ou faux ?

On factorise par le terme dominant de chaque membre : \begin{aligned}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x} &= \dfrac{e^{2x}\left(1-e^{-2x}\right)}{e^x\left(1-xe^{-x}\right)} \\ &= e^x\times\dfrac{1-e^{-2x}}{1-xe^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0 donc le numérateur de la fraction tend vers 1 ; et xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0 par croissances comparées, donc le dénominateur tend aussi vers 1.
Le quotient tend donc vers 1, et comme \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, on obtient \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=+\infty.
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (la limite vaut +\infty, pas 0).

4.Affirmation : avec f(x)=(6x+5)e^{3x} et F(x)=(2x+1)e^{3x}+4 sur \mathbb{R}, F est la primitive de f qui vaut 5 en x=0. Vrai ou faux ?

F est dérivable sur \mathbb{R} comme produit et somme de fonctions dérivables : F'(x) = 2e^{3x}+3(2x+1)e^{3x} = e^{3x}\big(2+6x+3\big) = (6x+5)e^{3x} = f(x).
De plus \begin{aligned}F(0) &= (2\times0+1)e^{0}+4 \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : F est bien la primitive de f sur \mathbb{R} valant 5 en 0.

5.On considère une fonction Python mystere(L) qui parcourt une liste L, cumule la somme S de ses éléments, puis renvoie S divisée par la longueur de L (la moyenne des éléments). Affirmation : mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50. Vrai ou faux ?

La somme des dix éléments de la liste vaut 1+9+9+5+0+3+6+12+0+5=50, et la fonction renvoie cette somme divisée par la longueur de la liste (ici 10), soit \dfrac{50}{10}=5. Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (le résultat renvoyé vaut 5, pas 50).

1.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \ln\left(1+x^2\right). Dans \mathbb{R}, l'équation f(x) = 2022 : a. n'a aucune solution ; b. a exactement une solution ; c. a exactement deux solutions ; d. a une infinité de solutions.

\begin{aligned}f(x) = 2022 &\iff \ln\left(1+x^2\right) = 2022 \\ &\iff 1+x^2 = e^{2022} \\ &\iff x^2 = e^{2022}-1 \end{aligned}
Le réel e^{2022}-1 est strictement positif, donc cette dernière équation a exactement deux solutions opposées : x=\sqrt{e^{2022}-1} et x=-\sqrt{e^{2022}-1}.
Donc, la réponse est c.

2.Soit g la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = x\ln(x)-x^2, de courbe représentative \mathcal{C}_g. a. g est convexe sur ]0~;~+\infty[ ; b. g est concave sur ]0~;~+\infty[ ; c. \mathcal{C}_g a exactement un point d'inflexion sur ]0~;~+\infty[ ; d. \mathcal{C}_g a exactement deux points d'inflexion sur ]0~;~+\infty[.

g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables, avec g'(x) = \ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-2x = \ln(x)-2x+1.
g' est à son tour dérivable sur ]0~;~+\infty[, avec g''(x) = \dfrac{1}{x}-2.
g''(x) = 0 \iff \dfrac{1}{x} = 2 \iff x = \dfrac12. De plus, g''(x) = \dfrac{1-2x}{x} change de signe en x=\dfrac12 (positif avant, négatif après, car x>0).
g'' s'annule en changeant de signe une seule fois sur ]0~;~+\infty[, donc \mathcal{C}_g admet exactement un point d'inflexion, d'abscisse \dfrac12.
Donc, la réponse est c.

3.On considère la fonction f définie sur ]-1~;~1[ par f(x) = \dfrac{x}{1-x^2}. Une primitive de f sur ]-1~;~1[ est la fonction : a. g(x) = -\dfrac12\ln\left(1-x^2\right) ; b. g(x) = \dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2} ; c. g(x) = \dfrac{x^2}{2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)} ; d. g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln\left(1-x^2\right).

