Algorithmique et programmation : Tous les exercices

1.On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{1+2^n}{3+5^n}. Quel est son comportement : diverge vers +\infty, converge vers \dfrac25, converge vers 0, ou converge vers \dfrac13 ?

En factorisant numérateur et dénominateur par 5^n : \begin{aligned}u_n &= \dfrac{5^n\left(\frac{1}{5^n}+\left(\frac25\right)^n\right)}{5^n\left(\frac{3}{5^n}+1\right)} \\ &= \dfrac{\left(\frac25\right)^n+\frac{1}{5^n}}{1+\frac{3}{5^n}}\end{aligned}
Les suites géométriques de raisons \dfrac25 et \dfrac15, toutes deux strictement comprises entre -1 et 1, convergent vers 0 : par limite de somme puis de quotient, u_n converge vers \dfrac{0+0}{1+0}=0.
Réponse : la suite converge vers 0.

2.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x^2\ln(x). Quelle est l'expression de f'(x) ?

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
f'(x) = 2x\times\ln(x) + x^2\times\dfrac1x = 2x\ln(x)+x = x\big(2\ln(x)+1\big).
Réponse : f'(x) = x(2\ln(x)+1).

3.Une fonction h, continue sur \mathbb{R}, admet le tableau de variations suivant : h décroît de +\infty (en -\infty) jusqu'à -\infty... en réalité h croît de -\infty vers +\infty, en s'annulant en x=1. On note H la primitive de h sur \mathbb{R} qui s'annule en 0. Que peut-on affirmer : H positive sur ]-\infty~;~0], H croissante sur ]-\infty~;~1], H négative sur ]-\infty~;~1], ou H croissante sur \mathbb{R} ?

h est strictement croissante sur \mathbb{R} et s'annule en 1, donc h(x)<0 pour tout x<1.
H étant une primitive de h, on a H'=h : ainsi H'(x)<0 sur ]-\infty~;~1[, donc H est strictement décroissante sur cet intervalle.
Pour tout x\leqslant 0, x et 0 appartiennent à ]-\infty~;~1[ où H décroît, donc {x\leqslant 0 \implies H(x)\geqslant H(0)}. Or H(0)=0 par définition de H, donc H(x)\geqslant 0 sur ]-\infty~;~0].
Réponse : H est positive sur ]-\infty~;~0].

4.Soit a<b deux réels et f une fonction définie, continue et strictement croissante sur [a~;~b], qui s'annule en un réel \alpha. Parmi quatre fonctions Python proposées (méthode de dichotomie), laquelle donne bien une valeur approchée de \alpha à 0{,}001 près ?

Le programme correct doit recalculer le milieu m=\dfrac{a+b}{2} à chaque tour de boucle (et non une seule fois avant la boucle), avec un test d'arrêt \og tant que l'écart dépasse 0{,}001 \fg{} correctement écrit.
Comme f est strictement croissante sur [a~;~b] et s'annule en \alpha, on a f(a)<0 et f(b)>0. Si f(m)<0, alors \alpha se trouve entre m et b : il faut donc remplacer a par m (et garder b) pour l'itération suivante ; sinon, on remplace b par m.
Seule la version qui recalcule m à l'intérieur de la boucle, avec la condition while abs(b-a) >= 0.001, et l'affectation a = m quand f(m)<0, respecte ce principe.
Réponse : le programme qui recalcule m dans la boucle et affecte a=m lorsque f(m)<0.

5.Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, dont 7 bleues et 3 vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. Quelle expression donne la probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes ?

Chaque tirage est une épreuve à deux issues (\og verte \fg{} ou pas), de probabilité de succès p=\dfrac{3}{10}, répétée n=3 fois de façon identique et indépendante (tirages avec remise).
En notant X le nombre de boules vertes obtenues, X suit la loi binomiale \mathcal{B}\left(3~;~\dfrac{3}{10}\right).
\begin{aligned}P(X=2) &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\left(\dfrac{7}{10}\right)^{1} \\ &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\end{aligned}
Réponse : \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2.

1.On pose f(x)=xe^x sur \mathbb{R}. Parmi F(x)=\dfrac{x^2}{2}e^x, F(x)=(x-1)e^x, F(x)=(x+1)e^x et F(x)=\dfrac2xe^{x^2}, laquelle est une primitive de f sur \mathbb{R} ?

Testons F(x)=(x-1)e^x, dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, avec u(x)=x-1 et v(x)=e^x, donc u'(x)=1 et v'(x)=e^x.
F'=u'v+uv' donc F'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x) pour tout réel x.
Donc, la réponse est F(x)=(x-1)e^x.

2.La courbe \mathcal{C} d'une fonction f deux fois dérivable sur ]0~;~+\infty[ admet un maximum en x=3 et un unique point d'inflexion d'abscisse 5. Que peut-on affirmer parmi : f et f' de même signe sur ]0~;~5[ ; f et f' de même signe sur ]5~;~+\infty[ ; f' et f'' de même signe sur ]0~;~5[ ; f et f'' de même signe sur ]5~;~+\infty[ ?

Par lecture graphique de \mathcal{C}, f(x)<0 sur ]0~;~1[ et f(x)>0 sur ]1~;~+\infty[.
Le maximum étant atteint en x=3, f'(x)>0 sur ]0~;~3[ et f'(x)<0 sur ]3~;~+\infty[.
Le seul point d'inflexion étant d'abscisse 5, et la courbe étant concave puis convexe, f''(x)<0 sur ]0~;~5[ et f''(x)>0 sur ]5~;~+\infty[.
Sur ]5~;~+\infty[, f(x)>0 et f''(x)>0 : ces deux fonctions sont donc de même signe sur cet intervalle.
Donc, la réponse est « f et f'' sont de même signe sur ]5~;~+\infty[ ».

3.Soit g définie sur [0~;~+\infty[ par g(t)=\dfrac{a}{b+e^{-t}}, avec g(0)=2 et \lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=3. Déterminer a et b parmi les couples (2~;~3), \left(4~;~\dfrac43\right), (4~;~1) et (6~;~2).

\begin{aligned}g(0) &= \dfrac{a}{b+e^0} \\ &= \dfrac{a}{b+1} \\ &= 2\end{aligned} donc \begin{aligned}a &= 2(b+1) \\ &= 2b+2\end{aligned}
Comme \lim\limits_{t\to+\infty}(-t)=-\infty et \lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0, on a par composition \lim\limits_{t\to+\infty}e^{-t}=0, donc \lim\limits_{t\to+\infty}(b+e^{-t})=b et, par quotient, \lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=\dfrac{a}{b}.
Donc \dfrac{a}{b}=3, soit a=3b. En combinant avec a=2b+2 : 3b=2b+2, donc b=2, puis \begin{aligned}a &= 3\times2 \\ &= 6\end{aligned}
Donc, la réponse est a=6 et b=2.

