PartieA : On considère les fonctions f et g définies sur [0~;~+\infty[ par f(x) = 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) et g(x) = (-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x}-2{,}2. On admet que f et g sont dérivables sur [0~;~+\infty[, de dérivées respectives f' et g'. On donne le tableau de variations complet de f : croissante sur [0~;~6{,}85] de f(0)=0 à f(6{,}85), puis décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[ vers -\infty. 1.a Justifier la limite de f en +\infty.
Pour tout x>0, f(x) = 0{,}06x^2\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right).
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{13{,}7}{x} = 0, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right) = -1 ; de plus \lim\limits_{x\to+\infty}0{,}06x^2 = +\infty.
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.
1.bJustifier les variations de la fonction f affichées dans le tableau.
f est une fonction polynôme, donc dérivable sur [0~;~+\infty[, avec f'(x) = 0{,}06\times(-2x+13{,}7) = -0{,}12x+0{,}822.
f'(x) > 0 \iff -0{,}12x+0{,}822 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}822}{0{,}12} = 6{,}85, et de même f'(x) < 0 \iff x > 6{,}85.
Donc, f est croissante sur [0~;~6{,}85] et décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[, conformément au tableau donné.
1.cRésoudre l'équation f(x)=0.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) = 0 \\ &\iff -x^2+13{,}7x = 0 \\ &\iff x(13{,}7-x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou x=13{,}7.
Donc, l'ensemble des solutions est S=\{0~;~13{,}7\}.
2.aDéterminer la limite de g en +\infty.
\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2) = -\infty et \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{0,2x} = +\infty (limite usuelle de la fonction exponentielle).
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x} = -\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = -\infty.
2.bDémontrer que, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.
g est un produit de deux fonctions dérivables sur [0~;~+\infty[ : x\mapsto-0{,}15x+2{,}2, de dérivée -0{,}15, et x\mapsto\text{e}^{0,2x}, de dérivée x\mapsto0{,}2\text{e}^{0,2x} (la constante -2{,}2 ayant une dérivée nulle).
g'(x) = -0{,}15\,\text{e}^{0,2x} + (-0{,}15x+2{,}2)\times0{,}2\,\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}\left(-0{,}15-0{,}03x+0{,}44\right) = \text{e}^{0,2x}(-0{,}03x+0{,}29).
Donc, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.
2.cÉtudier les variations de g sur [0~;~+\infty[ et donner une valeur approchée à 10^{-2} près de son maximum.
Pour tout x\geqslant0, \text{e}^{0,2x} > 0, donc g'(x) est du signe de -0{,}03x+0{,}29.
-0{,}03x+0{,}29 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}29}{0{,}03} = \dfrac{29}{3}, et de même g'(x) < 0 \iff x > \dfrac{29}{3}.
Donc, g est croissante sur \left[0~;~\dfrac{29}{3}\right] et décroissante sur \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[ : g admet donc un maximum en \dfrac{29}{3}.
g\left(\dfrac{29}{3}\right) = \left(-0{,}15\times\dfrac{29}{3}+2{,}2\right)\text{e}^{0,2\times\frac{29}{3}}-2{,}2 \approx 2{,}98 (arrondi au centième).
2.dMontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution non nulle sur [0~;~+\infty[ et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.
On remarque déjà que g(0) = (0+2{,}2)\text{e}^0-2{,}2 = 2{,}2-2{,}2 = 0 : x=0 est donc une solution évidente.
Sur l'intervalle \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[, la fonction g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98 vers -\infty.
Comme 0 appartient à l'intervalle \left]-\infty~;~2{,}98\right[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle, avec \alpha\neq0 puisque {\alpha>\dfrac{29}{3}>0}.
À la calculatrice, on obtient \alpha\approx13{,}72 (arrondi au centième).