Testons la fonction g de la réponse a, définie par g(x) = -\dfrac12\ln\left(1-x^2\right) sur ]-1~;~1[.
En posant u(x) = 1-x^2, dérivable et strictement positive sur ]-1~;~1[, on a g(x) = -\dfrac12\ln\left(u(x)\right), donc g'(x) = -\dfrac12\times\dfrac{u'(x)}{u(x)} = -\dfrac12\times\dfrac{-2x}{1-x^2} = \dfrac{x}{1-x^2} = f(x).
La fonction g de la réponse a est donc bien une primitive de f sur ]-1~;~1[.
Donc, la réponse est a.

4.La fonction x\longmapsto\ln\left(-x^2-x+6\right) est définie sur : a. ]-3~;~2[ ; b. ]-\infty~;~6] ; c. ]0~;~+\infty[ ; d. ]2~;~+\infty[.

Cette fonction est définie exactement là où -x^2-x+6>0, c'est-à-dire là où x^2+x-6<0.
Le trinôme x^2+x-6 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 1^2-4\times1\times(-6) \\ &= 25\end{aligned} donc deux racines réelles \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-1-5}{2} \\ &= -3\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-1+5}{2} \\ &= 2\end{aligned}
Un trinôme du second degré de coefficient dominant positif est strictement négatif strictement entre ses deux racines : x^2+x-6<0 \iff x\in\,]-3~;~2[.
La fonction est donc définie sur ]-3~;~2[, ce qui correspond à la réponse a.

5.On considère la fonction f définie sur ]0{,}5~;~+\infty[ par f(x) = x^2-4x+3\ln(2x-1). Une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est : a. y=4x-7 ; b. y=2x-4 ; c. y=-3(x-1)+4 ; d. y=2x-1.

Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est y = f(1)+f'(1)(x-1).
\begin{aligned}f(1) &= 1^2-4\times1+3\ln(2\times1-1) \\ &= 1-4+3\ln(1) \\ &= -3+0 \\ &= -3\end{aligned}
f est dérivable sur ]0{,}5~;~+\infty[, avec f'(x) = 2x-4+3\times\dfrac{2}{2x-1} = 2x-4+\dfrac{6}{2x-1}, donc f'(1) = 2-4+\dfrac{6}{1} = -2+6 = 4.
Une équation de la tangente est donc \begin{aligned}y = -3+4(x-1) &\iff y = 4x-4-3 \\ &\iff y = 4x-7 \end{aligned}
Donc, la réponse est a.

6.L'ensemble S des solutions dans \mathbb{R} de l'inéquation \ln(x+3) < 2\ln(x+1) est : a. S=\,]-\infty~;~-2[\,\cup\,]1~;~+\infty[ ; b. S=\,]1~;~+\infty[ ; c. S=\emptyset ; d. S=\,]-1~;~1[.

Pour que les deux logarithmes soient définis, il faut x+3>0 et x+1>0, c'est-à-dire x>-3 et x>-1 : l'inéquation n'a donc de sens que sur ]-1~;~+\infty[.
Sur cet intervalle, 2\ln(x+1) = \ln\left((x+1)^2\right), et \ln étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : \ln(x+3) < \ln\left((x+1)^2\right) \iff x+3 < (x+1)^2.
x+3 < x^2+2x+1 \iff 0 < x^2+x-2.
Le trinôme x^2+x-2 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 1+8 \\ &= 9\end{aligned} donc deux racines \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-1-3}{2} \\ &= -2\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-1+3}{2} \\ &= 1\end{aligned} il est strictement positif à l'extérieur de ses racines, donc sur ]-\infty~;~-2[\,\cup\,]1~;~+\infty[.
En tenant compte de la condition x>-1 posée au début, l'ensemble des solutions est finalement S=\,]1~;~+\infty[, soit la réponse b.

1.Soit f la fonction dérivable sur \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}. Quelle est l'expression de f'(x) : a. \text{e}^{-x} ; b. x\text{e}^{-x} ; c. (1-x)\text{e}^{-x} ; d. (1+x)\text{e}^{-x} ?