4.Alice tire au hasard une urne parmi A (2 boules vertes, 2 rouges) et B (3 boules vertes, 1 rouge), puis une boule dans cette urne, et obtient une boule verte. Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi l'urne B, parmi \dfrac38, \dfrac12, \dfrac35 et \dfrac58 ?

Notons A et B le choix de chaque urne, et V l'évènement « la boule tirée est verte ». On a \begin{aligned}P(A) &= P(B) \\ &= \dfrac12\end{aligned} \begin{aligned}P_A(V) &= \dfrac24 \\ &= \dfrac12\end{aligned} et P_B(V)=\dfrac34.
\begin{aligned}P(V\cap B) &= P(B)\times P_B(V) \\ &= \dfrac12\times\dfrac34 \\ &= \dfrac38\end{aligned}
Comme A et B forment une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne \begin{aligned}P(V) &= P(V\cap A)+P(V\cap B) \\ &= \dfrac12\times\dfrac12+\dfrac38 \\ &= \dfrac14+\dfrac38 \\ &= \dfrac28+\dfrac38 \\ &= \dfrac58\end{aligned}
On cherche \begin{aligned}P_V(B) &= \dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\ &= \dfrac{\frac38}{\frac58} \\ &= \dfrac38\times\dfrac85 \\ &= \dfrac35\end{aligned}
Donc, la réponse est \dfrac35.

5.On pose S=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac{1}{100}. Parmi quatre scripts Python (a, b, c, d) proposés pour calculer S, lequel convient ?

PartieA ; 1. On considère la suite (u_n) définie par u_0=3 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac12u_n+\dfrac12n+1. Que vaut u_2 ? a) \dfrac{11}{4} b) \dfrac{13}{2} c) 3,5 d) 2,7

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac12u_0+\dfrac12\times0+1 \\ &= \dfrac12\times3+1 \\ &= \dfrac52\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac12u_1+\dfrac12\times1+1 \\ &= \dfrac12\times\dfrac52+\dfrac12+1 \\ &= \dfrac54+\dfrac24+\dfrac44 \\ &= \dfrac{11}{4}\end{aligned}
Donc, la réponse est a.

PartieA ; 2. On pose, pour tout entier naturel n, v_n = u_n-n. La suite (v_n) est : a) arithmétique de raison \dfrac12 b) géométrique de raison \dfrac12 c) constante d) ni arithmétique ni géométrique

Pour tout n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-(n+1) \\ &= \dfrac12u_n+\dfrac12n+1-n-1 \\ &= \dfrac12u_n-\dfrac12n \\ &= \dfrac12(u_n-n) \\ &= \dfrac12v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=\dfrac12v_n montre que (v_n) est géométrique de raison \dfrac12.
Donc, la réponse est b.

PartieA ; 3. Un script Python incomplet doit renvoyer u_n à partir de \begin{aligned}U &= u_0 \\ &= 3\end{aligned} avec une boucle for i in range(n): (où i varie de 0 à n-1). Quelle instruction compléter à l'intérieur de la boucle ? a) U = U/2 + (i+1)/2 + 1 b) U = U/2 + n/2 + 1 c) U = U/2 + (i-1)/2 + 1 d) U = U/2 + i/2 + 1

Au premier passage dans la boucle, i=0 et le script doit calculer u_1 à partir de u_0, c'est-à-dire appliquer la relation avec l'indice 0 : U \leftarrow \dfrac{U}{2}+\dfrac{0}{2}+1, donc l'instruction doit utiliser i (l'indice courant), pas i+1 ni n.
Seule la formule U = U/2 + i/2 + 1 reproduit exactement u_{i+1}=\dfrac12u_i+\dfrac12i+1 à chaque tour.
Donc, la réponse est d.

PartieB ; 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {n\leqslant u_n\leqslant n+3}.

PartieB ; 2. En déduire la limite de la suite (u_n).

D'après la question précédente, u_n\geqslant n pour tout n, et \lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty. Par comparaison, on en déduit que \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty.

PartieB ; 3. Déterminer la limite de la suite \left(\dfrac{u_n}{n}\right).

Pour tout entier n\geqslant1, l'encadrement {n\leqslant u_n\leqslant n+3} donne, en divisant par n>0 : {1\leqslant\dfrac{u_n}{n}\leqslant1+\dfrac3n}.
Or \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac3n=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac3n\right)=1, et la limite de la suite constante égale à 1 est bien sûr 1.
D'après le théorème des gendarmes, la suite \left(\dfrac{u_n}{n}\right) converge et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1.

1.On définit la suite (u_n) par u_0=8 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n+5}. Calculer u_1.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{6\times8+2}{8+5} \\ &= \dfrac{50}{13}\end{aligned}

2.aSoit f la fonction définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{6x+2}{x+5} (de sorte que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n). Montrer que f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[, puis en déduire que f(x)>2 pour tout réel x>2.

Le dénominateur x+5 ne s'annule pas sur [0~;~+\infty[ (il vaut au moins 5), donc f y est dérivable, avec f'(x) = \dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} = \dfrac{28}{(x+5)^2}.
Ce quotient est strictement positif sur [0~;~+\infty[, donc f est strictement croissante sur cet intervalle.
Par ailleurs \begin{aligned}f(2) &= \dfrac{6\times2+2}{2+5} \\ &= \dfrac{14}{7} \\ &= 2\end{aligned} La stricte croissance de f donne alors : pour tout x>2, f(x)>f(2)=2.

2.bDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n>2.

Initialisation : u_0=8>2, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons u_n>2 pour un entier n fixé. D'après la question précédente, f(u_n)>2, c'est-à-dire u_{n+1}>2 puisque u_{n+1}=f(u_n).
Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, u_n>2 pour tout entier naturel n.

3.On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n = \dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}. Montrer que (u_n) est décroissante, puis en déduire qu'elle converge.

Comme u_n>2 pour tout n (question 2.b), on a {u_n+1>3>0} et {u_n+5>7>0} : le dénominateur et le second facteur du numérateur sont strictement positifs.
Le signe de u_{n+1}-u_n est donc celui de 2-u_n, qui est strictement négatif puisque u_n>2. Ainsi u_{n+1}-u_n<0 pour tout n : la suite (u_n) est strictement décroissante.
Étant décroissante et minorée par 2, la suite (u_n) converge, vers une limite \ell vérifiant \ell\geqslant2.