PartieB : On admet que 13{,}7 annule f et est une approximation de la valeur qui annule g. Pour x représentant, en dizaine de yards, la distance horizontale parcourue par une balle de golf après la frappe (avec 0<x<13{,}7), f(x) (ou g(x), selon le modèle choisi) représente la hauteur correspondante de la balle, dans la même unité. L'angle de décollage est l'angle d tel que \tan(d) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; l'angle d'atterrissage est l'angle a tel que \tan(a) est l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7. Première modélisation (fonction f) ; 1.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle ?
D'après la Partie A, le maximum de f sur [0~;~+\infty[ est atteint en x=6{,}85, avec \begin{aligned}f(6{,}85) &= 0{,}06\left(-6{,}85^2+13{,}7\times6{,}85\right) \\ &= 2{,}81535\end{aligned}
Cette hauteur est exprimée en dizaine de yards, donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut 28{,}1535 yards, soit environ 28,2 yards.
1.bVérifier que f'(0) = 0{,}822.
D'après la question 1.b de la Partie A, f'(x) = -0{,}12x+0{,}822, donc f'(0) = 0{,}822.
1.cDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est f'(0) = 0{,}822, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}822.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni dans l'énoncé), d = \arctan(0{,}822) \approx 39{,}4^{\circ} (arrondi au dixième).
1.dQuelle propriété graphique de la courbe de f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux, selon ce modèle ?
La courbe de f est un arc de parabole, symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=6{,}85 (l'abscisse de son sommet, qui est le milieu de l'intervalle [0~;~13{,}7]). Cette symétrie échange les points d'abscisses 0 et 13{,}7 et transforme donc la tangente en 0 en la tangente en 13{,}7 (à une réflexion près), ce qui justifie que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.
Seconde modélisation (fonction g) ; 2.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle selon ce modèle ? (On précise que g'(0)=0{,}29 et g'(13{,}7)\approx-1{,}87.)
D'après la question 2.c de la Partie A, le maximum de g sur [0~;~+\infty[ vaut g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98, exprimé en dizaine de yards.
Donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut environ 29,8 yards selon ce modèle.
2.bDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est g'(0) = 0{,}29, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}29.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni), d = \arctan(0{,}29) \approx 16{,}2^{\circ} (arrondi au dixième).
2.cJustifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle selon ce modèle.
L'angle d'atterrissage a vérifie \tan(a) = -g'(13{,}7), l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7.
Comme g'(13{,}7)\approx-1{,}87, on a \tan(a) \approx 1{,}87, d'où \begin{aligned}a &= \arctan(1{,}87) \\ &\approx 61{,}9\end{aligned}^{\circ}, soit 62^{\circ} arrondi à l'unité.
PartieC : Des observations sur des joueurs professionnels donnent, en moyenne : angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}, distance horizontale au point de chute 137 yards (soit 13{,}7 dizaines de yards, cohérent avec les deux modèles). Quel modèle, parmi les deux étudiés, semble le plus adapté pour décrire la frappe d'un joueur professionnel ? Justifier.
Comparons les deux modèles aux observations professionnelles (angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}) :
Avec le modèle f : angle de décollage \approx39{,}4^{\circ} (net écart avec 24^{\circ}, surestimation), hauteur maximale \approx28{,}2 yards (sous-estimation), angles de décollage et d'atterrissage égaux entre eux (alors que les observations donnent 24^{\circ} et 52^{\circ}, très différents).
Avec le modèle g : angle de décollage \approx16{,}2^{\circ} (sous-estimation, mais ordre de grandeur plus proche que f), hauteur maximale \approx29{,}8 yards (sous-estimation, mais plus proche de 32 que le modèle f), angle d'atterrissage \approx62^{\circ} (surestimation, mais du même ordre que 52^{\circ}, et surtout nettement supérieur à l'angle de décollage comme dans les observations).
Le modèle g reproduit qualitativement le fait que l'angle d'atterrissage est bien plus grand que l'angle de décollage (comportement observé chez les professionnels), ce que le modèle f, de par sa symétrie, est structurellement incapable de reproduire.
Donc, même si aucun des deux modèles ne redonne exactement les valeurs observées, le modèle g semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.