En écrivant f(x) = x\text{e}^{-x} (produit de x par \text{e}^{-x}), la formule de dérivation d'un produit donne, pour tout réel x : f'(x) = 1\times\text{e}^{-x} + x\times\left(-\text{e}^{-x}\right) = (1-x)\,\text{e}^{-x}.
Réponse c.

2.Soit f une fonction deux fois dérivable sur [-3~;~1], dont on donne la courbe représentative de la fonction dérivée seconde f'' : celle-ci est positive sur [-3~;~-1], s'annule en x=-1, puis est négative sur [-1~;~1]. Que peut-on affirmer : a. f convexe sur [-1~;~1] ; b. f concave sur [-2~;~0] ; c. f' décroissante sur [-2~;~0] ; d. f' admet un maximum en x=-1 ?

Comme f'' est positive sur [-3~;~-1], la fonction f' est croissante sur cet intervalle ; comme f'' est négative sur [-1~;~1], la fonction f' est décroissante sur cet intervalle.
La fonction f' est donc croissante puis décroissante, avec un changement de sens de variation en x=-1 : f' admet donc un maximum local en x=-1.
Réponse d.

3.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}. Si F est une primitive de f sur \mathbb{R}, laquelle des expressions suivantes convient : a. F(x) = -\dfrac16\left(x^3+1\right)\text{e}^{-x^2} ; b. F(x) = -\dfrac14x^4\text{e}^{-x^2} ; c. F(x) = -\dfrac12\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2} ; d. F(x) = x^2(3-2x^2)\text{e}^{-x^2} ?

Pour identifier la bonne primitive, on dérive chaque candidate et on compare le résultat à f(x)=x^3\text{e}^{-x^2}. Testons la proposition c : F(x) = -\dfrac12\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2}.
En utilisant la formule de dérivation d'un produit, avec u(x)=-\dfrac12(x^2+1) et v(x)=\text{e}^{-x^2}, on a u'(x)=-x et v'(x)=-2x\,\text{e}^{-x^2} : F'(x) = -x\,\text{e}^{-x^2} + \left(-\dfrac12(x^2+1)\right)\times\left(-2x\,\text{e}^{-x^2}\right) = -x\,\text{e}^{-x^2} + x(x^2+1)\text{e}^{-x^2}.
En factorisant : F'(x) = \text{e}^{-x^2}\left(-x+x^3+x\right) = x^3\,\text{e}^{-x^2} = f(x). La proposition c convient bien.
Réponse c.

4.Que vaut \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1} : a. -1 ; b. 1 ; c. +\infty ; d. n'existe pas ?

Pour lever l'indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant \text{e}^x (non nul) : \begin{aligned}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1} &= \dfrac{\text{e}^x\left(1+\text{e}^{-x}\right)}{\text{e}^x\left(1-\text{e}^{-x}\right)} \\ &= \dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x} = 0, donc par limite de quotient, \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}} &= \dfrac{1+0}{1-0} \\ &= 1\end{aligned}
Réponse b.

5.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^{2x+1}. La seule primitive F sur \mathbb{R} de f telle que F(0)=1 est : a. x\longmapsto2\text{e}^{2x+1}-2\text{e}+1 ; b. x\longmapsto2\text{e}^{2x+1}-\text{e} ; c. x\longmapsto\dfrac12\text{e}^{2x+1}-\dfrac12\text{e}+1 ; d. x\longmapsto\text{e}^{x^2+x} ?

La fonction f est continue sur \mathbb{R}, donc elle admet des primitives sur \mathbb{R}. En remarquant que f(x) = \dfrac12\times2\,\text{e}^{2x+1} est de la forme u'(x)\text{e}^{u(x)} avec u(x)=2x+1, une primitive générale de f s'écrit F(x) = \dfrac12\text{e}^{2x+1}+k, avec k une constante réelle.
La condition F(0)=1 donne \dfrac12\text{e}^{1}+k=1, soit k=1-\dfrac12\text{e}.
On obtient donc F(x) = \dfrac12\text{e}^{2x+1}+1-\dfrac12\text{e}.
Réponse c.