4.aOn pose v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1} pour tout entier naturel n. Calculer v_0.

\begin{aligned}v_0 &= \dfrac{u_0-2}{u_0+1} \\ &= \dfrac{8-2}{8+1} \\ &= \dfrac{6}{9} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}

4.bMontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac47.

En remplaçant u_{n+1} par son expression : \begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\ &= \dfrac{\frac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\frac{6u_n+2}{u_n+5}+1}\end{aligned}
En réduisant chaque étage au même dénominateur u_n+5 : \begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{(6u_n+2)-2(u_n+5)}{(6u_n+2)+(u_n+5)} \\ &= \dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\ &= \dfrac{4(u_n-2)}{7(u_n+1)} \\ &= \dfrac47\,v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1} = \dfrac47\,v_n, valable pour tout entier naturel n, montre que (v_n) est géométrique de raison \dfrac47.

4.cDéterminer, en justifiant, la limite de (v_n), puis en déduire celle de (u_n).

Comme (v_n) est géométrique de raison \dfrac47 et de premier terme v_0=\dfrac23, on a v_n = \dfrac23\left(\dfrac47\right)^n pour tout n.
Or {-1<\dfrac47<1}, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac47\right)^n = 0, et par produit de limites, \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 0.
De v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1} et u_n+1>3, on tire u_n-2 = v_n(u_n+1), quantité qui tend vers 0. Donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 2 : la limite \ell de (u_n) vaut 2.

5.On considère la fonction Python seuil(A) ci-dessous, où A est un réel strictement supérieur à 2, qui simule la suite (u_n) jusqu'à ce que le terme calculé descende à A ou en dessous, et renvoie le rang atteint.

5.Donner, sans justification, la valeur renvoyée par seuil(2.001), puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

En simulant la suite terme à terme, on obtient u_{13}\approx2{,}00139 (encore supérieur à 2,001) puis u_{14}\approx2{,}00079 (passé sous 2,001) : la fonction renvoie donc 14.
Cela signifie que u_{14} est le premier terme de la suite strictement inférieur à 2,001.

PartieA ; 1. Une entreprise modélise le nombre de questions (en centaines) posées chaque mois sur sa FAQ par la suite (u_n) définie par u_1=3 et, pour tout n\geqslant1, u_{n+1} = 0{,}9u_n+1{,}3 (90 % des questions du mois précédent sont conservées, et 130 nouvelles questions s'ajoutent). Calculer u_2 et u_3, et interpréter.

\begin{aligned}u_2 &= 0{,}9\times u_1 + 1{,}3 \\ &= 0{,}9\times3+1{,}3 \\ &= 2{,}7+1{,}3 \\ &= 4\end{aligned} et \begin{aligned}u_3 &= 0{,}9\times u_2+1{,}3 \\ &= 0{,}9\times4+1{,}3 \\ &= 3{,}6+1{,}3 \\ &= 4{,}9\end{aligned}
Comme u_n représente un nombre de questions en centaines, on peut estimer à 400 questions le 2^{\text{e}} mois et à 490 questions le 3^{\text{e}} mois.

PartieA ; 2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n\geqslant1, u_n = 13 - \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n.

Initialisation. Pour n=1 : \begin{aligned}13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^1 &= 13-\dfrac{90}{9} \\ &= 13-10 \\ &= 3 \\ &= u_1\end{aligned} La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n\geqslant1, u_n = 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}9u_n+1{,}3 \\ &= 0{,}9\left(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\right)+1{,}3 \\ &= 11{,}7 - \dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}+1{,}3 \\ &= 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}\end{aligned} La propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire à partir de ce rang : d'après le principe de récurrence, pour tout entier n\geqslant1, u_n = 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n.

PartieA ; 3. En déduire que la suite (u_n) est croissante.

Pour tout n\geqslant1 : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}\right) - \left(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n}\right) \\ &= \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\times(1-0{,}9) \\ &= \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\times0{,}1\end{aligned} Cette quantité est strictement positive car 0{,}9^n>0, donc u_{n+1}-u_n>0 pour tout n\geqslant1 : la suite (u_n) est croissante.

PartieA ; 4. Le script Python ci-dessous renvoie le plus petit rang n tel que u_n dépasse un seuil p donné. Recopier ce script.

PartieA ; 4 (suite). Déterminer la valeur renvoyée par seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

seuil(8.5) renvoie le plus petit rang n tel que u_n>8{,}5. On résout : u_n>8{,}5 \iff 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n>8{,}5 \iff \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n<4{,}5 \iff 0{,}9^n<\dfrac{4{,}5\times9}{100} = 0{,}405.
Par stricte décroissance de \ln : n\ln(0{,}9) < \ln(0{,}405), et comme \ln(0{,}9)<0, cela équivaut à n>\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)} \approx 8{,}58, donc le plus petit entier n qui convient est 9. Donc, la réponse est : seuil(8.5) renvoie 9, ce qui signifie que c'est le 9^{\text{e}} mois où le nombre de questions dépasse 850.

PartieB ; 1. Une seconde modélisation utilise la suite (v_n) définie pour n\geqslant1 par v_n = 9-6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}. Donner les valeurs de v_1 et v_2 arrondies au centième.

v_1 = 9-6\text{e}^{0} = 9-6 = 3 et v_2 = 9-6\text{e}^{-0{,}19} \approx 9-6\times0{,}8270 \approx 9-4{,}962 \approx 4{,}04.

PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de n telle que v_n>8{,}5.

v_n>8{,}5 \iff 9-6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}>8{,}5 \iff 6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}<0{,}5 \iff \text{e}^{-0{,}19(n-1)}<\dfrac{0{,}5}{6}.
Par stricte croissance de \ln : -0{,}19(n-1) < \ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right), soit n-1 > -\dfrac{1}{0{,}19}\ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right) (le sens s'inverse car on divise par -0{,}19<0), donc n > 1-\dfrac{1}{0{,}19}\ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right).
Or 1-\dfrac{1}{0{,}19}\ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right) \approx 14{,}08, donc le plus petit entier n qui convient est n=15.

PartieC ; 1. L'entreprise change la présentation de son site dès que plus de 850 questions figurent sur la FAQ. Laquelle des deux modélisations conduit à ce seuil le plus tôt ?

D'après la question précédente sur (u_n), le seuil u_n>8{,}5 est atteint dès le 9^{\text{e}} mois.
D'après la question sur (v_n), le seuil v_n>8{,}5 n'est atteint qu'au 15^{\text{e}} mois.
Donc, la réponse est : c'est la première modélisation, avec la suite (u_n), qui conduit à modifier la présentation du site le plus tôt.

PartieC ; 2. Pour quelle modélisation le nombre de questions à long terme est-il le plus grand ?