6.Une fonction f est définie et deux fois dérivable sur [-2~;~4] ; on donne sa courbe représentative, qui laisse apparaître un profil concave sur [-2~;~1] puis convexe sur [1~;~4], avec un point d'inflexion en x=1. Parmi quatre courbes proposées, laquelle représente la fonction dérivée seconde f'' de f ?

Comme f est concave sur [-2~;~1], on a f''(x)\leqslant0 sur cet intervalle ; comme f est convexe sur [1~;~4], on a f''(x)\geqslant0 sur cet intervalle. La fonction f'' change donc de signe (de négatif à positif) en s'annulant en x=1.
Parmi les quatre courbes proposées, une seule est négative sur [-2~;~1], s'annule en changeant de signe en x=1, puis devient positive sur [1~;~4].
Réponse a.

Pourchaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; aucune justification n'est demandée sur la copie, mais nous la donnons ici. 1. La courbe représentative de f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1} admet pour asymptote la droite d'équation : a. x=-2 ; b. y=-1 ; c. y=-2 ; d. y=0.

Pour x\neq0, en factorisant par x^2 au numérateur et au dénominateur : \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{x^2\left(-2+\frac3x-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} \\ &= \dfrac{-2+\frac3x-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\end{aligned} Quand x\to+\infty, \frac3x\to0, \frac{1}{x^2}\to0, donc f(x)\to\dfrac{-2}{1}=-2. La droite d'équation y=-2 est donc asymptote horizontale à la courbe de f en +\infty. Réponse c.

2.Soit f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\,\text{e}^{x^2}. La primitive F de f sur \mathbb{R} qui vérifie F(0)=1 est définie par : a. F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2} ; b. F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2} ; c. F(x)=\left(1+2x^2\right)\text{e}^{x^2} ; d. F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}+\dfrac12.

On remarque que f(x)=x\,\text{e}^{x^2} = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{x^2}, qui est de la forme \dfrac12 u'(x)\text{e}^{u(x)} avec u(x)=x^2 et u'(x)=2x. Les primitives de u'\text{e}^{u} sont les fonctions \text{e}^{u}+k (k\in\mathbb{R}), donc les primitives de f sont les fonctions x\mapsto\dfrac12\text{e}^{x^2}+k. La condition F(0)=1 donne \dfrac12\times\text{e}^0+k=1 \iff \dfrac12+k=1 \iff k=\dfrac12. Donc F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}+\dfrac12. Réponse d.

3.On donne la représentation graphique de la fonction dérivée f' d'une fonction f définie sur \mathbb{R} : la courbe de f' part de valeurs négatives en 0, croise l'axe des abscisses en x=2, atteint un maximum aux alentours de x=3, puis redescend en restant positive. On peut affirmer que la fonction f est : a. concave sur ]0~;~+\infty[ ; b. convexe sur ]0~;~+\infty[ ; c. convexe sur [0~;~2] ; d. convexe sur [2~;~+\infty[.

f est convexe sur un intervalle exactement lorsque sa dérivée f' y est croissante. D'après la représentation graphique, la courbe de f' est croissante de x=0 jusqu'à son maximum (situé vers x=3), donc en particulier sur tout l'intervalle [0~;~2], inclus dans [0~;~3]. Donc f est convexe sur [0~;~2]. Réponse c.

4.Parmi les primitives de f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2 : a. toutes sont croissantes sur \mathbb{R} ; b. toutes sont décroissantes sur \mathbb{R} ; c. certaines sont croissantes sur \mathbb{R} et d'autres décroissantes sur \mathbb{R} ; d. toutes sont croissantes sur ]-\infty~;~0] et décroissantes sur [0~;~+\infty[.

Pour tout réel x, \text{e}^{-x^2}>0, donc f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2>2>0 : la fonction f est strictement positive sur \mathbb{R}. Or, si F est une primitive de f, alors F'=f. Comme f est strictement positive sur \mathbb{R} tout entier, toute primitive F de f est strictement croissante sur \mathbb{R}. Réponse a.

5.La limite en +\infty de f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2+1} est égale à : a. \dfrac23 ; b. +\infty ; c. -\infty ; d. 0.

On écrit \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{2\ln x}{3x^2+1} \\ &= \dfrac{2}{3}\times\dfrac{\frac{\ln x}{x^2}}{1+\frac{1}{3x^2}}\end{aligned} (en factorisant x^2 au dénominateur). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{3x^2}\right)=1. Donc \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) &= \dfrac23\times\dfrac{0}{1} \\ &= 0\end{aligned} Réponse d.

6.L'équation \text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0 admet dans \mathbb{R} : a. trois solutions ; b. deux solutions ; c. une seule solution ; d. aucune solution.

On pose X=\text{e}^x (avec X>0 nécessairement). Comme \text{e}^{2x}=\left(\text{e}^x\right)^2=X^2, l'équation devient X^2+X-12=0. Le discriminant vaut \begin{aligned}\Delta &= 1^2-4\times1\times(-12) \\ &= 1+48 \\ &= 49 \\ &= 7^2\end{aligned} donc les solutions sont \begin{aligned}X &= \dfrac{-1-7}{2} \\ &= -4\end{aligned} et \begin{aligned}X &= \dfrac{-1+7}{2} \\ &= 3\end{aligned} Comme X=\text{e}^x>0, seule la solution X=3 est acceptable, ce qui donne \text{e}^x=3 \iff x=\ln(3). L'équation admet donc une unique solution dans \mathbb{R}. Réponse c.

1.On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}. Peut-on affirmer qu'elle diverge vers +\infty, qu'elle diverge vers -\infty, qu'elle n'a pas de limite, ou qu'elle converge ?

Pour tout entier naturel n, on a {-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1}. Comme {n+1 \geqslant 1 > 0}, en divisant par n+1 : {-\dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}}.
Or \lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}\right) = 0 et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0, donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 0.
La suite (u_n) admet donc une limite finie : elle converge.

2.On considère deux suites (v_n) et (w_n) liées par w_n = \text{e}^{-2v_n}+2. Soit a un réel strictement positif, avec v_0=\ln(a). Que vaut w_0 : \dfrac{1}{a^2}+2, \dfrac{1}{a^2+2}, -2a+2, ou \dfrac{1}{-2a}+2 ?

On remplace v_0 par \ln(a) dans l'expression de w_0 : w_0 = \text{e}^{-2v_0}+2 = \text{e}^{-2\ln(a)}+2.
Or \text{e}^{-2\ln(a)} = \text{e}^{\ln\left(a^{-2}\right)} = a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} (car a>0), donc w_0 = \dfrac{1}{a^2}+2.
Donc, la réponse est w_0 = \dfrac{1}{a^2}+2.

3.On sait que la suite (v_n) de la question précédente est croissante. Peut-on affirmer que (w_n) est décroissante et majorée par 3, décroissante et minorée par 2, croissante et majorée par 3, ou croissante et minorée par 2 ?

Comme (v_n) est croissante, pour tout entier naturel n : v_n \leqslant v_{n+1}, donc -2v_n \geqslant -2v_{n+1} (multiplication par -2, qui renverse le sens de l'inégalité).
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R}, cette inégalité entraîne \text{e}^{-2v_n} \geqslant \text{e}^{-2v_{n+1}}, puis, en ajoutant 2 des deux côtés : \text{e}^{-2v_n}+2 \geqslant \text{e}^{-2v_{n+1}}+2, soit w_n \geqslant w_{n+1}.
La suite (w_n) est donc décroissante.
Par ailleurs, pour tout réel \beta, \text{e}^{\beta} > 0, donc w_n = \text{e}^{-2v_n}+2 > 2 pour tout entier naturel n : la suite (w_n) est minorée par 2.
Donc, la réponse est : la suite (w_n) est décroissante et minorée par 2.