Pour (u_n) : u_n = 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n, et comme {-1<0{,}9<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n = 0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 13 : à long terme, la première modélisation prévoit 1300 questions.
Pour (v_n) : v_n = 9-6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}, et comme -0{,}19(n-1)\to-\infty quand n\to+\infty, on a \text{e}^{-0{,}19(n-1)}\to0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 9 : la seconde modélisation prévoit 900 questions à long terme.
Donc, la réponse est : c'est la première modélisation, avec la suite (u_n), qui prévoit le plus grand nombre de questions à long terme.

PartieA ; 1. Des biologistes suivent une population d'insectes qui compte 100 000 individus au départ. En laboratoire, sans prédateur, cette population augmente de 60 % chaque mois. On modélise le nombre d'insectes, en millions, au bout de n mois par une suite (u_n) avec u_0=0{,}1. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_n = 0{,}1\times 1{,}6^{n}.

Augmenter de 60 % chaque mois revient à multiplier l'effectif par 1+\dfrac{60}{100} = 1{,}6 d'un mois sur l'autre : la suite (u_n) est donc géométrique de raison q=1{,}6 et de premier terme u_0=0{,}1.
Or le terme général d'une suite géométrique est u_n = u_0\times q^{n}. Donc, la réponse est u_n = 0{,}1\times 1{,}6^{n} pour tout entier naturel n.

PartieA ; 2. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Comme 1{,}6>1, on a \lim\limits_{n\to+\infty} 1{,}6^{n} = +\infty, donc \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty} u_n &= \lim\limits_{n\to+\infty} 0{,}1\times 1{,}6^{n} \\ &= +\infty\end{aligned}

PartieA ; 3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel u_n>0{,}4.

u_n>0{,}4 \iff 0{,}1\times 1{,}6^{n}>0{,}4 \iff 1{,}6^{n}>4.
En passant au logarithme népérien, qui est strictement croissant : 1{,}6^{n}>4 \iff n\ln(1{,}6)>\ln(4) \iff n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)} (l'inégalité garde son sens car \ln(1{,}6)>0).
Or \dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)}\approx 2{,}946. Donc, la réponse est n=3.

PartieA ; 4. Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel (qui impose de ne pas dépasser 400 000 insectes) sera-t-il préservé ?

Comme u_3>0{,}4, le nombre d'insectes dépasse 400 000 dès le 3e mois selon ce modèle : l'équilibre du milieu naturel n'est donc pas préservé.

PartieB ; 1. Un second modèle, tenant compte des contraintes du milieu, définit une suite (v_n) par v_0=0{,}1 et, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^{2} (nombre d'insectes en millions). Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.

\begin{aligned}v_1 &= 1{,}6\times v_0 - 1{,}6\times v_0^{2} \\ &= 1{,}6\times 0{,}1 - 1{,}6\times 0{,}01 \\ &= 0{,}16-0{,}016 \\ &= 0{,}144\end{aligned} Donc, la réponse est 144 000 insectes.

PartieB ; 2.a On considère la fonction f définie sur \left[0~;~\dfrac12\right] par f(x) = 1{,}6x-1{,}6x^{2}. Résoudre l'équation f(x)=x.

\begin{aligned}f(x) = x &\iff 1{,}6x-1{,}6x^{2} = x \\ &\iff 0{,}6x-1{,}6x^{2} = 0 \\ &\iff x(0{,}6-1{,}6x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou 0{,}6-1{,}6x=0, c'est-à-dire \begin{aligned}x &= \dfrac{0{,}6}{1{,}6} \\ &= \dfrac{3}{8}\end{aligned}
Ces deux valeurs appartiennent bien à \left[0~;~\dfrac12\right]. Donc, la réponse est : l'équation f(x)=x admet deux solutions, 0 et \dfrac{3}{8}.

PartieB ; 2.b Montrer que f est croissante sur \left[0~;~\dfrac12\right].

f'(x) = 1{,}6-1{,}6\times 2x = 1{,}6(1-2x).
Pour x\in\left[0~;~\dfrac12\right], on a x\leqslant\dfrac12, donc 2x\leqslant 1 et donc 1-2x\geqslant 0, d'où f'(x)\geqslant 0.
Donc, la réponse est : f est croissante sur \left[0~;~\dfrac12\right].

PartieB ; 3.a Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant\dfrac12}.

Initialisation : v_0=0{,}1 et v_1=0{,}144 (question précédente), donc {0\leqslant v_0\leqslant v_1\leqslant\dfrac12} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que {0\leqslant v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant\dfrac12} pour un entier n donné. Comme f est croissante sur \left[0~;~\dfrac12\right] (question 2.b), on peut appliquer f aux trois membres de l'encadrement : {f(0)\leqslant f(v_n)\leqslant f(v_{n+1})\leqslant f\left(\dfrac12\right)}.
Or f(0)=0, f(v_n)=v_{n+1}, f(v_{n+1})=v_{n+2} et \begin{aligned}f\left(\dfrac12\right) &= 1{,}6\times\dfrac12-1{,}6\times\dfrac14 \\ &= 0{,}8-0{,}4 \\ &= 0{,}4\end{aligned}
On obtient donc {0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant 0{,}4}, et comme 0{,}4\leqslant\dfrac12, cela entraîne {0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant\dfrac12} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n.

PartieB ; 3.b Montrer que la suite (v_n) est convergente.

D'après la question précédente, pour tout n, v_n\leqslant v_{n+1} : la suite (v_n) est croissante.
Toujours d'après la question précédente, pour tout n, v_n\leqslant\dfrac12 : la suite (v_n) est majorée par \dfrac12.
Une suite croissante et majorée converge, d'après le théorème de la convergence monotone. Donc, la réponse est : (v_n) converge.

PartieB ; 3.c On note \ell la limite de (v_n), solution de f(x)=x. Déterminer la valeur de \ell et conclure sur la préservation de l'équilibre du milieu naturel.

La suite (v_n) est croissante de limite \ell, donc tous ses termes sont inférieurs ou égaux à \ell ; en particulier v_1\leqslant\ell, soit 0{,}144\leqslant\ell, donc \ell\neq 0.
Comme \ell est solution de f(x)=x, elle vaut donc nécessairement \dfrac{3}{8} (l'autre solution possible étant 0, exclue). Donc \begin{aligned}\ell &= \dfrac{3}{8} \\ &= 0{,}375\end{aligned}
Pour tout n, \begin{aligned}v_n &\leqslant \ell \\ &= 0{,}375\end{aligned} donc le nombre d'insectes restera toujours inférieur à 375 000, valeur qui ne dépasse jamais le seuil de 400 000. Donc, la réponse est : selon ce second modèle, l'équilibre du milieu naturel sera préservé.

PartieB ; 4.a On donne la fonction Python ci-dessous, qui simule l'évolution de (v_n) à partir de v_0=0{,}1 tant que v<a.

PartieB ; 4.b Qu'observe-t-on si l'on exécute seuil(0.4) ?

La fonction seuil(a) renvoie le premier rang n à partir duquel v_n\geqslant a. Or on a montré que v_n\leqslant 0{,}375 pour tout n : il n'existe donc aucun rang n pour lequel v_n\geqslant 0{,}4. Donc, la réponse est : le programme ne s'arrête jamais (boucle infinie).

PartieB ; 4.c Déterminer la valeur renvoyée par seuil(0.35) et interpréter ce résultat.

À la calculatrice, en itérant v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^{2} à partir de v_0=0{,}1, on obtient v_5\approx 0{,}338<0{,}35 et \begin{aligned}v_6 &\approx 0{,}358 \\ &\geqslant 0{,}35\end{aligned}
Donc, la réponse est : seuil(0.35) renvoie 6, ce qui signifie que c'est au bout du 6e mois que le nombre d'insectes dépasse pour la première fois 350 000, selon ce second modèle.

1.Soit (u_n) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}. Calculer les valeurs exactes de u_1 et u_2.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\ &= \dfrac{0-4}{0+3} \\ &= -\dfrac{4}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\ &= \dfrac{\frac{4}{3}-4}{-\frac{4}{3}+3} \\ &= \dfrac{-\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} \\ &= -\dfrac{8}{5}\end{aligned}

2.Compléter la fonction Python terme(n), écrite de façon incomplète, pour qu'elle renvoie u_n pour tout entier naturel n.

3.Soit f définie sur ]-3~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{-x-4}{x+3}, de sorte que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n. Démontrer que f est strictement croissante sur ]-3~;~+\infty[.

f est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition ]-3~;~+\infty[, avec (formule \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}) :
f'(x) = \dfrac{-1\times(x+3)-(-x-4)\times1}{(x+3)^2} = \dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} = \dfrac{1}{(x+3)^2}.
Sur ]-3~;~+\infty[, (x+3)^2>0 donc f'(x)>0 : donc, la réponse est que f est strictement croissante sur ]-3~;~+\infty[.

4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, -2<u_{n+1}\leqslant u_n.

Initialisation. Pour n=0 : u_0=0 et u_1=-\dfrac{4}{3}, donc {-2<-\dfrac{4}{3}\leqslant0}, soit -2<u_1\leqslant u_0. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n\geqslant0, -2<u_{n+1}\leqslant u_n (hypothèse de récurrence).
Comme -2 et u_{n+1}, u_n appartiennent à ]-3~;~+\infty[ et que f y est strictement croissante (question 3), on peut appliquer f aux trois membres de l'inégalité : f(-2)<f(u_{n+1})\leqslant f(u_n).
Or \begin{aligned}f(-2) &= \dfrac{-(-2)-4}{-2+3} \\ &= \dfrac{-2}{1} \\ &= -2\end{aligned} f(u_{n+1})=u_{n+2} et f(u_n)=u_{n+1} : on obtient donc -2<u_{n+2}\leqslant u_{n+1}, ce qui est la propriété au rang n+1.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir de ce rang : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, -2<u_{n+1}\leqslant u_n.

5.En déduire que la suite (u_n) converge.

D'après la question 4, (u_n) est décroissante (car u_{n+1}\leqslant u_n) et minorée par -2 : d'après le théorème de la convergence monotone, (u_n) converge.

6.aSoit (v_n) définie par v_n=\dfrac{1}{u_n+2} pour tout entier naturel n. Donner v_0.

\begin{aligned}v_0 &= \dfrac{1}{u_0+2} \\ &= \dfrac{1}{0+2} \\ &= \dfrac{1}{2} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

6.bDémontrer que (v_n) est arithmétique de raison 1.

Comme u_n>-2 pour tout n (question 4), u_n+2>0 donc v_n est bien défini et strictement positif pour tout n.
\begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{1}{u_{n+1}+2} \\ &= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4}{u_n+3}+2} \\ &= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4+2(u_n+3)}{u_n+3}} \\ &= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}\end{aligned}
\begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\ &= \dfrac{u_n+2}{u_n+2} \\ &= 1\end{aligned}
Donc, la réponse est : (v_n) est arithmétique de raison 1 (et de premier terme v_0=0{,}5).

6.cEn déduire que, pour tout entier naturel n\geqslant1, u_n=\dfrac{1}{n+0{,}5}-2.

(v_n) étant arithmétique de raison 1 et de premier terme 0{,}5 : v_n = 0{,}5+n pour tout n.
De v_n=\dfrac{1}{u_n+2}, on tire u_n+2=\dfrac{1}{v_n}, donc \begin{aligned}u_n &= \dfrac{1}{v_n}-2 \\ &= \dfrac{1}{n+0{,}5}-2\end{aligned}
Donc, la réponse est : pour tout n\geqslant1 (et en fait dès n=0), u_n=\dfrac{1}{n+0{,}5}-2.

6.dDéterminer la limite de la suite (u_n).

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+0{,}5)=+\infty donc \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+0{,}5}=0, d'où \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-2.

1.Affirmation : la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x-x est convexe. Vrai ou faux ?

f est deux fois dérivable sur \mathbb{R}, avec f'(x)=e^x-1 puis f''(x)=e^x. Comme e^x>0 pour tout réel x, f'' est positive sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : f est convexe sur \mathbb{R}.

2.Affirmation : l'équation (2e^x-6)(e^x+2)=0 admet \ln(3) comme unique solution réelle. Vrai ou faux ?

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul : 2e^x-6=0 ou e^x+2=0.
Comme e^x>0 pour tout x, on a {e^x+2>2>0} : cette équation n'a donc aucune solution.
L'autre équation donne \begin{aligned}2e^x = 6 &\iff e^x = 3 \\ &\iff x = \ln(3) \end{aligned} (par stricte croissance de la fonction exponentielle, cette solution est unique).
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie.

3.Affirmation : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=0. Vrai ou faux ?

On factorise par le terme dominant de chaque membre : \begin{aligned}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x} &= \dfrac{e^{2x}\left(1-e^{-2x}\right)}{e^x\left(1-xe^{-x}\right)} \\ &= e^x\times\dfrac{1-e^{-2x}}{1-xe^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0 donc le numérateur de la fraction tend vers 1 ; et xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0 par croissances comparées, donc le dénominateur tend aussi vers 1.
Le quotient tend donc vers 1, et comme \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, on obtient \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=+\infty.
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (la limite vaut +\infty, pas 0).