4.On considère la suite (a_n) définie par a_0=2 et, pour tout entier naturel n, a_{n+1}=\dfrac13a_n+\dfrac83. Pour tout entier naturel n, laquelle de ces expressions donne a_n : 4\times\left(\dfrac13\right)^n-2, -\dfrac{2}{3^n}+4, 4-\left(\dfrac13\right)^n, ou 2\times\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac{8n}{3} ?

Cherchons le réel \ell tel que la suite constante égale à \ell soit solution de la relation de récurrence : \begin{aligned}\ell = \dfrac13\ell+\dfrac83 &\iff \dfrac23\ell = \dfrac83 \\ &\iff \ell = 4 \end{aligned}
Posons alors, pour tout entier naturel n, b_n = a_n-4. On a \begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}-4 \\ &= \dfrac13a_n+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13(b_n+4)+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13b_n+\dfrac43+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13b_n+4-4 \\ &= \dfrac13b_n\end{aligned}
La suite (b_n) est donc géométrique de raison \dfrac13 et de premier terme \begin{aligned}b_0 &= a_0-4 \\ &= 2-4 \\ &= -2\end{aligned}
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}b_n &= b_0\times\left(\dfrac13\right)^n \\ &= -2\times\left(\dfrac13\right)^n \\ &= -\dfrac{2}{3^n}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}a_n &= b_n+4 \\ &= -\dfrac{2}{3^n}+4\end{aligned}

5.On considère une suite (b_n) telle que, pour tout entier naturel n, b_{n+1} = b_n+\ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right). Peut-on affirmer que cette suite est croissante, décroissante, non monotone, ou que son sens de variation dépend de b_0 ?

Pour tout entier naturel n : b_{n+1}-b_n = \ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right).
Or, quel que soit le réel b_n, on a (b_n)^2 \geqslant 0, donc (b_n)^2+3 \geqslant 3.
Comme 3 > 2, on en déduit (b_n)^2+3 > 2, donc {0 < \dfrac{2}{(b_n)^2+3} < 1}.
La fonction logarithme népérien étant strictement négative sur ]0~;~1[, on a \ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right) < 0, donc b_{n+1}-b_n < 0.
Cette inégalité est vraie pour tout entier naturel n, quel que soit le premier terme b_0 : donc, la réponse est que la suite (b_n) est décroissante.

6.On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}, de courbe représentative \mathcal{C}_g dans un repère orthogonal. La courbe \mathcal{C}_g admet-elle une asymptote verticale et une asymptote horizontale, une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale, aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale, ou aucune des deux ?

Au voisinage de 0 (avec x>0) : \lim\limits_{x\to0}\text{e}^x = 1 et \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}x = 0^+, donc, par quotient de limites, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}g(x) = +\infty : la courbe \mathcal{C}_g admet donc l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Au voisinage de +\infty : par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty (l'exponentielle l'emporte sur x). La courbe \mathcal{C}_g ne présente donc aucune asymptote horizontale en +\infty.
Donc, la réponse est : la courbe \mathcal{C}_g admet une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

7.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\,\text{e}^{x^2+1}, et F une primitive de f sur \mathbb{R}. Laquelle de ces expressions donne F(x) pour tout réel x : \dfrac12x^2\text{e}^{x^2+1}, \left(1+2x^2\right)\text{e}^{x^2+1}, \text{e}^{x^2+1}, ou \dfrac12\text{e}^{x^2+1} ?