4.Affirmation : avec f(x)=(6x+5)e^{3x} et F(x)=(2x+1)e^{3x}+4 sur \mathbb{R}, F est la primitive de f qui vaut 5 en x=0. Vrai ou faux ?

F est dérivable sur \mathbb{R} comme produit et somme de fonctions dérivables : F'(x) = 2e^{3x}+3(2x+1)e^{3x} = e^{3x}\big(2+6x+3\big) = (6x+5)e^{3x} = f(x).
De plus \begin{aligned}F(0) &= (2\times0+1)e^{0}+4 \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : F est bien la primitive de f sur \mathbb{R} valant 5 en 0.

5.On considère une fonction Python mystere(L) qui parcourt une liste L, cumule la somme S de ses éléments, puis renvoie S divisée par la longueur de L (la moyenne des éléments). Affirmation : mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50. Vrai ou faux ?

La somme des dix éléments de la liste vaut 1+9+9+5+0+3+6+12+0+5=50, et la fonction renvoie cette somme divisée par la longueur de la liste (ici 10), soit \dfrac{50}{10}=5. Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (le résultat renvoyé vaut 5, pas 50).

1.Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant. Affirmation : la suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1} est bornée.

Vraie. Pour tout entier naturel n, {n+1\geqslant1>0}, donc \dfrac{1}{n+1}\leqslant1, d'où -1\leqslant-\dfrac{1}{n+1} et \dfrac{1}{n+1}\leqslant1.
De plus, pour tout entier naturel n, {-1\leqslant(-1)^n\leqslant1}, donc, en divisant par n+1>0 : {-\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+1}}.
En combinant les deux encadrements : {-1\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant1}. Donc, la réponse est que la suite u est bornée par -1 et 1.

2.Affirmation : toute suite bornée est convergente.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=(-1)^n est bornée par -1 et 1, mais elle prend alternativement les valeurs -1 et 1 : elle n'admet pas de limite, donc elle ne converge pas. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

3.Affirmation : toute suite croissante tend vers +\infty.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N}^* par u_n=-\dfrac{1}{n} est croissante (car \dfrac{1}{n} décroît) mais elle converge vers 0 et non vers +\infty. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

4.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right). Affirmation : f est convexe sur l'intervalle [-3~;~1].

Fausse. Étudier la convexité de f revient à étudier le signe de f''. On pose u(x)=x^2+2x+2 (strictement positif sur \mathbb{R} car de discriminant négatif), avec u'(x)=2x+2 ; f=\ln(u) est dérivable sur \mathbb{R} comme composée de fonctions dérivables, et f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}.
En dérivant à nouveau f'=\dfrac{v}{w} avec v(x)=2x+2, w(x)=x^2+2x+2, v'(x)=2, w'(x)=2x+2 : f''(x)=\dfrac{v'w-w'v}{w^2}=\dfrac{2(x^2+2x+2)-(2x+2)^2}{w^2}.
Au numérateur : \begin{aligned}2x^2+4x+4-\left(4x^2+8x+4\right) &= -2x^2-4x \\ &= -2x(x+2)\end{aligned} Comme w^2>0, f''(x) est du signe de -2x(x+2), trinôme de coefficient dominant négatif, de racines -2 et 0 : il est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
f''(x)>0 sur ]-2~;~0[ et f''(x)<0 sur ]-\infty~;~-2[\cup]0~;~+\infty[ : f est donc convexe sur [-2~;~0] et concave ailleurs. Sur [-3~;~1], f n'est pas concave ni convexe partout (elle est concave près de -3 et de 1) : elle n'est donc pas convexe sur tout l'intervalle [-3~;~1].

5.On considère la fonction Python mystere ci-dessous, qui prend en paramètre une liste L de nombres (len(L) renvoie le nombre d'éléments de L).

5.(suite) Affirmation : l'exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

Vraie. La variable M est initialisée avec le premier élément de la liste, puis à chaque étape, si un élément de la liste dépasse la valeur courante de M, M est remplacé par cet élément. L'algorithme calcule donc le maximum des éléments de la liste, qui vaut ici 7 (le plus grand des termes 2,3,7,0,6,3,2,0,5).

1.aOn modélise la température (en degrés Celsius) au centre d'un gâteau par la suite (T_n) définie par T_0=180 et, pour tout entier naturel n, T_{n+1} = 0{,}955\,T_n+0{,}9. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, T_n\geqslant20.

Initialisation : \begin{aligned}T_0 &= 180 \\ &\geqslant 20\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n donné, T_n\geqslant20. Alors \begin{aligned}0{,}955\,T_n &\geqslant 0{,}955\times20 \\ &= 19{,}1\end{aligned} donc \begin{aligned}T_{n+1} &= 0{,}955\,T_n+0{,}9 \\ &\geqslant 19{,}1+0{,}9 \\ &= 20\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, T_n\geqslant20.

1.bVérifier que, pour tout entier naturel n, T_{n+1}-T_n = -0{,}045(T_n-20), puis en déduire le sens de variation de la suite (T_n).

\begin{aligned}T_{n+1}-T_n &= 0{,}955\,T_n+0{,}9-T_n \\ &= -0{,}045\,T_n+0{,}9 \\ &= -0{,}045\left(T_n-\dfrac{0{,}9}{0{,}045}\right) \\ &= -0{,}045(T_n-20)\end{aligned}
D'après la question précédente, T_n-20\geqslant0 pour tout n, donc T_{n+1}-T_n\leqslant0 : la suite (T_n) est décroissante.

1.cConclure que la suite (T_n) est convergente.

La suite (T_n) est décroissante et minorée par 20 : donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \ell\geqslant20.

2.aOn pose, pour tout entier naturel n, u_n = T_n-20. Montrer que (u_n) est géométrique et préciser sa raison.

\begin{aligned}u_{n+1} &= T_{n+1}-20 \\ &= 0{,}955\,T_n+0{,}9-20 \\ &= 0{,}955\,T_n-19{,}1 \\ &= 0{,}955(T_n-20) \\ &= 0{,}955\,u_n\end{aligned} Donc, (u_n) est géométrique de raison q=0{,}955, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= T_0-20 \\ &= 160\end{aligned}

2.bEn déduire que, pour tout entier naturel n, T_n = 20+160\times0{,}955^n.

Comme (u_n) est géométrique de premier terme u_0=160 et de raison 0{,}955 : u_n = 160\times0{,}955^n. Or T_n = u_n+20, donc T_n = 20+160\times0{,}955^n.

2.cCalculer la limite de la suite (T_n).

Comme 0{,}955\in\,]-1~;~1[, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}955^n = 0. Donc, \lim\limits_{n\to+\infty}T_n = 20.

2.dRésoudre l'inéquation T_n\leqslant120, d'inconnue l'entier naturel n.

\begin{aligned}T_n \leqslant 120 &\iff 20+160\times0{,}955^n \leqslant 120 \\ &\iff 160\times0{,}955^n \leqslant 100 \\ &\iff 0{,}955^n \leqslant \dfrac58 \end{aligned}
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : \begin{aligned}\ln\left(0{,}955^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac58\right) &\iff n\times\ln(0{,}955) \leqslant \ln\left(\dfrac58\right) \end{aligned}
Comme \ln(0{,}955)<0, l'inégalité change de sens en divisant : \begin{aligned}n &\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac58\right)}{\ln(0{,}955)} \\ &\approx 10{,}2\end{aligned}
Donc, l'ensemble des solutions est n\geqslant11.

3.aExpliquer pourquoi la limite de (T_n) trouvée à la question 2.c était prévisible dans le contexte de l'exercice.

À sa sortie du four, le gâteau est plus chaud que l'air ambiant (180 ^{\circ}C contre 20 ^{\circ}C) : il cède donc progressivement sa chaleur à l'air, et sa température se rapproche de celle de l'air ambiant sans jamais descendre en dessous. Il est donc cohérent que T_n tende vers 20, la température de l'air ambiant.

3.bUne fonction Python temp(x) initialise T = 180 et n = 0, puis répète tant que T > x : T = 0.955*T+0.9 et n = n+1, avant de renvoyer n. Donner le résultat renvoyé par temp(120) et l'interpréter.

La fonction renvoie le plus petit entier n tel que T_n\leqslant x. D'après la question 2.d, avec x=120, ce plus petit entier est n=11.
Dans le contexte de l'exercice, il faut donc attendre 11 minutes après la sortie du four pour que la température au centre du gâteau descende à 120 ^{\circ}C ou moins.

PartieA ; 1. Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. Après une première injection de 1 mg, le patient est placé sous perfusion : toutes les 30 minutes, l'organisme élimine 10 % de la quantité présente et reçoit 0,25 mg supplémentaire. Pour tout entier naturel n, on note u_n la quantité (en mg) au bout de n périodes de 30 minutes, avec u_0=1. Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.

En 30 minutes, 10 % de u_0=1 mg disparaissent : il reste 0{,}9\times1=0{,}9 mg, auxquels s'ajoutent 0,25 mg supplémentaires. Donc u_1 = 0{,}9+0{,}25 = 1,15 mg.

PartieA ; 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n+0{,}25.

Au bout de n périodes, la quantité présente est u_n. Pendant la période suivante, 10 % de cette quantité disparaît, il en reste donc 0{,}9u_n, puis 0,25 mg supplémentaires sont administrés. D'où, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n+0{,}25.

PartieA ; 3.a Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, {u_n \leqslant u_{n+1} < 5}.

Initialisation : u_0=1 et u_1=1{,}15, donc {u_0\leqslant u_1 < 5}. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N} tel que {u_n\leqslant u_{n+1}<5}. En multipliant par 0{,}9>0 : {0{,}9u_n \leqslant 0{,}9u_{n+1} < 4{,}5}. En ajoutant 0,25 à chaque membre : {0{,}9u_n+0{,}25 \leqslant 0{,}9u_{n+1}+0{,}25 < 4{,}75}, soit {u_{n+1}\leqslant u_{n+2} < 4{,}75 < 5}. La propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}<5}.

PartieA ; 3.b En déduire que la suite (u_n) est convergente.

L'inégalité u_n\leqslant u_{n+1} montre que (u_n) est croissante, et l'inégalité u_{n+1}<5 montre qu'elle est majorée par 5. Une suite croissante et majorée étant convergente, la suite (u_n) converge vers une limite \ell\leqslant5.

PartieA ; 4.a Le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang est supérieure ou égale à 1,8 mg. Recopier et compléter le script Python suivant afin de déterminer au bout de combien de périodes de 30 minutes le médicament devient réellement efficace : def efficace(): / u = 1 / n = 0 / while ... : / u = ... / n = n + 1 / return n.

PartieA ; 4.b Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

En itérant la relation u_{n+1}=0{,}9u_n+0{,}25 à partir de u_0=1, on obtient u_7\approx1{,}783<1{,}8 et \begin{aligned}u_8 &\approx 1{,}854 \\ &\geqslant 1{,}8\end{aligned}
Le script renvoie donc n=8 : le médicament devient réellement efficace au bout de 8 périodes de 30 minutes, soit 4 heures après le début de la perfusion.

PartieA ; 5.a Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_n = 2{,}5-u_n. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Pour tout entier naturel n, \begin{aligned}v_{n+1} &= 2{,}5-u_{n+1} \\ &= 2{,}5-(0{,}9u_n+0{,}25) \\ &= 2{,}25-0{,}9u_n\end{aligned}
Or u_n = 2{,}5-v_n, donc \begin{aligned}v_{n+1} &= 2{,}25-0{,}9(2{,}5-v_n) \\ &= 2{,}25-2{,}25+0{,}9v_n \\ &= 0{,}9v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=0{,}9v_n étant vraie pour tout entier naturel n, (v_n) est une suite géométrique de raison 0{,}9, de premier terme v_0 = 2{,}5-u_0 = 2{,}5-1 = 1,5.

PartieA ; 5.b Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n.

(v_n) étant géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme v_0=1{,}5, on a, pour tout entier naturel n, v_n = 1{,}5\times0{,}9^n. Comme u_n = 2{,}5-v_n, on en déduit que, pour tout entier naturel n, u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n.

PartieA ; 5.c Le médicament devient toxique lorsque sa quantité dans le sang dépasse 3 mg. D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Comme {-1<0{,}9<1}, on a \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n = 0, donc \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}u_n &= 2{,}5-1{,}5\times0 \\ &= 2{,}5\end{aligned}
De plus, pour tout entier naturel n, 0{,}9^n>0, donc u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n < 2{,}5 < 3 : la quantité de médicament reste toujours strictement inférieure à 2,5 mg.
Donc, la réponse est que le traitement ne présente aucun risque de toxicité pour le patient, la quantité de médicament restant en permanence inférieure à 3 mg.

PartieB ; 1. Après une injection initiale de 1 mg, le patient est placé sous perfusion à un débit de 0,5 mg par heure. La quantité de médicament dans le sang, en fonction du temps t (en heures), est modélisée par f(t) = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2t} sur [0~;~+\infty[. Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3 h 45 min ?

3 h 45 min = 3+\dfrac{45}{60} = 3+0{,}75 = 3{,}75 heures.
f(3{,}75) = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2\times3{,}75} = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}75} \approx 1{,}791.
Comme 1{,}791<1{,}8, le médicament n'est pas encore réellement efficace au bout de 3 h 45 min selon ce modèle.