Posons u(x) = x^2+1, de dérivée u'(x) = 2x. On peut alors écrire f(x) = x\,\text{e}^{x^2+1} = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{u(x)} = \dfrac12u'(x)\text{e}^{u(x)}.
Or une primitive de u'\text{e}^{u} est \text{e}^{u}, donc une primitive de \dfrac12u'\text{e}^u est \dfrac12\text{e}^u, c'est-à-dire \dfrac12\text{e}^{x^2+1}.
Vérification directe : si F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}, alors F'(x) = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{x^2+1} = x\,\text{e}^{x^2+1} = f(x), ce qui confirme le résultat.
Donc, la réponse est F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}.

Soit\left(u_n\right) la suite définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}. 1.a Calculer les termes u_1, u_2 et u_3, sous forme de fractions irréductibles.

u_1 = \dfrac{u_0}{1+u_0} = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}.
u_2 = \dfrac{u_1}{1+u_1} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}.
u_3 = \dfrac{u_2}{1+u_2} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{4}.

1.bRecopier et compléter les lignes 3 et 6 du script Python ci-dessous pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des valeurs de u_0 à u_k.

2.On admet que, pour tout entier naturel n, u_n est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_n\right).

On étudie le signe de u_{n+1}-u_n pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\ &= \dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n} \\ &= \dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1+u_n} \\ &= \dfrac{-u_n^2}{1+u_n}\end{aligned}
Comme u_n est strictement positif pour tout n, on a u_n^2>0 et 1+u_n>0, donc \dfrac{-u_n^2}{1+u_n}<0, c'est-à-dire u_{n+1}-u_n<0 pour tout entier naturel n.
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) est strictement décroissante.

3.En déduire que la suite \left(u_n\right) converge.

La suite \left(u_n\right) est strictement décroissante (question précédente) et minorée par 0 (car u_n est strictement positif pour tout n, donc en particulier u_n\geqslant0). Donc, la réponse est que, d'après le théorème de la limite monotone, la suite \left(u_n\right) converge vers une limite réelle \ell, avec \ell\geqslant0.

4.Déterminer la valeur de la limite de la suite \left(u_n\right).

Soit f la fonction définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{x}{1+x}. On a alors u_{n+1}=f\left(u_n\right) pour tout entier naturel n.
La fonction f est continue sur [0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. La limite \ell de la suite \left(u_n\right) vérifie donc l'égalité f(\ell)=\ell.
On résout cette équation : \begin{aligned}\dfrac{\ell}{1+\ell} = \ell &\iff \ell = \ell(1+\ell) \\ &\iff \ell = \ell + \ell^2 \\ &\iff \ell^2 = 0 \\ &\iff \ell = 0 \end{aligned}
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) converge vers 0.

5.aConjecturer une expression de u_n en fonction de n.

D'après les premiers termes calculés à la question 1.a (u_0=1, u_1=\dfrac{1}{2}, u_2=\dfrac{1}{3}, u_3=\dfrac{1}{4}), on peut conjecturer que, pour tout entier naturel n, u_n = \dfrac{1}{n+1}.

5.bDémontrer par récurrence la conjecture précédente.

Notons P_n la proposition : u_n = \dfrac{1}{n+1}.
Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}\dfrac{1}{0+1} &= 1 \\ &= u_0\end{aligned} donc P_0 est vraie.
Hérédité : supposons que P_n soit vraie pour un entier naturel n fixé, c'est-à-dire u_n=\dfrac{1}{n+1}. Montrons que P_{n+1} est alors vraie.
On a \begin{aligned}u_{n+1} &= \dfrac{u_n}{1+u_n} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\ &= \dfrac{1}{n+2} \\ &= \dfrac{1}{(n+1)+1}\end{aligned} La relation est donc vraie au rang n+1, ce qui montre que P_{n+1} est vraie.
Comme P_0 est vraie, et que pour tout entier naturel n, P_n vraie entraîne P_{n+1} vraie, on peut conclure, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel n, P_n est vraie, c'est-à-dire u_n=\dfrac{1}{n+1}.