PartieB ; 2. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.

On cherche t\geqslant0 tel que f(t)\geqslant1{,}8, soit 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2t}\geqslant1{,}8 \iff 1{,}5\text{e}^{-0{,}2t}\leqslant0{,}7 \iff \text{e}^{-0{,}2t}\leqslant\dfrac{7}{15}.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, cette inégalité équivaut à -0{,}2t\leqslant\ln\left(\dfrac{7}{15}\right), soit, en divisant par -0{,}2<0 (ce qui inverse le sens), t\geqslant -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right).
Or -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \approx 3{,}811 heures, soit 3 heures et 0{,}811\times60\approx48{,}6 minutes. Donc, la réponse est que le médicament devient réellement efficace au bout d'environ 3 h 49 min.

PartieB ; 3. Comparer le résultat obtenu avec celui de la question 4.b du modèle discret de la Partie A.

Dans le modèle discret, le médicament devient efficace au bout de 4 heures, alors que dans le modèle continu il le devient au bout d'environ 3 h 49 min, un délai plus court. Le modèle continu prévoit donc une efficacité un peu plus rapide que le modèle discret.

1.aOn étudie le développement d'une bactérie, qui a une probabilité 0{,}3 de mourir sans descendance et 0{,}7 de se diviser en deux bactéries filles, ces probabilités étant les mêmes à chaque génération. On note p_n la probabilité d'obtenir au plus n descendances pour une bactérie, avec p_0=0{,}3 et p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2 pour tout entier naturel n. Déterminer les valeurs exactes de p_1 et p_2, et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé.

\begin{aligned}p_1 &= 0{,}3+0{,}7\times p_0^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}3^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}09 \\ &= 0{,}3+0{,}063 \\ &= 0{,}363\end{aligned}
\begin{aligned}p_2 &= 0{,}3+0{,}7\times p_1^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}363^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}131769 \\ &= 0{,}3+0{,}0922383 \\ &= 0{,}3922383\end{aligned}
Donc, la réponse est p_1=0{,}363 et p_2=0{,}3922383 : p_1 est la probabilité d'obtenir au plus une descendance (c'est-à-dire de mourir sans descendance, ou de se diviser puis que les deux bactéries filles meurent sans descendance), et p_2 celle d'obtenir au plus deux descendances.

1.bSachant que p_{10}\approx0{,}42802018 (valeur fournie par une feuille de calcul), quelle est la probabilité, arrondie à 10^{-3} près, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ?

L'évènement « obtenir au moins 11 descendances » est l'évènement contraire de « obtenir au plus 10 descendances », de probabilité p_{10}.
La probabilité cherchée vaut donc \begin{aligned}1-p_{10} &\approx 1-0{,}42802018 \\ &\approx 0{,}57198\end{aligned}
Donc, la réponse est environ 0{,}572 (à 10^{-3} près).

1.cEn observant que les valeurs successives de p_n (fournies par une feuille de calcul) augmentent progressivement de 0{,}3 vers une valeur proche de 0{,}4285, formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite (p_n).

Au vu de ces valeurs, la suite (p_n) semble croissante, et semble converger vers une limite proche de 0{,}4285 (les derniers termes calculés se rapprochant de plus en plus les uns des autres autour de cette valeur).

2.aDémontrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.

Initialisation : on a p_0=0{,}3 et p_1=0{,}363 (question 1.a), donc {0\leqslant0{,}3\leqslant0{,}363\leqslant0{,}5}, c'est-à-dire {0\leqslant p_0\leqslant p_1\leqslant0{,}5} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N}, supposons que {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.
La fonction carré étant croissante sur [0~;~+\infty[, on en déduit {0\leqslant p_n^2\leqslant p_{n+1}^2\leqslant0{,}5^2}, puis en multipliant chaque membre par 0{,}7>0 : {0\leqslant0{,}7p_n^2\leqslant0{,}7p_{n+1}^2\leqslant0{,}7\times0{,}25}.
En ajoutant 0{,}3 à chaque membre : {0{,}3\leqslant0{,}3+0{,}7p_n^2\leqslant0{,}3+0{,}7p_{n+1}^2\leqslant0{,}3+0{,}175}, c'est-à-dire {0{,}3\leqslant p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\leqslant0{,}475}.
Comme 0\leqslant0{,}3 et 0{,}475\leqslant0{,}5, on obtient {0\leqslant p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\leqslant0{,}5} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.

2.bJustifier que la suite (p_n) est convergente.

D'après la question précédente, la suite (p_n) est croissante (car p_n\leqslant p_{n+1} pour tout n) et majorée par 0{,}5. Donc, la réponse est que, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (p_n) est convergente.

3.aOn note L la limite de la suite (p_n). Justifier que L est solution de l'équation 0{,}7x^2-x+0{,}3=0.

Comme (p_n) converge vers L, la suite (p_{n+1}) converge aussi vers L (suite extraite en décalant les indices).
En passant à la limite dans la relation de récurrence p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2 (la fonction carré étant continue), on obtient L=0{,}3+0{,}7L^2, soit 0{,}7L^2-L+0{,}3=0.
Donc, la réponse est que L est bien solution de l'équation 0{,}7x^2-x+0{,}3=0.

3.bDéterminer la limite de la suite (p_n).

Le discriminant de l'équation 0{,}7x^2-x+0{,}3=0 vaut \Delta = (-1)^2-4\times0{,}7\times0{,}3 = 1-0{,}84=0{,}16=0{,}4^2>0 : l'équation admet donc deux solutions distinctes.
\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{1+0{,}4}{2\times0{,}7} \\ &= \dfrac{1{,}4}{1{,}4} \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{1-0{,}4}{2\times0{,}7} \\ &= \dfrac{0{,}6}{1{,}4} \\ &= \dfrac{6}{14} \\ &= \dfrac37\end{aligned}
D'après la question 2.a, la suite (p_n) est majorée par 0{,}5, donc sa limite L vérifie L\leqslant0{,}5 : la solution x_1=1 est donc à exclure.
Donc, la réponse est L=\dfrac37 (soit environ 0{,}4286, cohérent avec la conjecture de la question 1.c).

4.La fonction Python ci-dessous doit renvoyer, sous forme de liste, les n premiers termes de la suite (p_n) : def suite(n): puis, en corps de fonction, une ligne d'initialisation de p, une ligne s=[p], une boucle for i in range(...) contenant une ligne de mise à jour de p et une ligne s.append(p), puis return(s). Recopier cette fonction en complétant les lignes d'initialisation, de boucle et de mise à jour.